, (2.82) ma trận Ċộ cứng Ċàn hồi của phần tử:
2.2.7. Phƣơng pháp tích phân trực tiếp phƣơng trình vi phân theo Newmark
Newmark
Khi giải quyết bài toán dao Ċộng dây neo sẽ dẫn Ċến một hệ phương trình vi phân dao Ċộng. Phương pháp luận Ċể giải các phương trình dao Ċộng có thể theo ba cách: Phương pháp phân tích theo các dạng dao Ċộng riêng, phương pháp giải theo miền tần số, phương pháp giải theo miền thời gian. Tuy nhiên bài toán Ċộng lực học dây neo mang tính chất của một hệ thống phi tuyến, do Ċó khi giải quyết bài toán Ċộng lực học dây neo sẽ dẫn Ċến một hệ phương trình vi phân dao Ċộng phi tuyến. Để giải hệ phương trình vi phân phi
70
tuyến này phải áp dụng phương pháp tích phân trực tiếp theo miền thời gian. Phương pháp này dựa trên nguyên tắc tích phân trực tiếp theo biến thời gian với phương trình vi phân của bài toán Ċộng trong Ċó biến thời gian t Ċược phân tích thành từng bước Ċều nhau, thuật giải tổng quát như sau:
- Chuyển phương trình vi phân xuất phát với biến liên tục t về hệ phương trình sai phân với biến thời gian t Ċã Ċược rời rạc hoá, trong Ċó t là khoảng thời gian cần quan sát Ċối với các phản ứng Ċộng của hệ;
- Giải phương trình vi phân theo phương pháp truy hồi: Phương pháp truy hồi phải giả thiết các Ċiều kiện ban Ċầu về chuyển vị, vận tốc, gia tốc;
Ba dạng phương pháp tích phân theo miền thời gian là phổ biến nhất: phương pháp sơ Ċồ sai phân trung tâm; phương pháp Winson; phương pháp Newmark. Mỗi một phương pháp Ċều có những Ċặc Ċiểm riêng [4]. Song không phải phương pháp nào cũng cho nghiệm hội tụ. Trong luận án sẽ dựa trên cơ sở lý thuyết của phương pháp Newmark Ċể giải quyết bài toán [48].
Khi xấp xỉ Ċạo hàm theo Newmark ta có: * ̇+ * ̇+ ,( ) ̈ ̈ - , (2.97)
* + * + * ̇+ 0. / * ̈+ * ̈+ 1 , (2.98)
t - thời Ċiểm t; - bước thời gian; * + - chuyển vị nút của kết cấu; * ̇+ - véc tơ vận tốc nút của kết cấu; * ̈+ - véc tơ gia tốc nút của kết cấu.
Các hệ số và Ċược lấy: 5 5( 5 ) . Nếu Ċặt . / ( ) . (2.99) Từ (2.97) và (2.98) rút Ċại lượng vận tốc, gia tốc ta Ċược:
71
* ̇+ * ̈+ * ̈+ * ̈+ . (2.100) * ̈+ (* + * + ) * ̇+ * ̈+ . (2.101) Thay (2.101) vào công thức (2.100) ta có:
* ̇+ * ̇+ * ̈+ , (* + * + * ̇+ * ̈+ )-.
* ̇+ * + * + ( )* ̇+ ( ) * ̈+ (2.102) Thay (2.101) và (2.102) vào phương trình dao Ċộng (2.80) ta Ċược: Thay (2.101) và (2.102) vào phương trình dao Ċộng (2.80) ta Ċược:
, - (* + ) * ̇+ * ̈+ , -, * + * + ( )* ̇+ ( )* ̈+ - , -* + * + . ( )* ̇+ ( )* ̈+ - , -* + * + .
Biến Ċổi ta Ċược:
* + (, - , - , -) * + , -( * + * ̇+ * ̈+ ) , -( * + * ̇+ * ̈+ ) Ta Ċặt: [ ̂] , - , - , -. (2.103) { ̂} * + , - * + * ̇+ * ̈+ , -( * + * ̈+ * ̈+ ) . (2.104) Từ Ċó tìm Ċược chuyển vị tại thời Ċiểm :
* + [ ̂] { ̂}