a) 2x− 9x +4 =0 (1) b) (x + 3)
2.2.2.3. Dạy học giải toỏn:
a) Vị trớ, yờu cầu của dạy học giải toỏn:
Ở trƣờng phổ thụng, dạy toỏn là dạy hoạt động toỏn học. Đối với HS cú thể xem việc giải toỏn là hỡnh thức chủ yếu của hoạt động toỏn học. Trong dạy học toỏn, mỗi bài tập toỏn học đƣợc sử dụng với những dụng ý khỏc nhau, cú thể dựng để tạo tiền đề xuất phỏt, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra…
Yờu cầu đối với lời giải: • Lời giải khụng cú sai lầm.
• Lập luận phải cú căn cứ chớnh xỏc. • Lời giải phải đầy đủ.
Ngoài ba yờu cầu núi trờn, trong dạy học giải toỏn cũn yờu cầu lời giải ngắn gọn, đơn giản nhất, cỏch trỡnh bày rừ ràng, hợp lý.
Tỡm đƣợc một lời giải hay của một bài toỏn tức là đó khai thỏc đƣợc những đặc điểm riờng của bài toỏn, điều đú làm cho HS “cú thể biết đƣợc cỏi quyến rũ của sự sỏng tạo cựng niềm vui thắng lợi” (Pụlia - 1975).
b) Quy trỡnh giải toỏn
Theo G.Pụlya quy trỡnh giải toỏn gồm 4 bƣớc: Bƣớc 1: Tỡm hiểu nội dung bài toỏn
Phải tỡm hiểu bài toỏn một cỏch tổng thể trỏnh vội vàng đi ngay vào cỏc chi tiết, phải phõn tớch bài toỏn đó cho một cỏch kỹ lƣỡng, đặt giả thuyết c ho cỏc trƣờng hợp cú thể xảy ra. Tức là, trong bƣớc này chỳng ta cần trả lời đƣợc một số cõu hỏi sau: Đõu là cỏi đó cho? Đõu là cỏi phải tỡm? Cỏi đó cho và cỏi phải tỡm cú mối liờn hệ với nhau nhƣ thế nào?…
Bƣớc 2: Xõy dựng chƣơng trỡnh giải
Ở bƣớc này phải phõn tớch bài toỏn đó cho thành nhiều bài toỏn đơn giản hơn, phải huy động những kiến thức cú liờn quan đến cỏc khỏi niệm, những quan hệ trong đề toỏn, rồi lựa chọn trong số đú những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toỏn, mũ mẫm, dự đoỏn, thử xột một vài khả năng, kể cả trƣờng hợp đặc biệt, xột một bài toỏn tƣơng tự hoặc một bài toỏn khỏi quỏt của bài toỏn đó cho…
Bƣớc 3: Thực hiện chƣơng trỡnh giải Chỳ ý lựa chọn phƣơng ỏn giải tối ƣu. Bƣớc 4: Kiểm tra và nghiờn cứu lời giải
Xem xột cỏc trƣờng hợp cú thể xảy ra của bài toỏn, kiểm tra lại kết quả, nhỡn lại toàn bộ quỏ trỡnh giải, rỳt ra phƣơng phỏp giải cho một dạng toỏn nào
đú, tỡm thờm những cỏch giải khỏc nữa, nghiờn cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải, đề xuất cỏc bài toỏn mới: Bài toỏn tƣơng tự, bài toỏn đảo, bài toỏn đặc biệt, bài toỏn khỏi quỏt…
Theo hƣớng phối hợp cỏc PPDH khi dạy HS giải toỏn, chỳng tụi căn cứ vào đặc điểm của loại kiến thức để lựa chọn, phối hợp cỏc PP trong quỏ trỡnh dạy học. Đối với nội dung kiến thức này ta cú thể sử dụng cỏc PP nhƣ: Vấn đỏp, phỏt hiện và GQVĐ, trực quan, thuyết trỡnh, hợp tỏc nhúm…
Chẳng hạn:
Ở bước 1: Tỡm hiểu nội dung bài toỏn, cú thể phối hợp PP vấn đỏp phỏt hiện với PP thuyết trỡnh trong một số trƣờng hợp cần phải ụn lại một số kiến thức cũ hoặc cú khi phối hợp với PP trực quan đối với những nội dung khú, HS khụng thể tƣởng tƣợng ra…
Ở bước 2: Xõy dựng chƣơng trỡnh giải. Ta cú thể phối hợp PP vấn đỏp và dạy học phỏt hiện, GQVĐ…
Ở bước 3: Thực hiện chƣơng trỡnh giải, cú thể phối hợp cỏc PP nhƣ vấn đỏp, trỡnh chiếu...
Ở bước 4: Kiểm tra và nghiờn cứu lời giải, bƣớc này ta cú thể phối hợp cỏc PP nhƣ: Vấn đỏp, phỏt hiện và GQVĐ, trực quan, hợp tỏc nhúm… x + y − 2xy + 1 = 0 Vớ dụ 3: Giải hệ PT x2 +y 2 + 2x + 2 y − 1 = 0 (I)
Bƣớc 1: Tỡm hiểu nội dung bài toỏn:
GV: Nhận xột mỗi PT trong hệ khi thay x bởi y và thay y bởi x? HS: Mỗi PT trong hệ khụng thay đổi khi thay x bởi y và thay y bởi x. GV: Hệ PT cú tớnh chất nhƣ vậy đƣợc gọi là hệ PT đối xứng loại 1 đối với ẩn x và y.
GV: Để giải hệ PT đối xứng loại 1 ta cú thể biến đổi để đƣa hệ PT về dạng hệ PT chỉ chứa (x+y) và xy đƣợc khụng?
HS: Biến đổi: x 2
+ y 2 = ( x + y)2 − 2 xy
2x + 2y = 2(x + y)
GV: Bõy giờ ta cú thể biến đổi hệ PT đó cho về dạng hệ PT gồm một PT bậc hai và một PT bậc nhất của hai ẩn khụng?
S =x +y
HS: Cú, bằng cỏch đặt ẩn: P =xy
GV: Bõy giờ hệ PT đó cho trở thành hệ mới với ẩn là S và P. Ta cú thể giải hệ này bằng PP thế hoặc PP cộng đại số, từ đú tỡm đƣợc S và P, quay lại phộp đặt giải hệ PT với ẩn x và y.
Bƣớc 3: Thực hiện chƣơng trỡnh giải:
GV: Em hóy biến đổi đƣa hệ về dạng hệ PT gồm một PT bậc hai và một PT bậc nhất hai ẩn? x +y − 2xy + 1 = 0 HS: (I ) ⇔ (x + y)2 S =x + y − 2xy + 2( x +y) − 1 = 0 S − 2P + 1 = 0 Đặt P =xy ta đƣợc (I) ⇔S 2 − 2P + 2S − 1 = 0 (II)
GV: Hóy giải hệ PT (II)?
HS: Trừ vế theo vế PT thứ hai cho PT thứ nhất, ta cú: S = 1 S 2 +S − 2 = 0 ⇔ S =−2 Từ PT thứ nhất của hệ (II), ta cú: Nếu S = 1,thỡ P = 1. Nếu S =−2, S = 1 thỡ P =−1 . 2 x + y = 1 + Với P = 1 ta cú xy = 1
2 32 2 Khi đú x, y là nghiệm của PT:t 2 −t + 1 = 0 Khi đú x, y là nghiệm của PT:t 2 −t + 1 = 0 PT vụ nghiệm ⇒ Hệ PT đó cho vụ nghiệm. + Với
S =−2
ta cú x + y =−2
1 1
P =−2 xy =−2
Khi đú x, y là nghiệm của PT:t 2 + 2t −1 = 0. 2
PT này cú hai nghiệm: t =−1 − 3 và t =−1 + 3 .
2 2
Kết luận: Hệ đó cho cú hai nghiệm là: − 1 − 3 ;−1 + và − 1 + 3 ;−1 − 3 . 2
Bƣớc 4: Kiểm tra và nghiờn cứu lời giải:
GV: Hóy kiểm tra xem kết quả trờn cú đỳng khụng? HS: Thay trực tiếp kết quả vừa tỡm đƣợc vào hệ PT (II).
GV: Ta cú thể ỏp dụng cỏch giải này đối với một số bài toỏn tƣơng tự nhƣ: Giải cỏc hệ PT sau: a). 2 x +x −y 2−y = 0 b). x +y +xy =−1 c). (x +y )2 −xy = 4 x 2 + y 2 =−5( x + y) x2 y +xy2 =−2 (x +y ) +xy = 2
GV cú thể chia lớp học thành cỏc nhúm, rồi giao nhiệm vụ cho mỗi nhúm giải một hệ PT, sau một khoảng thời gian nhất định thỡ kiểm tra kết quả làm việc của từng nhúm đồng thời sửa chữa sai lầm (nếu cú).
HS: (HS tự giải)
GV: Qua cỏc vớ dụ trờn, khỏi quỏt cỏc bƣớc giải hệ PT đối xứng loại 1 đối với x, y.
HS: Cỏc bƣớc thực hiện
+ Đặt ẩn số phụ S =x +y
P = xy , đƣa hệ PT ban đầu về hệ PT với ẩn phụ. + Giải hệ PT ẩn phụ.
+ Quay lại phộp đặt, giải hệ PT với ẩn x, y.
Giải thớch:
Ở vớ dụ trờn, GV đó vận dụng một số PPDH nhƣ: PP vấn đỏp, PP phỏt hiện và GQVĐ kết hợp với dạy học hợp tỏc nhúm thụng qua cỏc hoạt động hƣớng đớch, quy lạ về quen, khỏi quỏt hoỏ. GV đó hƣớng dẫn HS tỡm ra lời giải của bài toỏn bằng hoạt động hƣớng đớch, tức là gợi ý cho HS biến đổi cỏc PT của hệ theo tổng và tớch hai ẩn x, y. Tiếp theo, bằng cỏc cõu hỏi của GV giỳp HS nhận ra hệ PT đó cho từ chỗ HS chƣa biết cỏch giải đƣa đƣợc về dạng hệ PT mới gồm một PT bậc hai và một PT bậc nhất hai ẩn mà cỏc em đó biết cỏch giải, đú là hỡnh thức sử dụng quy tắc suy đoỏn: quy lạ về quen. Cuối cựng bằng hoạt động khỏi quỏt hoỏ GV yờu cầu HS rỳt ra cỏc bƣớc thực hiện giải hệ PT đối xứng loại 1 đối với x, y.