Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Khái niệm
- Xét hệ thống có phương trình đặc tính
- Nghiệm của phương trình đặc tính ứng với các giá trị khác nhau của K
Vẽ các nghiệm của phương trình tương ứng với các giá trị của K lên mặt phẳng phức. Nếu cho K thay đổi liên tục từ 0 đến +8, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình tạo thành đường đậm nét như trên hình vẽ. Đường đậm nét trên hình vẽ được gọi là quỹ đạo nghiệm số.
Định nghĩa
Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ
.
Qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số
Sơ đồ hệ thống điều khiển tự động
Xét hệ thống điều khiển có sơ đồ khối ở hình 4.6. Phương trình đặc tính của hệ
Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặc tính về dạng
trong đó K là thông số thay đổi. Đặt
Sau đây là 11 qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số của hệ thống có phương trình đặc tính có dạng
Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương trình đặc tính = số cực của G0(s) = n.
Qui tắc 2: Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của Go(s). Khi K tiến đến
: m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero của Go(s), n-m nhánh còn lại tiến đến 8 theo các tiệm cận xác định bởi qui tắc 5 và 6.
Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.
Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của Go(s) bên phải nó là một số lẻ.
Qui tắc 5: Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác định bởi
Qui tắc 6:Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ xác định bởi
(pivà zilà các cực và các zero của Go(s)).
Qui tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình:
Qui tắc 8: Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định bằng một trong hai cách sau đây
- Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz. - Thay
vào phương trình đặc tính (4.12), cân bằng phần thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với trục ảo và giá trị K.
Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức pjđược xác định bởi
Dạng hình học của công thức trên là
Qui tắc 10:Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ
Qui tắc 11:Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số có thể xác định từ điều kiện biên độ
Ví dụ 4.7.Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giải.Phương trình đặc tính của hệ thống
Các cực: ba cực.
Các zero: không có.
=> QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0. Khi
, ba nhánh của QĐNS sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi: - Góc giữa các tiệm cận và trục thực
- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực
- Giao điểm của QĐNS với trục ảo có thể xác định bằng một trong hai cách sau đây: Cách 1
Áp dụng tiêu chuẩn Routh
Bảng Routh
Điều kiện để hệ thống ổn định
Vậy hệ số khuếch đại giới hạn là Kgh= 30.
Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình ta được giao điểm của QĐNS với trục ảo.
Giao điểm (nếu có) của QĐNS và trục ảo phải có dạng
Thay