Hàm cơ sở NURBS
, ( )
i p
R u
có tính chất xuất phát từ định nghĩa và hàm cơ sở B- Spline Ni,p(u) như sau:
a. Không âm (Nonenegativity):
, ( ) 0
i p
R u ≥
b. Phân đoạn (Partition of unity): c. N0,p(0) = Nn,p(1) = 1 c. N0,p(0) = Nn,p(1) = 1
d. Với p > 0, tất cả
, ( )
i p
R u
e. Hiệu chỉnh cục bộ (Local support):
, ( )
i p
R u
= 0 nếu u ∉ [ui, ui+p+1). Trên miền tham số [uj, uj+1) có tối đa (p + 1) hàm cơ sở
, ( ) 0
i p
R u ≠
, i = j - p, j.
f. Liên tục (Continuity): Tại các điểm nút, hàm cơ sở Ni,p(u) liên tục đạo hàm bậc (p-k), k hệ số lặp giá trị điểm nút (multiplicity of the knot). k), k hệ số lặp giá trị điểm nút (multiplicity of the knot).
g. Nếu w = 1 với mọi i, Ri,p(u) = Ni,p(u): Ni,p(u) là trường hợp đặc biệt của Ri,p(u).
Đường cong NURBS có đặc điểm hình học xuất phát từ tính chất hàm cơ sở Ri,p(u) như sau:
h. Nội suy 2 điểm điều khiển đầu cuối: C(0) = P0, C(1) = Pn.
i. Tính bất biến với các phép biến đổi liên thuộc (affine invariance). j. Tính chất bao lồi (convex hull property). j. Tính chất bao lồi (convex hull property).
k. Liên tục và đạo hàm: C(u) đạo hàm vô hạn trên miền tham số bên trong các bước
nút và đạo hàm liên tục ít nhất bậc (p - k) tại điểm nút có hệ số lặp k.
l. Tính chất thu nhỏ (variation diminishing property): không có mặt phẳng nào cắt
đường cong nhiều lần hơn so với cắt đa tuyến điều khiển.
m. Đường cong NURBS không có điểm nút nội là đường cong Bézier hữu tỷ bởi vì
Ni,p(u) suy biến thành hàm cơ sở Bi,n(u). Đường cong NURBS là trường hợp tổng quát của cả
đường cong B-Spline vô tỷ, Bézier hữu tỷ và Bézier vô tỷ (Hình 12.51).
n. Xấp xỉ cục bộ (Local Approximation): Nếu điểm điều khiển Pi hoặc trọng số wi
Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số