Đường cong NURBS C(u) bậc p được định nghĩa như sau:
( 12.1 49)
Trong đó { i
P
} là các điểm điều khiển, { i
w } là các trọng số, { , ( ) i p N u } là các hàm cơ sở B-Spline định nghĩa trên vector nút không tuần hoàn và không đều.
{1 1 1 1 1 1 ,..., , p ,... m p , ,..., p p U a a u + u − − b b + + = 123
Trừ khi được định nghĩa khác, giả thiết a = 0, b = 1 và wi > 0, xem xét cách thức áp dụng tọa độ đồng nhất (homogeneous coordinate) cho đường cong B-Spline và xác lập đường cong NURBS từ đường cong B-Spline như sau: Cho (n+1) điểm điều khiển Pi,…, Pn, vector nút U = {u0, . . . , um} với (m+1) điểm nút. Đường cong B-Spline bậc p được xác lập từ các điểm điều khiển {Pi} và vector nút U như sau:
( 12.1 50)
Biểu diễn điểm điều khiển i
P
dưới dạng vector cột và bổ sung thành phần thứ 4 có giá trị bằng 1:
Có thể coi điểm i
P
là tọa độ đồng nhất. Do nhân tọa độ điểm (biểu diễn dưới dạng tọa độ đồng nhất) với hệ số khác không không làm thay đổi vị trí điểm, do đó nhân tọa độ
i
P
với trọng số i
w
chúng ta được dạng biểu diễn mới cho
i P : Lưu ý rằng Pi và W i P
biểu diễn cùng một điểm trong hệ tọa độ đồng nhất. Áp dụng điểm
Wi i
P
vào phương trình đường cong B-Spline, ta có đường cong B-Spline
( )
W
C u
biểu diễn trong hệ tọa độ đồng nhất:
( 12
.1 51 )
Tiếp theo, ta chuyển đường cong
( )
W
C u
trở lại hệ tọa độ Đề - các bằng cách chia các thành phần tọa độ ( ) W C u cho thành phần tọa độ thứ 4: ( 12.1 52) Hay: Bằng cách đặt: (12.
Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
Bởi vì đường cong B-Spline trong hệ tọa độ 4 chiều chuyển thành đường cong NURBS bằng cách chia các thành phần tọa độ cho thành phần tọa độ thứ 4, có thể nói đường cong NURBS trong không gian 3 chiều là phép chiếu phối cảnh của đường cong B- Spline trong không gian 4 chiều lên mặt phẳng giả lập W = 1.
Như vậy, có thể áp dụng hệ tọa độ đồng nhất để biểu diễn đường cong NURBS một cách hiệu quả.
Cho {Pi} là các điểm điều khiển biểu diễn theo hệ tọa độ Đề - các Pi = (xi, yi, zi);
w i
P
là tọa độ điểm tương ứng biểu diễn theo hệ tọa độ đồng nhất.
H là phép chiếu phối cảnh định nghĩa bởi (12.155):
(12. 155)
Đường cong B-Spline vô tỷ được xác lập từ các điểm điều khiển { }w i P
như sau:
(12 .156)
Áp dụng phép chiếu phối cảnh H đối với đường cong CW(u), chúng ta có đường cong
NURBS trong không gian 3 chiều: