Trƣớc khi đi vào giải pháp cho bài toán định vị một vật thể trong không gian chúng ta xem xét giải pháp định vị một vật thể trong một mặt phẳng qua một ví dụ đơn giản. Ví dụ này đƣợc lấy từ tài liệu tham khảo [1] và đƣợc dẫn ra ở đây vì nó cho ta một cái nhìn rất rõ nét về khái niệm xác định vị trí theo thời gian tín hiệu Xét trƣờng hợp một thủy thủ ở biển xác định vị trí tàu của anh ta từ một còi báo hiệu trong sƣơng mù. Giả thiết rằng tàu này đƣợc trang bị một đồng hồ chính xác và thủy thủ biết gần đúng vị trí của tàu. Cũng giả thiết rằng còi báo hiệu trong sƣơng mù phát âm chính xác ở các mốc thời gian đã định trƣớc và đồng hồ của tàu đƣợc đồng bộ với còi báo hiệu. Thủy thủ ghi lại thời gian trôi qua từ thời điểm đánh dấu cho đến khi mà còi báo hiệu đƣợc nghe thấy. Thời gian truyền của còi báo hiệu là thời gian cần để âm báo hiệu rời khỏi còi báo và truyền đến tai của thủy thủ. Thời gian truyền này nhân với vận tốc của âm thanh (xấp xỉ khoảng 335 m/s) là khoảng cách từ còi đến thủy thủ. Nếu tín hiệu còi mất 5 giây để đến tai của thủy thủ thì khi đó khoảng cách từ còi báo đến vị trí của thủy thủ là 1675 m. Khoảng cách này đƣợc kí hiệu là 𝑅1. Do đó chỉ với phép đo này, thủy thủ biết rằng tàu đang nằm trong một đƣờng tròn bán kính 𝑅1 với tâm là còi báo, mà đƣợc kí hiệu là còi báo số 1.
23
Giả thiết rằng, nếu thủy thủ đồng thời đo khoảng cách từ còi báo thứ hai cũng theo cách này thì tàu có thể đang ở khoảng cách 𝑅1 so với còi báo 1 và đang ở khoảng cách 𝑅2 so với còi báo 2. Giả thiết rằng các còi báo phát tín hiệu đồng bộ với nhau tại cùng một thời điểm và thủy thủ này có thể biết về cả thời gian truyền của âm báo. Do đó vị trí tƣơng đối của tàu so với các còi báo này là một trong số các giao điểm của hai đƣờng tròn. Hai giao điểm này là đối xứng với nhau qua đƣờng thẳng nối hai còi báo hiệu. Vì ngƣời ta giả thiết rằng thủy thủ có biết gần đúng về vị trí của tàu, một nhận định không may có thể bị loại bỏ (nghĩa là thủy thủ có thể xác định đƣợc vị trí của tàu nhờ các còi báo hiệu). Để xác định đƣợc chính xác vị trí của tàu, thủy thủ cần thực hiện một phép đo nữa với còi báo thứ ba, khi đó ràng buộc về khoảng cách 𝑅3 giữa tàu và còi báo thứ ba cho phép thủy thủ xác định đƣợc chính xác vị trí của tàu đang ở đâu. Nhƣ vậy trong trƣờng hợp tổng quát để định vị một điểm trong mặt phẳng chúng ta cần thực hiện ba phép đo khoảng cách tới ba điểm tham chiếu phân biệt đã biết tọa độ.
Hình 2-2 Hai kết quả có thể khi hai phép đo đƣơc thực hiện
24