2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II
2.5 Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ
Trong phần này ta sử dụng các kết quả có được trong phần trước cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ tổng quát với ánh xạ đa trị. Ta biết rằng lý thuyết bất đẳng thức biến phân vectơ được bắt đầu bởi Giannessi đã nổi lên như một công cụ mạnh cho một lớp các bài toán tối ưu vectơ, nó được mở rộng và tổng quát theo nhiều hướng khác nhau bằng cách sử dụng các phương pháp và ý tưởng sáng tạo.
Cho L(X, Y) là tập tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y và
< l, x > là kí hiệu giá trị của l tại x, trong đó l ∈ L(X, Y), x ∈ X. Rõ ràng ta có hl, xi ∈ Y. Hơn nữa, cho K là tập con lồi, khác rỗng và compắc của không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff Z, cho D ⊆ X và
C : K ×D → 2Y là ánh xạ nón đa trị, P : D → 2D và Q : D → 2K, G :
K ×D → 2L(X,Y) là các ánh xạ đa trị và θ : K ×D ×D → X là ánh xạ phi tuyến. Trong phần này, ta xét bài toán tựa cân bằng vectơ yếu tổng quát và bài toán tựa cân bằng vectơ Pareto sau đây:
1) Tìmx¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P (¯x)vàhG(y,x¯), θ(y,x, t¯ )i * −C(y,x¯)\ {0},
với mọi t∈ P (¯x), y ∈ Q(¯x);
2) Tìm x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P (¯x) và hG(y,x¯), θ(y,x, t¯ )i * −intC (y,x¯),
với mọi t∈ P (¯x), y ∈ Q(¯x).
Định nghĩa 2.5.1. (i) Với mọi y ∈ K cố định, G(y, .) : D → 2L(X,Y) là
(C(y, .), θ(y, ., .))-giả đơn điệu nếu với mỗi x, t ∈ D
(ii) Với mọiy ∈ K cố định,G(y, .) : D → 2L(X,Y) là (C(y, .), θ(y, ., .))-giả đơn điệu mạnh nếu với mỗi x, t ∈ D
hG(y, x), θ(y, t, x)i * −(C(y, x)\ {0}) ⇒ hG(y, t), θ(y, x, t)i ⊆ −C(y, t).
Dễ dàng thấy rằng với mọi y ∈ K, G(y, .) là (C (y, .), θ(y, ., .))-giả đơn điệu (mạnh) nếu ánh xạ F (y, ., .) : D × D → 2Y được xác định bởi
F (y, x, t) =hG(y, x), θ(y, x, t)i là C(y, .)-giả đơn điệu (mạnh) như phần trước.
Các hệ quả sau được tìm thấy trong [25].
Hệ quả 2.5.1. Giả sử D là tập con lồi, compắc, khác rỗng của X, P :
D → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng và khác rỗng. Hơn nữa, giả sử T : D → 2K là ánh xạ semi liên tục dưới với giá trị khác rỗng, θ : K ×X ×X → X và G : K ×D → 2L(X,Y) là ánh xạ đa trị và
C : K×D →2Y là ánh xạ nón đa trị vớihG(y, x), θ(y, x, x)i∩C(y, x) 6= ∅
với mọi x ∈ D thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Với mọi t∈ D cố định, ánh xạ hG(y, .), θ(y, ., t)i : D → 2Y là C-hemi liên tục trên.
(ii) Với mọi x ∈ D, y ∈ K cố định, tập
A = {t ∈ D| hG(y, x), θ(y, x, t)i ⊆ −C(y, x)}
là tập đóng trong D;
(iii) Với mọi y ∈ K, G(y, .) là (C (y, .), θ(y, ., .))-giả đơn điệu mạnh; (iv) Với mọi y ∈ K cố định, ánh xạ F (y, ., .) : D×D →2Y được xác định bởi F (y, x, t) = hG(y, x), θ(y, x, t)i là C(y, .)-lồi dưới theo đường chéo (hay, C(y, .)-tựa giống như lồi dưới theo đường chéo) đối với biến thứ hai. Khi đó, tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P (¯x) và
hG(y,x¯), θ(y,x, t¯ )i * −(C(y,x¯)\ {0}), với mọi t ∈ P (¯x), y ∈ Q(¯x).
Chứng minh. Chứng minh của hệ quả này tương tự như Hệ quả 2.4.2 bằng cách lấy F (y, x, t) =hG(y, x), θ(y, x, t)i,(y, x, t) ∈ K ×D ×D.
Hệ quả 2.5.2. Giả sử D là tập con compắc, lồi, khác rỗng của X, P :
D → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị đóng, lồi, khác rỗng. Hơn nữa, giả sử G : K ×D → 2L(X,Y) là ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng,
θ : K ×D ×D → X là ánh xạ phi tuyến và C : K ×D → 2Y là ánh xạ nón đa trị với hG(y, x), θ(y, x, x)i ∩ C(y, x) 6= ∅ với mọi x ∈ D, y ∈ K
thỏa mãn các điều kiện sau
(i) Với mọi t ∈ D, y ∈ K cố định, ánh xạ hG(y, .), θ(y, ., t)i : D → 2Y
là C-hemi liên tục trên;
(ii) Với mọi x ∈ D, y ∈ K cố định, tập
A = {t ∈ D| hG(y, x), θ(y, x, t)i ⊆ −C(y, x)}
là tập đóng trong D;
(iii) Với mọi y ∈ K, G(y, .) là (C (y, .), θ(y, ., .))-giả đơn điệu;
(iv) Với mọi y ∈ K, ánh xạ F (y, ., .) : D × D → 2Y được xác định bởi
F (y, x, t) = hG(y, x), θ(y, x, t)i là C(y, .)-lồi dưới theo đường chéo đối với biến thứ hai.
Khi đó, tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P (¯x) và
hG(y,x¯), θ(y,x, t¯ )i * −intC(y,x¯), với mọi t ∈ P (¯x), y ∈ Q(¯x). Chứng minh.Chứng minh của hệ quả này tương tự như trong Hệ quả 2.4.4 bằng cách lấy F (y, x, t) =hG(y, x), θ(y, x, t)i,(y, x, t) ∈ K ×D ×D.
Chú ý 2.5.1. 1) Nếu với mọi x ∈ D, y ∈ K cố định, ánh xạ θ(y, x, .) :
D → X liên tục, khi đó điều kiện (ii) của Hệ quả 2.4.2 và Hệ quả 2.4.3 thỏa mãn.
2) Nếu với mọi x ∈ D, y ∈ K cố định, ánh xạ θ(y, x, .) : D →X là tuyến tính, khi đó điều kiện (iv) của Hệ quả 2.4.2 và Hệ quả 2.4.3 thỏa mãn. 3) Nếu Y = X∗ và với mọi y cố định, G(.) : D → X∗ là ánh xạ đơn trị hemi liên tục đơn điệu và P = D là ánh xạ đa trị hằng, khi đó Hệ quả 2.4.2 trở thành: Tồn tại x¯ ∈ D sao cho
hG(¯x), t−xi ≥¯ 0 (tương đương với: hG(t),x¯−ti ≥ 0), với mọi t∈ D.