2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II
2.3.2Bao hàm thức tựa biến phân loại II
Trong hệ quả sau ta giả sử rằng C : K ×D → 2Y là ánh xạ nón đa trị liên tục trên với giá trị lồi, đóng.
Hệ quả 2.3.2. [25] Cho D, K, P1, P2 như trong Định lý 2.2.1 và Q :
D × D → 2K sao cho với mỗi t ∈ D cố định, ánh xạ Q(., t) : D → 2K
nửa liên tục dưới. Cho G, H : K ×D ×D → 2Y là ánh xạ đa trị với giá trị compắc và G(y, x, x) ⊆H (y, x, x) + C(y, x), với mọi (y, x) ∈ K ×D. Cho C K ×D →2Y là ánh xạ đa trị nón với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Hơn nữa, giả sử
(i) Với bất kỳ điểm t ∈ D cố định, ánh xạ G(., ., t) : K × D → 2Y
là (−C)-liên tục dưới và ánh xạ N : K × D → 2Y được xác định bởi
N(y, x) =H(y, x, x) là C-liên tục trên;
(ii) G là (Q,C)-tựa giống như lồi theo đường chéo trên đối với biến thứ ba. Khi đó, tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
G(y,x, t¯ ) ⊆H (y,x,¯ x¯) + C(y,x¯), với mọi t∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t). Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : K ×D → 2X, F : K × D ×D → 2D như sau
M (y, x) = {t∈ D|G(y, x, t) ⊆H (y, x, x) + C(y, x)}, (y, x) ∈ K ×D
F (y, x, t) =t−M (y, x),(y, x, t) ∈ K ×D ×D.
Với mọi điểm t ∈ D cố định, ta có tập
A = x ∈ D|0∈ F (y, x, t),với mọi y ∈ Q(x, t) = x ∈ D|t ∈ M (y, x),với mọi y ∈ Q(x, t)
= {x ∈ D|G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), y ∈ Q(x, t)}.
Ta cần chỉ ra rằng tập con của A đóng trong D. Thật vậy, giả sử rằng ta có một dãy con {xα} ⊂ A và xα → x. Lấy tùy ý điểm y ∈ Q(x, t). Do Q(., t) là ánh xạ nửa liên tục dưới và xα → x, nên tồn tại một dãy
{yα}, yα ∈ Q(xα, t) sao cho yα →y. Tính (−C)-liên tục dưới của ánh xạ
G(., ., t), tính C-liên tục trên của H và tính nửa liên tục trên của C, kéo theo với mỗi lân cận V của gốc trong Y tồn tại một chỉ số α0 sao cho với mọi α ≤ α0 các bao hàm thức sau thỏa mãn
G(y, x, t) ⊆ G(yα, xα, t) +V +C(yα, xα)
⊆ H(yα, xα, xα) +V +C(yα, xα) +C(y, x)
⊆ H(y, x, x) + 3V +C(y, x).
Từ đây kết hợp tính compắc của H và tính đóng của C(y, x) dẫn đến
G(y, x, t) ⊆ H (y, x, x) +C(y, x), do đó x ∈ A. Điều này kéo theo A là đóng trong D và tập
B = D\A = x ∈ D|tồn tại y ∈ Q(x, t)sao cho0 ∈/ F (y, x, t)
mở trong D.
Hơn nữa, vì G(y, x, x) ⊆ H (y, x, x) +C(y, x), với mọi (y, x) ∈ K×D và
G là (Q,C)-tựa giống như lồi theo đường chéo trên đối với biến thứ ba, ta kết luận rằng với mọi tập hữu hạn {t1, ..., tn} ⊆ D, x ∈ co{t1, ..., tn} tồn tại chỉ số j ∈ {1, ..., n} sao cho
G(y, x, tj) ⊆G(y, x, x) +C(y, x) ⊆H (y, x, x) +C (y, x), với mọi
Từ đó suy ra rằng 0 ∈ F (y, x, tj) và khi đó F là ánh xạ Q-KKM. Theo Định lý 2.2.2 ta suy ra rằng tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯∈ P1(¯x) và
0 ∈ F (y,x, t¯ ) với mọi t∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t). Điều này tương đương với
G(y,x, t¯ ) ⊆ H (y,x,¯ x¯) +C(y,x¯), với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t). Ta có điều phải chứng minh.
Tương tự, ta có hệ quả sau (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hệ quả 2.3.3. [25] Cho D, K, P1, P2 và Q như trong Hệ quả 2.3.2. Cho
G, H : K×D×D →2Y là ánh xạ với các giá trị compắc và H (y, x, x) ⊆ G(y, x, x) − C(y, x), với mọi (y, x) ∈ K ×D. Cho C : K × D → 2Y là ánh xạ đa trị nón với tập các giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Hơn nữa, giả sử rằng:
(i) Với mọi t ∈ D cố định ánh xạ đa trị G(., ., t) : K × D → 2Y là
−(C)-liên tục trên và ánh xạ đa trị N : K ×D → 2Y được xác định bởi
N(y, x) =H(y, x, x) là C-liên tục dưới;
(ii) G được gọi là (Q,C)-tựa giống như lồi dưới theo đường chéo đối với biến thứ ba. Khi đó tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
H (y,x,¯ x¯) ⊆ G(y,x, t¯ )− C(y,x¯), với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t). Chứng minh. Chứng minh của Hệ quả này tương tự như đối với Hệ quả 2.3.2.