2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II
2.2 Sự tồn tại nghiệm
Trong phần này, ta đi tìm các điều kiện cho các tập D, K và các ánh xạ
P1, P2, Q, F để bài toán (GQEP)II có nghiệm. Ta có các định lý
Định lý 2.2.1. [9] Các điều kiện đủ cho bài toán (GQEP)II có nghiệm: (i) D là tập con khác rỗng, lồi, compắc;
(ii)P1 : D →2D là ánh xạ đa trị có các điểm bất độngD0 = {x ∈ D|x ∈ P1(x)}
khác rỗng và đóng trong D;
(iii) P2 : D →2D là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, P2−1(x) mở và bao lồi coP2(x) ⊆ P1(x) với mọi x ∈ D;
(iv) Với mỗi điểm cố định t ∈ D, tập
B = {x ∈ D| tồn tại y ∈ Q(x, t) sao cho 0 ∈/ F (y, x, t)}
mở trong D;
(v) F : K ×D ×D →2Y là ánh xạ Q-KKM.
Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ M : D → 2D như sau:
M(x) ={t∈ D| tồn tại y ∈ Q(x, t) sao cho 0∈/ F (y, x, t)}.
Ta thấy rằng nếu tồn tại điểmx¯∈ D,x¯ ∈ P1(¯x) sao choM (¯x)∩P2(¯x) =
∅, thì
Do đó để chứng minh định lý, ta cần chứng minh tồn tại điểm x¯ thỏa mãn điều kiện trên.
Giả sử ngược lại, với mỗi điểm x ∈ P1(x), kéo theo M (x)∩ P2(x) 6= ∅. Xét ánh xạ H : D →2D xác định bởi
H(x) =
(coM) (x)∩(coP2) (x) nếu x ∈ P1(x)
P2(x) nếu x /∈ P1(x). (2.8)
Ta sẽ chứng minh ánh xạ H xác định như trên thỏa mãn các giả thiết của định lý 1.4.3.
Với mỗi x ∈ P1(x), nếu M (x) ∩P2(x) 6= ∅, thì H (x) 6= ∅. Theo các giả thiết (iii), (iv) và Mệnh đề 1.3.2, ta suy ra với mỗi x ∈ D, (coM)−1(x)
và (coP2)−1(x) là các tập mở, từ đó suy ra
H−1(x) = (coM)−1(x)∩(coP2)−1(x)∪ P2−1(x)∩D\D0
là tập mở trong D.
Ta sẽ chứng minh x /∈ H (x).
Ngược lại, giả sử tồn tại điểm x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ H (¯x) = coM(¯x) ∩ coP2(¯x), khi đó ta tìm được các điểm t1, ..., tn ∈ M (¯x) thỏa mãn x¯ =
n P 1 αiti, αi ≥ 0, n P 1
αi = 1. Từ định nghĩa của M, ta suy ra tồn tại y ∈ Q(¯x, t) sao cho 0∈/ F (y,x, t¯ i) với mọi i = 1, ..., n.
Mặt khác, vì F là ánh xạ Q-KKM, nên tồn tại chỉ số j ∈ {1, ..., n} sao cho
0∈ F (y, x, tj) với mọi y ∈ Q(x, tj),
ta có mâu thuẫn. Vậy với mỗi x ∈ D, x /∈ H (x). Áp dụng định lý 1.4.3, ta có tồn tại x¯ ∈ D sao cho H(¯x) =∅.
Nếu x /¯ ∈ P1(¯x), thì H (¯x) = P2(¯x) = ∅, điều này không thể xảy ra. Vậy tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(x) và M (¯x) ∩ P2(¯x) = ∅. Định lý được chứng minh.
Ta đã biết rằng một ánh xạ có nghịch ảnh mở là nửa liên tục dưới nhưng nửa liên tục dưới chưa chắc đã có nghịch ảnh mở. Trong định lý sau, ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của (GQEP)II với điều kiện của ánh xạ P2
là nửa liên tục dưới.
Định lý 2.2.2. [9] Các điều kiện đủ cho bài toán (GQEP)II có nghiệm: (i) D là tập con khác rỗng, lồi, compắc;
(ii) P1 là ánh xạ đóng và có tập các điểm bất động khác rỗng;
(iii) P2 nửa liên tục dưới với giá trị khác rỗng và bao lồi coP2(x) ⊆ P1(x)
với mỗi x ∈ D;
(iv) Với mỗi điểm cố định t ∈ D, tập
B = {x ∈ D| tồn tại y ∈ Q(x, t) sao cho 0 ∈/ F (y, x, t)}
mở trong D;
(v) F : K ×D ×D →2Y là ánh xạ Q-KKM.
Chứng minh. Gọi U là cơ sở lân cận lồi của gốc trong không gian X. Với mỗi U ∈ U, định nghĩa ánh xạ P1U, P2U : D → 2D bởi
P1U (x) = P1(x) + ¯U∩D, P2U (x) = (P2(x) +U)∩D.
Dễ dàng chứng minh được P2−U1(t) là tập mở trong D với mỗi t ∈ D và
coP2U (x) ⊆P1U (x) với mỗi x∈ D.
GọiAU là tập điểm bất động của ánh xạP1U. Lấy dãy{xα} ⊂ AU,xα →x. Khi đó tồn tại pα ∈ P1(xα), uα ∈ U¯ sao cho xα = pα+ uα. Vì P1 là ánh xạ đóng trên D compắc, nên ta có thể giả sử pα →p ∈ P1(x). Từ đây suy ra uα = xα −pα → x−p ∈ U¯, do đó x ∈ P1U (x) và ta có các tập điểm bất động của P1U đóng.
Do đó, các ánh xạ P1U, P2U, Q và F thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.2.1, suy ra tồn tại điểm x¯U ∈ D sao cho x¯U ∈ P1U (¯xU) và
0 ∈ F (y,x¯U, t) với mọi t ∈ P2U (¯xU) và y ∈ Q(¯xU, t).
Từ tính compắc của D, không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng x¯U hội tụ đến điểm x¯ khi U thắt dần. Tính đóng của P1 kéo theo x¯ ∈ P1(¯x). Lấy bất kỳ điểm t∈ P2(¯x), ta có tập
B = {x ∈ D| tồn tại y ∈ Q(x, t) sao cho 0∈/ F (y, x, t)}
mở trong D nên tập
A = {x ∈ D|0 ∈ F (y, x, t) với mọi y ∈ Q(x, t)}
đóng trong D. Mặt khác x¯U ∈ A và x¯U hội tụ đến x¯, cho nên x¯ ∈ A. Điều này kéo theo 0 ∈ F (y,x, t¯ ) với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
Định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.2.1. [9] Giả sử các điều kiện sau đây thỏa mãn (i) D, K là các tập compắc, lồi, khác rỗng;
(ii) P là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; (iii) Với mỗi điểm t ∈ D cố định, tập
B = {x ∈ D| tồn tại y ∈ Q(x, t) sao cho 0 ∈/ F (y, x, t)}
mở trong D;
(iv) F : K ×D ×D → 2Y là ánh xạ Q- KKM. Khi đó, bài toán trên có nghiệm.
Chứng minh. Chứng minh của hệ quả này được suy ra từ Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.2 với P = P1 = P2.
Một số ứng dụng của định lý trên là để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân,..., chúng ta có thể thấy điều đó sau đây