2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II
2.3.3Bài toán tựa quan hệ biến phân loại II
Cho R là quan hệ ba ngôi giữa y ∈ K, x ∈ D, t ∈ D. Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa quan hệ biến phân.
Hệ quả 2.3.4. [25] Cho D, K, P1, P2 và Q được cho như trong Hệ quả 2.3.2. Giả thiết
(i) Với mọi t∈ D cố định, quan hệ R(., ., t) là đóng; (ii) R là ánh xạ Q-KKM.
Khi đó tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và R(y,x, t¯ ) thỏa mãn với mọi
t∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
Chứng minh. Ta định nghĩa các ánh xạ đa trị M : K ×D → 2X, F :
K ×D×D → 2D bởi
M (y, x) =t∈ D|R(y, x, t) thỏa mãn và
F (y, x, t) =t−M (y, x),(y, x, t) ∈ K ×D ×D.
Với mọi t ∈ D cố định, ta đặt
A = x ∈ D|R(y, x, t) thỏa mãn,với mọi y ∈ Q(x, t) = x ∈ D|0∈ F (y, x, t),với mọi y ∈ Q(x, t)
Ta sẽ chứng minh A là tập đóng. Thật vậy, giả sử dãy suy rộng {xα} ⊂ A
và xα → x. Khi đó ta có quan hệ R(y, xα, t) xảy ra với mọi y ∈ Q(xα, t). Do Q(., t) là ánh xạ nửa liên tục dưới và xα → x, nên với mọi điểm
y ∈ Q(x, t), tồn tại dãy {yα}, yα ∈ Q(xα, t) sao cho yα →y. Do đó quan hệ R(yα, xα, t) xảy ra với mọi yα ∈ Q(xα, t). Mặt khác, với mỗi t ∈ D
cố định, quan hệ R đóng nên R(y, x, t) xảy ra với mọi y ∈ Q(x, t). Điều này chứng tỏ A là tập đóng trong D, ta đặt
B = D\A = x ∈ D|0∈/ F (y, x, t),với một vàiy ∈ Q(x, t)
mở trong D.
Hơn nữa, vì R là ánh xạ Q-KKM, nên với mỗi tập hữu hạn {t1, ..., tn} ⊆ D, x ∈ co{t1, ..., tn}, tồn tại chỉ sốj ∈ {1, ..., n}sao cho quan hệR(y, x, tj)
xảy ra với mọi y ∈ Q(x, tj). Điều này dẫn đến 0 ∈ F (y, x, tj) với mọi
y ∈ Q(x, tj). Vì vậy F là Q-KKM.
Để hoàn thành chứng minh Hệ quả này, ta sử dụng Định lý 2.2.1 để chỉ ra tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và R(y,x, t¯ ) thỏa mãn với mọit ∈ P2(¯x)
và y ∈ Q(¯x, t).
Hệ quả được chứng minh.