Để phục vụ cho việc chứng minh một số Định lý ở chương sau, ta cần nhắc đến Định lý quan trọng sau.
Định lý 1.4.2 (Browder-KyFan, 1968). [9] Cho X là không gian vectơ tôpô, K ⊂ X là một tập con lồi, khác rỗng, compắc. F : K → 2K là ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện:
a) Với mọi x ∈ K, F (x) là tập lồi;
b) Với mọi x ∈ K, F−1(y) là tập mở trong K. Khi đó, tồn tại điểm x¯∈ K sao cho x¯ ∈ F (¯x).
Định lý sau là một dạng khác của định lý Browder-Ky Fan.
Định lý 1.4.3. Cho X là một không gian vectơ tôpô, K ⊂ X là một tập con lồi, khác rỗng, compắc. F : K → 2K là ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện:
a) Với mọi x ∈ K, x /∈ F (x) và F(x) là tập lồi; b) Với mọi y ∈ K, F−1(y) là tập mở trong K. Khi đó tồn tại điểm x¯ ∈ K sao cho F (¯x) =∅.
Chương này đã trình bày một số kiến thức trong giải tích đa trị như: 1. Tính liên tục và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị.
2. Tính lồi và tựa lồi theo nón của ánh xạ đa trị. 3. Một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị.
Chương 2
Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II
2.1 Phát biểu bài toán
Ta xét bài toán tối ưu qua các cấp lãnh đạo sau: Tập đoàn kinh tế chuyên sản xuất hàng tiêu dùng hoạt động theo mô hình công ty mẹ, công ty con. Giả sử công ty con có tập các phương án sản xuất D. Với mỗi phương án sản xuất x ∈ D, công ty mẹ có tập chỉ đạo là P1(x), công ty con có tập chỉ đạo là P2(x). Mục tiêu sản xuất được biểu diễn qua ánh xạ
F. Trong quá trình sản xuất công ty con phải chịu các loại thuế Q. Mục đích của công ty mẹ là tìm một phương án sản xuất x¯ của chỉ đạo P1(¯x)
phù hợp với các điều kiện của lãnh đạo công ty con P2(¯x) sao cho sau khi chịu các loại thuế Q sản xuất luôn ổn định. Tức là đạt được mục tiêu đề ra. Bài toán này gặp rất nhiều trong thực tế và nó được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II mà trong luận văn này chúng ta sẽ nghiên cứu.
Trong luận văn này ta giả thiếtX, Z vàY là không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trịS : D×K →2D, T : D×K → 2K; P1 : D →2D, P2 : D →2D,
Q : K ×D → 2K và F1 : K ×D ×D → 2Y, F : K ×D ×D → 2Y với các giá trị khác rỗng, ta có các bài toán sau:
(A) Tìm (¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho 1. x¯ ∈ S(¯x,y¯) ;
2. y¯∈ T (¯x,y¯) ;
3. 0∈ F1(¯y,x,¯ x, z¯ ), với mọi z ∈ S(¯x,y¯).
Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và kí hiệu là (GQEP)I. (B) Tìm x¯∈ D sao cho ¯ x ∈ P1(¯x) (2.1) và 0 ∈ F (y,x, t¯ ), với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II và được kí hiệu là (GQEP)II.
Trong các bài toán trên, các ánh xạ đa trị S, T, P1, P2 và Q là các ràng buộc, F1 và F là các ánh xạ mục tiêu và chúng có thể là đẳng thức, bất đẳng thức hoặc là bao hàm thức hay là tương giao của các ánh xạ đa trị. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I được tìm hiểu trong [11]. Trong khuôn khổ luận văn này, ta chỉ xét sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II.
Dưới đây ta đưa một số ví dụ minh họa sự mở rộng của bài toán(GQEP)II
đối với các bài toán trong lý thuyết tối ưu.
1. Bài toán tựa cân bằng: Cho D, K, Pi, i = 1,2, Q như trên. Cho R+ là tập các số thực không âm và Φ : K ×D ×D → R là hàm thỏa mãn Φ (y, x, x) = 0 với mọi y ∈ K, x ∈ D. Bài toán tựa cân bằng
(GQEP)II được phát biểu như sau: Tìm x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x)
và
0 ∈ Φ (y,x, t¯ )−R+, với mọi t∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
Bài toán này được hiểu như là bài toán tựa cân bằng tổng quát: Tìm
¯
x ∈ D sao cho x¯∈ P1(¯x) và
Φ (y,x, t¯ ) ≥ 0, với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
Bài toán này được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, ví dụ [12],[16],[17],[20]. 2. Bài toán tựa biến phân Minty. Cho < ., . >: X × Z → R là hàm song tuyến tính liên tục. Ta xét các bài toán tựa biến phân sau: Tìm
¯
x ∈ D sao cho x¯∈ P1(¯x) và
< y, t −x >≥¯ 0 với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
Đặt F (y, x, t) =< y, t−x > −R+, Bài toán (GQEP)II được phát biểu như sau: Tìm x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
0 ∈ F (y,x, t¯ ), với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
3. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại II. ChoD, K, Y, Pi, i = 1,2và Q được xác định như trên. Hơn nữa, giả sử rằng C : K×D →
2Y là ánh xạ nón (với mọi (y, x) ∈ K ×D,C(y, x) là nón trong Y),
G và H là các ánh xạ đa trị trên K ×D ×D với giá trị trong Y. Ta định nghĩa các ánh xạ đa trịM : K×D →2X;F : K×D×D → 2Y
như sau
M (y, x) = {t∈ D|G(y, x, t) ⊆H (y, x, x) + C (y, x)},
và
F (y, x, t) =t−M (y, x),(y, x, t) ∈ K ×D ×D.
Bài toán (GQEP)II được phát biểu như sau: Tìm x¯ ∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x) và
0 ∈ F (y,x, t¯ ), với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t). Điều này suy ra
G(y,x, t¯ ) ⊆ H(y,x,¯ x¯) + C(y,x¯) với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t). Đây là bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên được nghiên cứu trong [20], [22], [23].
4. Bài toán tựa cân bằng lý tưởng trên (dưới) loại II.ChoD, K, Y, Pi, i= 1,2vàQnhư trên. Ánh xạ nón C : K×D → 2Y và G: K×D×D → Y. Bài toán: tìm x¯∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
G(y,x, t¯ ) ⊆ C(y,x¯), với mọi t∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t). (tương ứng, G(y,x, t¯ )∩ C(y,x¯) 6= ∅, với mọi t∈ P2(¯x) và
y ∈ Q(¯x, t)) Bài toán này được nghiên cứu trong [20].
5. Tựa quan hệ biến phân tổng quát loại II. Cho D, K, Pi, i = 1,2, Q
được cho như trên. Cho R(y, x, t) là quan hệ ba ngôi giữa y ∈ K, x, t ∈ D. Ta định nghĩa các ánh xạ đa trị M : K ×D → 2X;F :
K ×D ×D →2Y bởi
và
F (y, x, t) =t−M (y, x),(y, x, t) ∈ K ×D ×D.
Bài toán (GQEP)II được phát biểu như sau: Tìm x¯ ∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x) và
0 ∈ F (y,x, t¯ ), với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t). Bài toán này trở thành bài toán tìm x¯ ∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x)
và
R(y,x, t¯ ) thỏa mãn với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
6. Bao hàm thức vi phân. Cho D ⊂ C1[a, b] là tập khác rỗng, trong đó C [a, b] và C1[a, b] là không gian các hàm liên tục và tương ứng vi phân liên tục trên đoạn [a, b]. Cho P1, P2 như trên. Cho Ω là tập khác rỗng và U : D ×D → 2Ω là ánh xạ đa trị. Tập K = Ω×R và
Q : D ×D → 2Y được cho bởi Q(x, t) = U (x, t) ×[a, b]. Cho một ánh xạ đa trị G :K×D×D →2C[a,b]. Bài toán: Tìm x¯∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x) và
x0 ∈ G(y, ξ,x, t¯ ), với mọi t ∈ P2(¯x) và (y, ξ) ∈ Q(¯x, t),
được nghiên cứu trong [13] trở thành bài toán tìm x¯ ∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x) và
trong đó F (y, ξ, x, t) =x0−G(y, ξ, x, t) và x0 kí hiệu là vi phân của
x.
7. Bài toán tối ưu điều khiển. Cho Ω là mở, giới nội trong Rn, n ≥ 2
với biên Γ thuộc lớp C1. Xét bài toán: tìm hàm điều khiển u ∈ Lp(Ω),1 < p < +∞ và trạng thái tương ứng y ∈ W1,r(Ω) làm cực tiểu hàm mục tiêu J(y, u) = Z Ω L(x, y(x), u(x))dx (2.2) với các phương trình trạng thái sau
− n
X
i,j=1
(Dj (aij(x)).Diy) + h(x, y) =u, (2.3) trong Ω, y = 0, trên Γ và với một trong các ràng buộc sau:
a) Loại 1: Ràng buộc hỗn hợp
gi(x, y(x), u(x)) ≤ 0, (2.4) h.k.n với x ∈ Ω, i = 1, ..., n.
b) Loại 2: Ràng buộc thuần nhất
g(x, y(x)) ≤ 0,∀x ∈ Ω u(x) ∈ U, h.k.n, x ∈ Ω. (2.5) c) Loại 3: Ràng buộc hỗn hợp g(x, y(x)) ≤ 0,∀x∈ Ω; fi(x, y(x), u(x)) ≤ 0, h.k.n x ∈ Ω, i = 1, ..., n. (2.6) Giả sử 1 n > 1 r ≥ 1 p − 1 n (2.7)
u ∈ W1,r(Ω), y ∈ W01,r(Ω) là nghiệm của (2.3) nếu
R Ω n P i,j=1 aijDiy Djϕ ! dx+R Ω h(x, y)ϕdx = hu, ϕi
với mọi ϕ ∈ W01,r(Ω) Sử dụng (2.7), Định lý Sobolev và Rellich dẫn đến Lp(Ω) ,→W1,r(Ω). Vì vậy, u ∈ Lp(Ω).
Phương trình (2.3) có duy nhất nghiệm y ∈ W01,r(Ω),→ C Ω¯. Ta định nghĩa: K(y, u) = Ay+ h(., y) =u Gi(y, u) = gi(., y, u) . Nếu gi(., y, u) ∈ C Ω¯, ta có định nghĩa: φi(y, u) = max x∈Ω gi(x, y(x), u(x)). Bài toán (2.2) - (2.4) dẫn đến bài toán
minJ(y, u) ; với ràng buộc K(y, u) = 0, và φ(y, u) ≤ 0. Ta đặt F (y, u, z, w) =J(y, u)−J(z, w) +R+; G(y, u, z, w) = K(y, u), n Q i=1 φi(y, u)−R+ .
Bài toán trên tương đương với bài toán Tìm (¯y,x¯) ∈ W01,r(Ω)×Lp(Ω) sao cho 0 ∈ F (¯y,u, z, w¯ )× K(y, u), n Q i=1 φi(y −u)−R+ .
Điều này có nghĩa là
J(¯y,u¯) ≤J (z, w) với mọi z, w ∈ W01,r(Ω)×Lp(Ω);
8. Bài toán cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi Cho Xi, i ∈ I, Y là không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, I là tập chỉ số (số của người chơi), C ⊆ Y là nón lồi. Với mỗi i ∈ I, Di ⊆ Xi là tập khác rỗng (tập chiến lược của người chơi i). Đặt
D =
n
Q
i=1
Di.
Với mỗi i ∈ I, ánh xạ đa trị Sij : D → 2D, j = 1,2 là ràng buộc của người chơi i. Hàm fi : D → Y là hàm tổn thất của người chơi i. Các hàm này phụ thuộc vào chiến lược cho tất cả trò chơi.
Cho x = (xi)i∈I ∈ D, ta kí hiệu xi = (xj)j∈I\{i}, x¯= (¯xi)i∈I được gọi là điểm cân bằng của trò chơi khi và chỉ khi i ∈ I, ta có
¯ xi ∈ Si1(¯x) fi x¯i, yi−fi(¯x) ∈ −/ (C\ {0}),∀yi ∈ Si2(¯x), i∈ I. Ta đặt G(x, t) = n P i=1 fi xi, ti−fi(x); M (x) ={t ∈ D|G(x, t) ∈ −/ (C\ {0})} và F (x, t) =t−M (x),(t, x) ∈ D ×D. Nếu x¯ ∈ S1(¯x) = n Q i=1
Si(¯x) sao cho 0 ∈ F (¯x, t) với mọi ti ∈ Si2(¯x), i∈ I, ta có ¯ xi ∈ Si1(¯x) ; G(¯x, t) ∈ −/ (C\ {0}),∀yi ∈ Si2(¯x), i ∈ I. Khi đó ta có ¯ xi ∈ Si1(¯x),∀i = 1, ..., n; n P i=1 fi x¯i, ti−fi(¯x) ∈ −/ (C\ {0}).
Từng bước, ta thay t = (¯xi, ti) ∈ Si2(¯x), ta kết luận
fi x¯i, ti ∈/ fi(¯x)−(C\ {0}), với mọi ti ∈ Si2(¯x).
Vậy, x¯ = (¯xi)i∈I là điểm cân bằng Pareto của trò chơi Nash.
2.2 Sự tồn tại nghiệm
Trong phần này, ta đi tìm các điều kiện cho các tập D, K và các ánh xạ
P1, P2, Q, F để bài toán (GQEP)II có nghiệm. Ta có các định lý
Định lý 2.2.1. [9] Các điều kiện đủ cho bài toán (GQEP)II có nghiệm: (i) D là tập con khác rỗng, lồi, compắc;
(ii)P1 : D →2D là ánh xạ đa trị có các điểm bất độngD0 = {x ∈ D|x ∈ P1(x)}
khác rỗng và đóng trong D;
(iii) P2 : D →2D là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, P2−1(x) mở và bao lồi coP2(x) ⊆ P1(x) với mọi x ∈ D;
(iv) Với mỗi điểm cố định t ∈ D, tập
B = {x ∈ D| tồn tại y ∈ Q(x, t) sao cho 0 ∈/ F (y, x, t)}
mở trong D;
(v) F : K ×D ×D →2Y là ánh xạ Q-KKM.
Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ M : D → 2D như sau:
M(x) ={t∈ D| tồn tại y ∈ Q(x, t) sao cho 0∈/ F (y, x, t)}.
Ta thấy rằng nếu tồn tại điểmx¯∈ D,x¯ ∈ P1(¯x) sao choM (¯x)∩P2(¯x) =
∅, thì
Do đó để chứng minh định lý, ta cần chứng minh tồn tại điểm x¯ thỏa mãn điều kiện trên.
Giả sử ngược lại, với mỗi điểm x ∈ P1(x), kéo theo M (x)∩ P2(x) 6= ∅. Xét ánh xạ H : D →2D xác định bởi
H(x) =
(coM) (x)∩(coP2) (x) nếu x ∈ P1(x)
P2(x) nếu x /∈ P1(x). (2.8)
Ta sẽ chứng minh ánh xạ H xác định như trên thỏa mãn các giả thiết của định lý 1.4.3.
Với mỗi x ∈ P1(x), nếu M (x) ∩P2(x) 6= ∅, thì H (x) 6= ∅. Theo các giả thiết (iii), (iv) và Mệnh đề 1.3.2, ta suy ra với mỗi x ∈ D, (coM)−1(x)
và (coP2)−1(x) là các tập mở, từ đó suy ra
H−1(x) = (coM)−1(x)∩(coP2)−1(x)∪ P2−1(x)∩D\D0
là tập mở trong D.
Ta sẽ chứng minh x /∈ H (x).
Ngược lại, giả sử tồn tại điểm x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ H (¯x) = coM(¯x) ∩ coP2(¯x), khi đó ta tìm được các điểm t1, ..., tn ∈ M (¯x) thỏa mãn x¯ =
n P 1 αiti, αi ≥ 0, n P 1
αi = 1. Từ định nghĩa của M, ta suy ra tồn tại y ∈ Q(¯x, t) sao cho 0∈/ F (y,x, t¯ i) với mọi i = 1, ..., n.
Mặt khác, vì F là ánh xạ Q-KKM, nên tồn tại chỉ số j ∈ {1, ..., n} sao cho
0∈ F (y, x, tj) với mọi y ∈ Q(x, tj),
ta có mâu thuẫn. Vậy với mỗi x ∈ D, x /∈ H (x). Áp dụng định lý 1.4.3, ta có tồn tại x¯ ∈ D sao cho H(¯x) =∅.
Nếu x /¯ ∈ P1(¯x), thì H (¯x) = P2(¯x) = ∅, điều này không thể xảy ra. Vậy tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(x) và M (¯x) ∩ P2(¯x) = ∅. Định lý được chứng minh.
Ta đã biết rằng một ánh xạ có nghịch ảnh mở là nửa liên tục dưới nhưng nửa liên tục dưới chưa chắc đã có nghịch ảnh mở. Trong định lý sau, ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của (GQEP)II với điều kiện của ánh xạ P2
là nửa liên tục dưới.
Định lý 2.2.2. [9] Các điều kiện đủ cho bài toán (GQEP)II có nghiệm: (i) D là tập con khác rỗng, lồi, compắc;
(ii) P1 là ánh xạ đóng và có tập các điểm bất động khác rỗng;
(iii) P2 nửa liên tục dưới với giá trị khác rỗng và bao lồi coP2(x) ⊆ P1(x)
với mỗi x ∈ D;
(iv) Với mỗi điểm cố định t ∈ D, tập
B = {x ∈ D| tồn tại y ∈ Q(x, t) sao cho 0 ∈/ F (y, x, t)}
mở trong D;
(v) F : K ×D ×D →2Y là ánh xạ Q-KKM.
Chứng minh. Gọi U là cơ sở lân cận lồi của gốc trong không gian X. Với mỗi U ∈ U, định nghĩa ánh xạ P1U, P2U : D → 2D bởi
P1U (x) = P1(x) + ¯U∩D, P2U (x) = (P2(x) +U)∩D.
Dễ dàng chứng minh được P2−U1(t) là tập mở trong D với mỗi t ∈ D và
coP2U (x) ⊆P1U (x) với mỗi x∈ D.
GọiAU là tập điểm bất động của ánh xạP1U. Lấy dãy{xα} ⊂ AU,xα →x. Khi đó tồn tại pα ∈ P1(xα), uα ∈ U¯ sao cho xα = pα+ uα. Vì P1 là ánh xạ đóng trên D compắc, nên ta có thể giả sử pα →p ∈ P1(x). Từ đây suy ra uα = xα −pα → x−p ∈ U¯, do đó x ∈ P1U (x) và ta có các tập điểm bất động của P1U đóng.
Do đó, các ánh xạ P1U, P2U, Q và F thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.2.1, suy ra tồn tại điểm x¯U ∈ D sao cho x¯U ∈ P1U (¯xU) và
0 ∈ F (y,x¯U, t) với mọi t ∈ P2U (¯xU) và y ∈ Q(¯xU, t).
Từ tính compắc của D, không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng x¯U hội tụ đến điểm x¯ khi U thắt dần. Tính đóng của P1 kéo theo x¯ ∈ P1(¯x). Lấy bất kỳ điểm t∈ P2(¯x), ta có tập
B = {x ∈ D| tồn tại y ∈ Q(x, t) sao cho 0∈/ F (y, x, t)}
mở trong D nên tập
A = {x ∈ D|0 ∈ F (y, x, t) với mọi y ∈ Q(x, t)}
đóng trong D. Mặt khác x¯U ∈ A và x¯U hội tụ đến x¯, cho nên x¯ ∈ A. Điều này kéo theo 0 ∈ F (y,x, t¯ ) với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
Định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.2.1. [9] Giả sử các điều kiện sau đây thỏa mãn (i) D, K là các tập compắc, lồi, khác rỗng;
(ii) P là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; (iii) Với mỗi điểm t ∈ D cố định, tập
B = {x ∈ D| tồn tại y ∈ Q(x, t) sao cho 0 ∈/ F (y, x, t)}
mở trong D;
(iv) F : K ×D ×D → 2Y là ánh xạ Q- KKM. Khi đó, bài toán trên có nghiệm.
Chứng minh. Chứng minh của hệ quả này được suy ra từ Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.2 với P = P1 = P2.
Một số ứng dụng của định lý trên là để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân,..., chúng ta có thể thấy điều đó sau đây
2.3 Sự tồn tại nghiệm của một số bài toán liên quan
2.3.1 Bài toán tựa cân bằng vô hướng loại II
Ta có hệ quả sau
Hệ quả 2.3.1. [25] Cho D, K, P1, P2 và Q được cho như Định lý 2.2.1. ChoΦ : K×D×D → R được gọi là (Q,R+)- tựa giống như lồi theo đường chéo thực đối với biến thứ ba với Φ (y, x, x) = 0, với mọi y ∈ K, x ∈ D. Hơn nữa, giả sử rằng với mỗi t ∈ D cố định, ta có Φ (., ., t) : K×D → R
là nửa liên tục trên. Khi đó, tồn tại x¯∈ D sao cho x¯∈ P1(¯x) và
Φ (y,x, t¯ ) ≥0 với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
Chứng minh. Đặt F (y, x, t) = Φ (y, x, t)− R+ với mỗi (y, x, t) ∈ K × D ×D, ta thấy rằng với mỗi t ∈ D cố định, tập
B = {x ∈ D|tồn tại y ∈ Q(x, t) sao cho 0 ∈/ F (y, x, t)}
= {x ∈ D|Φ (y, x, t) < 0}
mở trong D. Do Φ là (Q,R+)-tựa giống như lồi trên theo đường chéo đối với biến thứ ba, khi đó với bất kỳ tập hữu hạn {t1, ..., tn} ⊆ D, x ∈ co{t1, ..., tn}, tồn tại chỉ số j ∈ {1, ..., n} sao cho
Φ (y, x, tj) ∈ Φ (y, x, x) + R+, với mọi y ∈ Q(x, tj).
Điều này dẫn đến Φ (y, x, tj) ≥ 0 và do đó 0 ∈ F (y, x, tj), với mọi y ∈ Q(x, tj). Điều này chứng tỏ F là ánh xạ Q-KKM từ K ×D×D đến 2R. Theo đó, P1, P2, Q và F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.2.1. Điều này dẫn đến, tồn tại x¯ ∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x)
0 ∈ F (y,x, t¯ ), với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t). Điều này tương đương với
Φ (y,x, t¯ ) ≥ 0, với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t). ta có điều phải chứng minh.
2.3.2 Bao hàm thức tựa biến phân loại II
Trong hệ quả sau ta giả sử rằng C : K ×D → 2Y là ánh xạ nón đa trị liên tục trên với giá trị lồi, đóng.
Hệ quả 2.3.2. [25] Cho D, K, P1, P2 như trong Định lý 2.2.1 và Q :
D × D → 2K sao cho với mỗi t ∈ D cố định, ánh xạ Q(., t) : D → 2K
nửa liên tục dưới. Cho G, H : K ×D ×D → 2Y là ánh xạ đa trị với giá trị compắc và G(y, x, x) ⊆H (y, x, x) + C(y, x), với mọi (y, x) ∈ K ×D. Cho C K ×D →2Y là ánh xạ đa trị nón với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Hơn nữa, giả sử