Trong phần này ta trình bày khái niệm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị. Ta nhắc lại khái niệm liên tục của ánh xạ đơn trị. Cho f là ánh xạ đơn trị từ X vào Y, f được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi tập mở V chứa f (x0) tồn tại tập mở U chứa
x0 sao cho f(U) ⊂V. Trường hợp F : X → 2Y là ánh xạ đa trị, Berge đã định nghĩa về nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của F như sau:
Định nghĩa 1.3.1. [3] Cho F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y, x0 ∈ domF.
(a) F được gọi là nửa liên tục trên tại x0 (kí hiệu usc tại x0) nếu với mọi tập mở V, F(x0) ⊂ V, đều tồn tại tập mở U của x0 sao cho
(b) F được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 (kí hiệu lsc tại x0) nếu với mọi tập mở V, F(x0)∩ V 6= ∅, đều tồn tại tập mở U của x0 sao cho
F(x)∩ V 6= ∅ với mọi x ∈ U.
(c) F được gọi là liên tục tại x0 nếu nó vừa liên tục trên và liên tục dưới tại x0.
Để đi tới khái niệm ánh xạ đa trị liên tục theo nón, ta nhắc lại các khái niệm về tính liên tục trên, liên tục dưới của hàm số.
Định nghĩa 1.3.2. Ánh xạ đơn trị f : X → R được gọi là ánh xạ nửa liên tục trên (hoặc dưới) tại x0 nếu với bất kỳ ε > 0 đều tồn tại lân cận U
của x0 sao cho: f(x) ≤ f(x0) +ε (hoặc f(x) ≥ f(x0)−ε) với mọi x ∈ U. Khái niệm này có thể phát biểu cho ánh xạ đa trị F, trong trường hợp Y
là không gian véctơ lồi địa phương với nón C.
Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D là tập con khác rỗng trong X, C là nón trong Y và F là ánh xạ đa trị từ D vào
Y. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.3.3. [3] a) F là C-liên tục trên (hoặc C-liên tục dưới) tại
x0 ∈ D nếu với bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U của
x0 trong X sao cho
F(x) ⊂ F(x0) +V +C
(hoặc F(x0) ⊂ F(x) + V −C) với mọi x ∈ U ∩domF.
b) F là C-liên tục tại x0 nếu F vừa là C-liên tục trên và vừa là C-liên tục dưới tại x0.
F là C-liên tục trên, C-liên tục dưới, C-liên tục trong D nếu nó là C-liên tục trên, C-liên tục dưới, C-liên tục tại mọi x thuộc D.
c) F là C-liên tục yếu (C-liên tục dưới yếu) tại x0 nếu lân cận U của x0
Chú ý. a) Nếu nón C = {0} và F(x0) là compắc thì phần (a) Định nghĩa 1.3.3 ở trên đồng nhất với định nghĩa về tính nửa liên tục trên và dưới của Berge. Trong trường hợp Y là không gian định chuẩn và F vừa là 0-liên tục trên, vừa là 0-liên tục dưới tại x0 thì F liên tục tại x0 theo khoảng cách Hausdorff.
b) Nếu F là ánh xạ đơn trị từ định nghĩa ta thấy C-liên tục trên và C-liên tục dưới của F là một và lúc đó F được gọi là C-liên tục.
c) Lấy Y = R và C = R+ = {x ∈ R : x ≥ 0} và nếu ánh xạ đơn trị F là
C-liên tục tại x0 ta suy raF nửa liên tục dưới tạix0 theo định nghĩa thông thường. Trong trường hợp ngược lại, lấy C = R− = {x ∈ R : x ≤ 0} và F
là C-liên tục tại x0 thì F nửa liên tục trên tại x0.
Một ánh xạ đa trị F là C-liên tục trên tại x0 nếu F(x) không giãn ra quá so với F(x0) + C khi x gần x0 và F là C-liên tục dưới tại x0 nếu F(x)
không bị thu lại quá nhỏ so với F(x0) +C khi x ở gần x0. Hai khái niệm
C-liên tục trên và C-liên tục dưới của ánh xạ đa trị F là hoàn toàn khác nhau.
Định nghĩa 1.3.4. Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X → 2Y là ánh xạ đa trị. F được gọi là ánh xạ đóng nếu GrF là tập đóng trong X ×Y. Nếu F (X) là tập compắc trong Y thì F gọi là ánh xạ compắc.
Ta tìm hiểu các điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới trong các mệnh đề sau. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Mệnh đề 1.3.1. [6] Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị. Nếu F là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị đóng, thì F là ánh xạ đóng. Ngược lại, nếu F
là ánh xạ đóng và Y là compắc thì F là ánh xạ nửa liên tục trên.
Mệnh đề 1.3.2. [27] a) Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị.F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x ∈ domF khi và chỉ khi với bất kỳ y ∈ F(x) và với bất
kỳ dãy suy rộng {xβ}β∈Λ ∈ D, xβ → x, tồn tại dãy {yβ}β∈Λ, yβ ∈ F (xβ)
sao cho yβ → y, trong đó Λ là tập các chỉ số.
b) Nếu ánh xạ F có nghịch ảnh mở, thì ánh xạ coF cũng có nghịch ảnh mở.
Mệnh đề 1.3.3. [28] Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ nửa liên tục dưới.
Định nghĩa 1.3.5. Cho F, C : D →2Y là các ánh xạ đa trị.
F là C-hemi liên tục trên (dưới) nếu với mọi x, t ∈ D thỏa mãn
F (αx+ (1−α)t)∩C(αx+ (1−α)t) 6= ∅ với mọi α ∈ (0,1) thì F (t)∩ C(t) 6= ∅ (tương ứng, F (αx+ (1−α)t) * −intC(αx+ (1−α)t), với mọi α ∈ (0,1) thì F (t) * −intC (t)).
F được gọi là hemi liên tục trên (dưới) nếu với mọi x, t ∈ D, ánh xạ đa trị f : [0,1] → 2Y được xác định bởi f (α) = F (αx+ (1−α)t) là nửa liên tục trên (tương ứng, dưới).
Khái niệm của C-hemi liên tục đã được giới thiệu bởi Bianchi và Pini [8] và bởi Hadjisavvas [16] với ánh xạ đơn trị trong nội dung của bài toán bất đẳng thức biến phân.
Định nghĩa 1.3.6. [11] Cho F : K ×D ×D →2Y là ánh xạ đa trị và C
là ánh xạ nón (ánh xạ nón là ánh xạ có tập giá trị là nón).
(i)F được gọi là C-liên tục trên (hoặc C-liên tục dưới) tại (¯y,x,¯ ¯t) ∈ domF
nếu với bất kỳ lân cận V của 0trong Y đều tồn tại lân cận U của (¯y,x,¯ ¯t)
sao cho:
F (y, x, t) ⊆ F (¯y,x,¯ ¯t) +V + C(¯x,y¯)
(tương ứng, F (¯y,x,¯ t¯) ⊆ F (y, x, t) +V − C(¯y,x¯) ) thỏa mãn với mọi (y, x, t) ∈ U ∩domF.
F là liên tục trên, dưới thay vì nói 0-liên tục trên, dưới. Và F là liên tục khi và chỉ khi nó đồng thời liên tục trên và liên tục dưới;
(ii) Nếu F đồng thời là C-liên tục trên và C-liên tục dưới tại (¯y,x,¯ t¯), ta nói rằng F là C liên tục tại (¯y,x,¯ ¯t);
(iii) Nếu F làC-liên tục trên, dưới,...tại mọi điểm thuộcdomF, ta nói rằng nó là C-liên tục trên D.
Mệnh đề 1.3.4. [11] Cho F : K × D × D → 2Y là ánh xạ đa trị và
C : K ×D → 2Y là ánh xạ đa trị nón liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng.
(1) Nếu F là C-liên tục trên tại (y0, x0, t0) ∈ domF với F (y0, x0, t0) +
C(y0, x0) đóng, khi đó với mọi(yβ, xβ, tβ) →(y0, x0, t0), vβ ∈ F (yβ, xβ, tβ)+
C(yβ, xβ), vβ →v0 dẫn đến v0 ∈ F (y0, x0, t0) +C(y0, x0).
Ngược lại, nếu F là compắc và với mọi (yβ, xβ, tβ) → (y0, x0, t0), vβ ∈ F (yβ, xβ, tβ) +C(yβ, xβ), vβ →v0 dẫn đến v0 ∈ F (y0, x0, t0) +C(y0, x0), khi đó F là C-liên tục trên tại (y0, x0, t0).
(2) Nếu F là compắc và C-liên tục dưới tại (y0, x0, t0) ∈ domF, khi đó với mọi (yβ, xβ, tβ) → (y0, x0, t0), v0 ∈ F (y0, x0, t0) + C(y0, x0), tồn tại dãy
{vβ}, vβ ∈ F (yβ, xβ, tβ), mà có một dãy con hội tụ vβγ , vβγ−v0 →c ∈ C(y0, x0) (cụ thể, vβγ → v0 +c ∈ v0 +C(y0, x0).) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ngược lại, nếuF (y0, x0, t0)là compắc và với mọi dãy(yβ, xβ, tβ) →(y0, x0, t0),
v0 ∈ F (y0, x0, t0) +C(y0, x0), tồn tại dãy {vβ}, vβ ∈ F (yβ, xβ, tβ), mà có một dãy con hội tụ vβγ , vβγ −v0 → c ∈ C(y0, x0), khi đó F là C-liên tục dưới tại (y0, x0, t0).
Mệnh đề 1.3.5. [3] Cho F : D → 2Y và C ⊂Y là nón lồi đóng. Khi ấy: (1) Nếu F là C-liên tục trên tại x0 ∈ domF và F(x0) + C là tập đóng, thì với mọi dãy suy rộng xβ → x0, yβ ∈ F(xβ) + C, yβ → y0 ta suy ra
Ngược lại, nếu F là ánh xạ compắc và với mọi dãy suy rộng xβ → x0, yβ ∈ F(xβ) +C, yβ → y0 đều suy ra y0 ∈ F(x0) +C. thì F là C-liên tục trên tại x0.
(2) Nếu F là compắc và là C-liên tục dưới tại x0 ∈ domF, thì với mọi dãy suy rộng xβ → x0, y0 ∈ F(x0) + C, đều tồn tại dãy suy rộng
{yβ}, yβ ∈ F(xβ), có dãy suy rộng con yβγ , để yβγ − y0 → c ∈ C yβγ →y0 +c ∈ y0 +C.
Ngược lại, nếu F(x0) là tập compắc với mọi dãy suy rộng xβ → x0 và
y0 ∈ F(x0) +C, đều tồn tại dãy suy rộng {yβ}, yβ ∈ F(xβ), có dãy suy rộng con yβγ , để yβγ −y0 →c ∈ C, thì F là C-liên tục dưới tại x0.
Mệnh đề 1.3.6. [3] (a) Nếu F là C-liên tục trên (hoặc dưới) tại x0 ∈ domF, thì với mỗi ξ ∈ C0 cố định, gξ (tương ứng Gξ) là hàm số nửa liên tục dưới tại x0.
(b) Nếu F là (−C)-liên tục trên (hoặc dưới) tại x0 ∈ domF, thì với mỗi
ξ ∈ C0 cố định, Gξ (tương ứng gξ ) là hàm số nửa liên tục trên tại x0.