Giáo án thực nghiệm

6. Cấu trúc luận văn

3.3. Giáo án thực nghiệm

Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi đưa ra hai bài soạn dạy thực nghiệm để làm minh họa việc vận dụng các BPSP đã đề xuất.

§2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP

Tiết 24: Hoán vị

1. Mục tiêu:

a) Về kiến thức:

- Giúp HS hình thành khái niệm hoán vị. Xây dựng nên công thức tính số hoán vị.

b) Về kỹ năng:

- Rèn luyện kỹ năng nhận biết và thể hiện khái niệm, áp dụng đúng công thức số hoán vị để giải các bài toán theo yêu cầu SGK và thực tiễn.

- Củng cố kỹ năng vận dụng quy tắc nhân cho HS.

c) Về tư duy và thái độ:

- Tự giác, tích cực trong học tập.

- Có ý thức và thói quen vận dụng Toán học vào thực tiễn, nói riêng là áp dụng khái niệm, công thức hoán vị để giải toán.

2. Chuẩn bị của GV và HS

a) Chuẩn bị của GV:

- Bài soạn được thiết kế với các HĐ thành phần nhằm đạt được mục tiêu DH đã nêu. - Đồ dùng DH tự làm: 3 bộ chữ cái với các chữ A,B,C,D,E; nam châm để gắn vào bảng từ.

b) Chuẩn bị của HS:

- Học lý thuyết quy tắc đếm và hoàn thành các bài tập về nhà theo yêu cầu, ôn lại về phép toán giai thừa.

- Đồ dùng học tập: giấy nháp, thước kẻ, máy tính. 3. Tiến trình bài dạy

a) Ổn định tổ chức lớp: (1 phút)

GV bao quát chung sĩ số lớp, tinh thần tự giác học và làm bài tập về nhà của HS trong lớp, nhận báo cáo truy bài của các tổ trưởng.

b) Kiểm tra bài cũ: (5 phút)

Với mọi đối tượng HS trong lớp, không lựa chọn theo xung phong, có thể gọi tên theo sổ gọi tên và ghi điểm. Đối với HS được gọi cần trả lời:

- Nhắc lại phép toán giai thừa. Tính 3! và 4! (2 điểm)

- Hãy cho biết những cách sắp xếp chỗ ngồi cho 3 bạn Thảo, Nam, Hạnh ngồi vào 3 vị trí của bàn một này. Có tất cả bao nhiêu cách sắp xếp. (3 điểm)

HS: Thực hiện các yêu cầu trên. GV: Nhận xét:

- Củng cố khắc sâu về quy tắc nhân, quy tắc nhân mở rộng - Ôn tập phép toán giai thừa: n! = n.(n-1) …3.2.1

- Nhận xét lời giải bài toán thực tế trên của HS để gợi động cơ mở đầu đặt vấn đề bài mới. * Đặt vấn đề vào bài mới: (3 phút)

- Bằng cách liệt kê: Thảo (T), Nam (N), Hạnh (H) ta có các cách sắp xếp chỗ ngồi cho 3 bạn ngồi vào 3 vị trí bàn một là: TNH, THN, NTH, NHT, HTN, HNT.

Như vậy ta có 6 cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu 3 bạn ngồi vào 3 vị trí - Sử dụng quy tắc nhân: 3 vị trí trong một bàn ngang:

1 2 3

GV: Sắp xếp 3 bạn T, N, H vào 3 vị trí của bàn là một công việc được hoàn thành bởi mấy hành động, tính chất các hành động. Cụ thể các hành động - số cách thực hiện mỗi hành động?

HS: Cho ý kiến

GV: Kết luận: sắp xếp 3 bạn T, N, H vào 3 vị trí của bàn là một công việc được hoàn thành bởi 3 hành động liên tiếp. Trong đó:

Hành động 1: Chọn 1 trong 3 bạn vào vị trí số 1: có 3 cách

Hành động 2: Chọn 1 trong 2 bạn còn lại vào vị trí số 2: có 2 cách Hành động 3: Bạn còn lại ngồi vào vị trí số 3: có 1 cách

Theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp chỗ ngồi bằng với số cách hoàn thành công việc, vậy có 3.2.1 = 6 cách.

Trong bài toán trên, cứ mỗi lần sắp xếp cả 3 bạn vào 3 vị trí của bàn ta lập được một hoán vị (hoán đổi vị trí) của cả 3 phần tử trong tập {T,N,H}; số cách sắp xếp chính là số các hoán vị của tập hợp gồm 3 phần tử.

Như vậy, trong Toán học, hoán vị là gì? Và khái niệm hoán vị của một tập hợp gồm n phần tử được định nghĩa như thế nào? Làm thế nào để tính được số các hoán vị này? Cô trò ta cùng đi tìm câu trả lời trong tiết học hôm nay.

c) Dạy nội dung bài mới:

HĐ 1: Dạy khái niệm hoán vị (17 phút) Biện pháp áp dụng:

Đối với HS yếu kém, trong HĐ này, chúng tôi sử dụng những BPSP:

- Gợi động cơ mở đầu và kết thúc bằng ví dụ thực tiễn - DH khái niệm bằng con đường quy nạp.

- Thiết kế và sử dụng câu hỏi gợi mở, phân bậc mịn kết hợp phân hóa HS.

HĐ của GV và HĐ Nội dung

GV: Xét bài toán sau - Nêu yêu cầu bài toán

HS: Nghe và ghi yêu cầu: đọc đề bài GV: Hướng dẫn tìm hiểu bài toán dạng? HS: Bài toán tìm tòi

GV: Một số ví dụ về số thỏa mãn yêu cầu? HS: Số tự nhiên có 4 chữ số dạng a a a a1 2 3 4 có thể lập được theo yêu cầu bài ra, chẳng hạn: 6789, 7689, 8679, 9678, …

GV: Nhận xét và ghi vài số, hướng dẫn viết lời giải bài toán

HS: Viết lời giải

GV: Có thể liệt kê thêm vài số khác

HS: 6879, 6978, 6987, 7869, 7968, 7986, … GV: Chú ý quan sát HS nêu đáp án trùng phải giúp phát hiện và loại ngay. Kết luận: còn có thể liệt kê thêm nhiều số khác thỏa mãn và mỗi số tự nhiên có 4 chữ số ấy được được lập nên từ 4 số trong tập gồm 4 phần tử {6,7,8,9}

I. Hoán vị 1. Định nghĩa: *Bài toán:

Hãy liệt kê một vài số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 6,7,8,9 ?

GV gợi động cơ mở đầu thông qua một bài toán (biện pháp 7)

Giải:

Một vài số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau thỏa mãn yêu cầu bài ra: 6789, 7689, 8679, 9678, …

được gọi là một hoán vị của 4 phần tử.

- Các em có thể liệt kê đầy đủ (đối với HS khá giỏi)

HS: Nghe nhận xét và thực hiện (HS khá) GV: - Tương tự các em đọc Ví dụ 1 - SGK - Lưu ý: Tập hợp ta xét là tập 5 cầu thủ {A,B,C,D,E}

HS: Đọc yêu cầu Ví dụ 1 và phân tích lời giải, tư duy khái niệm hoán vị của tập 5 phần tử. GV: Ngoài ba cách được dẫn ra trong SGK, các em cho cô biết thêm ba cách khác

HS: Trả lời câu hỏi gợi mở

GV: Nhận xét và mô tả đáp án HS nêu gắn với thực tế:

- Đánh số thứ tự đá phạt trên bảng

- Gọi HS dùng chữ cái và nam châm tự ghi kết quả trên bảng

HS: Thực hiện yêu cầu

GV: Nhận xét, gợi động cơ hướng đích: “Tương tự như bài toán trên, mỗi kết quả của việc phân công đá phạt được gọi là gì”

HS: Mỗi kết quả của việc sắp thứ tự tên của 5 cầu thủ đã chọn được gọi là một hoán vị của tập gồm 5 phần tử.

GV: Tổng quát, ta xét tập A gồm n phần tử với yêu cầu sắp xếp thứ tự cho cả n phần tử đó? HS: Trả lời câu hỏi gợi mở theo ý hiểu

GV: Nhận xét và kết luận để HS có phát biểu

(biện pháp 4)

* Ví dụ 1:

Trong một trận bóng đá, sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hòa nên phải thực hiện đá luân lưu 11 m. Một đội đã chọn được năm cầu thủ để thực hiện đá năm quả 11 m. Hãy nêu ba cách sắp xếp đá phạt. Số thứ tự đá phạt 11 m 1 2 3 4 5 A B C D E C B A D E C B A E D (biện pháp 8)

Mỗi kết quả của việc phân công đá phạt 5 quả 11 m cho 5 cầu thủ khác nhau đã chọn được gọi là một hoán vị tên của 5 cầu thủ.

rõ ràng, chính xác định nghĩa của khái niệm (biện pháp 2)

HS: Phát biểu định nghĩa, ghi nhớ kiến thức GV: - Tổ thức HS thực hiện HĐ 1 (SGK tr47) nhằm cho HS biết nhận dạng và thể hiện khái niệm

- HĐ 1: “Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3”

- Hướng dẫn tìm hiểu bài toán: tìm tòi …? HS: Bài toán tìm tòi

GV: Nhận xét gì về yêu cầu trong bài và khái niệm vừa học

HS: Nêu ý kiến:

“Mỗi số tự nhiên ba chữ số lập nên theo yêu cầu bài toán là một hoán vị của tập 3 phần tử {1,2,3}. Liệt kê …”

GV: Đặt câu hỏi gợi mở, củng cố khắc sâu khái niệm: nhận xét sự khác nhau giữa 2 hoán vị đầu, 2 hoán vị giữa đã nêu trên?

HS: Chúng chỉ sai khác nhau ở hai vị trí sau GV: Tổng quát hóa với n phần tử ta có nhận xét sau: nêu nhận xét

HS: Ghi nhớ nội dung nhận xét, củng cố và khắc sâu khái niệm vừa học.

Định nghĩa:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. HĐ 1: Tất cả các số gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3 là: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Nhận xét:

Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp của các phần tử trong tập.

HĐ 2: Xây dựng và vận dụng công thức tính số các hoán vị (20 phút) Biện pháp áp dụng:

Đối với HS yếu kém, trong HĐ này, chúng tôi sử dụng những BPSP: - Xây dựng câu hỏi phân bậc kết hợp phân hóa HS (biện pháp 4 và 5)

- Tổ chức dạy định lí theo con đường có khâu suy đoán (biện pháp 2)

- Hướng dẫn HS phương pháp học trên lớp và tự học ở nhà (biện pháp 9 và 10)

HĐ của GV và HĐ Nội dung

GV: Đặt vấn đề: giả sử cô có hai chữ số {1,2}, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau

HS: 2 số: 12, 21. Tương ứng là 2 hoán vị của tập 2 phần tử

GV: Vậy có thể thấy rằng với A 2thì có 2 = 21 hoán vị

GV: Trở lại bài toán cô đã kiểm tra bài cũ, em có nhận xét gì về số hoán vị của tập 3 phần tử

HS: A 3 khi đó thấy có 6 hoán vị GV: 6 = 3.2.1

GV: Các em đọc Ví dụ 2 (SGK tr47): cách 1 HS: Thực hiện yêu cầu

GV: Có bao nhiêu hoán vị của tập 4 phần tử? GV: Việc liệt kê như vậy có thể tốn nhiều thời gian và nhầm lẫn khi mà số phần tử khá nhiều ... Vậy ta có cách nào để tính được số các hoán vị đó hay không?

GV: Quan sát các đẳng thức ở trên trong các trường hợp đối với 2, 3 phần tử ... và suy nghĩ tương tự đối với trường hợp 4 phần tử: Con số các hoán vị (ở đây là 24) có liên quan gì đến số phần tử của tập hợp (ở đây là 4)? Phân tích mối liên hệ với số 4?

HS: Tương tự như trên, ta thấy 24 = 4.3.2.1 hoán vị của tập 4 phần tử

GV: Hướng dẫn phân tích giải theo cách 2

2. Số các hoán vị

* Ví dụ 2 (SGK tr47)

Cách 1: Liệt kê đủ 24 hoán vị của

“Công việc xếp 4 bạn vào 4 vị trí khác nhau của một bàn ngang là công việc được hoàn thành bởi mấy hành động? Tính chất của các hành động đối với sự hoàn thành công việc?” HS: Phải thực hiện 4 hành động liên tiếp thì công việc mới được hoàn thành theo yêu cầu GV:- Yêu cầu HS xây dựng lời giải và kiểm tra đối chiếu kết quả với SGK đã nêu.

- Kết luận: vẫn có 4.3.2.1 = 24 hoán vị của tập 4 phần tử

HS: Ghi nhớ hệ thống hóa kiến thức

GV: Xét tương tự với bài toán lập số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 6,7,8,9 nêu trong mục 1. Có bao nhiêu số thỏa mãn yêu cầu?

HS: - Có thể một vài HS khá đã có đáp số do lúc trước chúng đã liệt kê, nêu ý kiến.

- Dùng quy tắc nhân:

“Giải sử số cần tìm là a a a a1 2 3 4 thì cần thực hiện 4 hành động (HĐ) liên tiếp sau:

HĐ 1: chọn 1 số trong 4 số vào a1: 4 cách HĐ 2: chọn 1 số trong 3 số còn lại vào a2: 3 cách

HĐ 3: chọn 1 số trong 2 số còn lại vào a3: 2 cách

HĐ 4: đặt số duy nhất còn lại vào a4: 1 cách Vậy có: 4.3.2.1 = 24 hoán vị của tập 4 phần tử. Tức là có 24 số tự nhiên lập được thỏa mãn yêu cầu”

GV: Một cách khái quát hóa, ta thấy:

2

A  khi đó thấy có 2.1=2! hoán vị

3

A  khi đó thấy có 3.2.1=3! hoán vị

4

A  khi đó thấy có 4.3.2.1=4! hoán vị …..

Em cho biết ý kiến với A n thì số các hoán vị của tập A sẽ được tính như thế nào?

HS: A n thì có n.(n-1).(n-2)…2.1 hoán vị GV: - Nhận xét và nêu nội dung định lí được rút ra

- Chú ý: rút gọn công thức với việc dùng ký hiệu phép toán giai thừa đã học

HS: Ghi nhớ các nội dung

GV: Hướng dẫn chứng minh định lí bằng cách tổ chức cho HS vận dụng quy tắc nhân HS: Xây dựng lời giải và đối chiếu kết quả SGK đã ghi.

GV: Tổ chức nhận dạng và thể hiện định lí: Yêu cầu HS đọc lại ví dụ 1 nêu trong mục 1 và trả lời:

- So sánh bài toán này với tình huống xếp chỗ ngồi cho 3 bạn trong một bàn? Có giống nhau hay không? Liệu ta có thể áp dụng công thức đã học để tính số cách phân công đá phạt? HS: Mỗi cách phân công ứng với 1 hoán vị của 5 phần tử. Vậy số cách phân công là: P5  5! 5.4.3.2.1 120 cách

GV: - Kiểm tra kết quả và lời giải bài toán - Yêu cầu HS thực hiện tiếp bài toán tương tự nêu trong HĐ 2

Ký hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có định lí:

.( 1).( 2)...2.1

n

P n n n

* Chú ý: Phép toán giai thừa đã học: n!n n.( 1).(n2)...2.1. Vậy ta có: Pn n!

* Chứng minh (SGK)

(đối với HS yếu kém, GV không trình bày chứng minh chi tiết ở lớp, chỉ yêu cầu các em về nhà đọc, hiểu sau khi đã được hướng dẫn xây dựng hình thức công thức)

HĐ 2:

“Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội HS gồm 10

HS: Mỗi cách xếp 10 em HS vào 10 vị trí hàng dọc ứng với 1 hoán vị của 10 phần tử. Vậy áp dụng định lí trên ta có số cách xếp hàng là: …

GV: Cũng với nhiệm vụ tương tự, các em về viết lời giải Bài tập 2 (SGK tr54)

HS: - Ghi nhận nhiệm vụ.

- Khắc sâu phạm vi vận dụng định lí.

người được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?”

Giải: + Mỗi cách xếp 10 em HS vào 10 vị trí theo một hàng dọc ứng với 1 hoán vị của 10 phần tử + Vậy số cách xếp hàng là P10 10! d) Củng cố, luyện tập: (3 phút)

- Khái niệm hoán vị của tập A với A n

- Công thức tính số hoán vị của tập A nêu trên: định lí Pn n!

e) Hướng dẫn HĐ tự học ở nhà: (1 phút) (biện pháp 10)

- Học lý thuyết về khái niệm hoán vị, công thức tính số hoán vị vừa học và trả lời câu hỏi: Thế nào là hoán vị? Khi biết số phần tử của tập hợp thì có thể tính được số các hoán vị bằng công thức nào?

- Đọc ví dụ 1 và xem quá trình giải bài tập ở HĐ 2 của tiết học. Sau đó áp dụng tương tự để giải bài tập 2 (SGK tr.54).

- Suy nghĩ và vận dụng kết hợp kiến thức đã học từ đầu chương (quy tắc đếm) để tìm lời giải cho mỗi ý trong bài tập 1 (SGK tr.54)

- Sau khi đã hoàn thành những yêu cầu trên, các em trả lời câu hỏi trong từng bài toán:

Bài 1: Một cái khay tròn đựng bánh kẹo ngày tết có 6 ngăn hình quạt màu khác nhau.

Hỏi có bao nhiêu cách bày 6 loại bánh kẹo vào 6 ngăn đó?