6. Cấu trúc luận văn
2.4.4Các tính toán cho Bảng 2.1
Nhắc lại định lý Mazur: Nhóm xoắn 𝐸(ℚ)tor của đường cong elliptic 𝐸 trên trường hữu tỷ ℚ là hữu hạn và chỉ có một trong 15 dạng sau
ℤ𝑛 với 1≤ 𝑛 ≤ 10 hoặc 𝑛 = 12 ,
ℤ2⨁ℤ2𝑛 với 1 ≤ 𝑛 ≤ 4.
Bảng 2.1đưa ra 15 đường cong elliptic cụ thể có nhóm xoắn lần lượt tương ứng với 15 trường hợp trên. Trong mục này, ta sẽ đưa ra các tính toán cụ thể cho một số kết quả trong bảng 2.1.
• 𝐸:𝑦2 =𝑥3−2 có 𝐸(ℚ)tor = {𝒪}.
Δ(𝐸) = 108 = 2233.
Sử dụng phép quy gọn mod 5, 𝐸(𝔽5):𝑦2 =𝑥3 + 3.Theo Định lý 1.4.2,
#𝐸(𝔽5) = 5 + 1 +� �𝑥3𝔽+ 3
5 � = 6−1 + 1 + 1 + 0−1 = 6.
4 x=0
Sử dụng phép quy gọn mod 7, 𝐸(𝔽5):𝑦2 =𝑥3 + 5.Theo Định lý 1.4.2,
#𝐸(𝔽7) = 7 + 1 +� �𝑥3𝔽+ 5
7 � = 8−1−1−1 + 1−1 + 1 + 1 = 7.
6 x=0
Theo Hệ quả 2.4.1.9, 𝐸(ℚ)tor = {𝒪}.
• 𝐸:𝑦2 =𝑥3+ 8 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ2.
Δ(𝐸) = 1728 = 2633.
Sử dụng phép quy gọn mod 5, 𝐸(𝔽5):𝑦2 =𝑥3 + 3.Theo Định lý 1.4.2,
#𝐸(𝔽5) = 5 + 1 +� �𝑥3𝔽+ 3
5 � = 6−1 + 1 + 1 + 0−1 = 6.
4 x=0
Sử dụng phép quy gọn mod 19, 𝐸(𝔽19):𝑦2 =𝑥3+ 8.Theo Định lý 1.4.2,
#𝐸(𝔽19) = 19 + 1 +� �𝑥3𝔽+ 8
19 � = 28.
18 x=0
Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,2}. Do 𝐸 có điểm bậc 2 là (−2,0). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ2.
• 𝐸:𝑦2 =𝑥3+ 4 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ3.
Δ(𝐸) = 432 = 2433.
Sử dụng phép quy gọn mod 7, 𝐸(𝔽7):𝑦2 =𝑥3 + 4.Theo Định lý 1.4.2,
#𝐸(𝔽7) = 7 + 1 +� �𝑥3𝔽+ 4
7 � = 8 + 1−1−1−1−1−1−1 = 3. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
6 x=0
Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,3}. Do 𝐸 có điểm bậc 3 là (0,2). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ3.
• 𝐸:𝑦2 =𝑥3+ 4𝑥 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ4.
Δ(𝐸) = 256 = 28.
Sử dụng phép quy gọn mod 3, 𝐸(𝔽3):𝑦2 =𝑥3 +𝑥.Theo Định lý 1.4.2,
#𝐸(𝔽3) = 3 + 1 +� �𝑥3𝔽+𝑥
3 �= 4 + 0−1 + 1 = 4.
2 x=0
Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,2,4}. Do 𝐸 có điểm bậc 3 là (2,4). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ4.
• 𝐸:𝑦2− 𝑦 =𝑥3− 𝑥2 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ5.
Phương trình Weiertrass dạng ngắn của 𝐸 là 𝐸′:𝑦2 =𝑥3−432𝑥 + 8208.
Δ(𝐸′) = 1496537856 = 2831211.
Sử dụng phép quy gọn mod 5, 𝐸(𝔽5):𝑦2 =𝑥3 + 3𝑥 + 3.Theo Định lý 1.4.2,
#𝐸(𝔽5) = 5 + 1 +� �𝑥3+ 3𝔽𝑥+ 3
5 �= 6−1−1−1 + 1 + 1 = 5.
4 x=0
Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,5}. Do 𝐸 có điểm bậc 5 là (0,0). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ5.
• 𝐸:𝑦2 =𝑥3+ 1 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ6.
Δ(𝐸) = 27 = 33.
Sử dụng phép quy gọn mod 5, 𝐸(𝔽5):𝑦2 =𝑥3 + 1.Theo Định lý 1.4.2,
#𝐸(𝔽5) = 5 + 1 +� �𝑥3+ 1
𝔽5 � = 6 + 1−1 + 1−1 + 0 = 6.
4 x=0
Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,2,3,6}. Do 𝐸 có điểm bậc 6 là (2,3). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ6.
• 𝐸:𝑦2+𝑥𝑦+𝑦=𝑥3− 𝑥2−3𝑥+ 3 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ7.
Phương trình Weiertrass dạng ngắn của 𝐸 là 𝐸′:𝑦2 =𝑥3−3483𝑥 + 121014.
Δ(𝐸′) = 226385362944 = 21531213.
Sử dụng phép quy gọn mod 5, 𝐸(𝔽5):𝑦2 =𝑥3 + 2𝑥 + 4.Theo Định lý 1.4.2,
#𝐸(𝔽5) = 5 + 1 +� �𝑥3+ 2𝔽𝑥+ 4
5 �= 6 + 1−1 + 1−1 + 1 = 7. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4 x=0
Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,7}. Do 𝐸 có điểm bậc 7 là (1,0). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ7.
• 𝐸:𝑦2 =𝑥3−4𝑥 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ2⨁ℤ2.
Δ(𝐸) = −256 = −28.
Sử dụng phép quy gọn mod 5, 𝐸(𝔽5):𝑦2 =𝑥3 +𝑥.Theo Định lý 1.4.2,
#𝐸(𝔽5) = 5 + 1 +� �𝑥3𝔽+𝑥
5 � = 6 + 0−1 + 0 + 0−1 = 4.
4 x=0
(2,0). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ2⨁ℤ2.
• 𝐸:𝑦2+𝑥𝑦+𝑦=𝑥3+𝑥2−5𝑥+ 2 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ2⨁ℤ4.
Phương trình Weiertrass dạng ngắn của 𝐸 là 𝐸′:𝑦2 =𝑥3−6507𝑥 + 199206.
Δ(𝐸′) =−30611001600 =−2831452.
Sử dụng phép quy gọn mod 7, 𝐸(𝔽7):𝑦2 =𝑥3 + 3𝑥.Theo Định lý 1.4.2,
#𝐸(𝔽7) = 7 + 1 +� �𝑥3𝔽+ 3𝑥
7 �= 8 + 0 + 1 + 0 + 1−1 + 0−1 = 8.
6 x=0
Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,2,4,8}. Do 𝐸 có 1 điểm bậc 2 là (−3,1)
KẾT LUẬN
Trong đề tài này, ta đã tập trung tìm hiểu về các đường cong elliptic trên trường hữu tỷ ℚ cùng với các j – bất biến và cấu trúc nhóm xoắn của chúng. Định lý cơ bản về j – bất biến của đường cong elliptic là: Hai đường cong elliptic trên một trường đóng đại số đẳng cấu với nhau nếu và chỉ nếu chúng có cùng một j – bất biến. Việc xác định cấu trúc nhóm xoắn là một trong hai bài toán cơ bản trong việc nghiên cứu đường cong elliptic. Khi đường cong elliptic được định nghĩa trên trường hữu tỷ thì cấu trúc nhóm xoắn của nó được xác định hoàn toàn dựa trên định lý Mazur. Để tính toán cụ thể các điểm xoắn, ta sử dụng định lý Nagell – Lutz. Và dựa vào hai định lý trên, ta đưa ra ba thuật toán để tính nhóm xoắn của một đường cong elliptic cụ thể: phương pháp Nagell – Lutz, thuật toán kết hợp, thuật toán Doud. Và cuối cùng, để minh họa cho phần lý thuyết được nêu ra ở trên, ta đã đưa ra các tính toán liên quan đến các j – bất biến và cấu trúc nhóm xoắn của các (họ) đường cong
Phụ lục A
BẢNG TÍNH TOÁN
Trong phần này, ta đưa ra các bảng tính toán cụ thể bao gồm các bước biến đổi từ một đường cong elliptic được định nghĩa bởi phương trình Weierstrass dạng dài về phương trình Weierstrass dạng ngắn và cách tính ký hiệu Legendre. Để thuận tiện, ta sẽ sử dụng lại ví dụ cuối của mục 2.4.4.
𝐸:𝑦2+𝑥𝑦+𝑦=𝑥3+𝑥2−5𝑥+ 2 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ2⨁ℤ4.
Phương trình Weiertrass dạng ngắn của 𝐸 là 𝐸′:𝑦2 =𝑥3−6507𝑥 + 199206.
Δ(𝐸′) =−30611001600 =−2831452.
Sử dụng phép quy gọn mod 7, 𝐸(𝔽7):𝑦2 =𝑥3 + 3𝑥.Theo Định lý 1.4.2,
#𝐸(𝔽7) = 7 + 1 +� �𝑥3+ 3𝑥
𝔽7 �= 8 + 0 + 1 + 0 + 1−1 + 0−1 = 8.
6 x=0
Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,2,4,8}. Do 𝐸 có 1 điểm bậc 2 là (−3,1) và 1 điểm bậc 4 là (2,1). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ2⨁ℤ4. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
𝐸:𝑦2+𝑥𝑦+𝑦=𝑥3+𝑥2−5𝑥+ 2. 𝑎1 = 1, 𝑎3 = 1, 𝑎2 = 1, 𝑎4 =−5, 𝑎6 = 2. 𝑏2 =𝑎12+ 4𝑎2 = 12+ 4.1 = 5, 𝑏4 = 2𝑎4+𝑎1𝑎3 = 2(−5) + 1.1 =−9, 𝑏6 =𝑎32+ 4𝑎6 = 12+ 4.2 = 9, 𝑐4 =𝑏22−24𝑏4 = 52−24(−9) = 241, 𝑐6 =−𝑏23+ 36𝑏2𝑏4−216𝑏6 =−53+ 36.5. (−9)−216.9 =−3689. 𝐴 =−27𝑐4 =−27.241 =−6507, 𝐵 =−54𝑐6 =−54. (−3689) = 199206. 𝐸′: 𝑦2 =𝑥3−6507𝑥+ 199206.
Bảng A1: Bảng biến đổi từ phương trình Weierstrass dạng dài về phương trình Weierstrass dạng ngắn
𝑥 𝑥3 + 3𝑥 Tính chất thặng dư �𝑥3𝔽+ 3𝑥 7 � 0 0 0≡0 (mod 7) 0 1 4 4≡22 (mod 7) 1 2 14 14≡0 (mod 7) 0 3 36 36≡12 (mod 7) 1 4 76 76≡6≢ 𝑎2 (mod 7) ∀𝑎 ∈ ℤ −1 5 140 140 ≡0 (mod 7) 0 6 234 234 ≡3≢ 𝑎2 (mod 7) ∀𝑎 ∈ ℤ −1 � �𝑥3+ 3𝑥 𝔽7 � = 0 + 1 + 0 + 1−1 + 0−1 = 0. 6 x=0
Phụ lục B
CHU KỲ 𝝎𝟏 VÀ 𝝎𝟐, THUẬT TOÁN AM – GM
Giả sử 𝐸 là đường cong elliptic trên ℂ. Từ Định lý 1.6.8, ta biết rằng 𝐸 tương ứng với một dàn 𝐿 =ℤ𝜔1+ℤ𝜔2 qua các hàm chu kỳ đôi ℘ và ℘′. Câu hỏi đặt ra là : Làm sao để xác định được chu kỳ 𝜔1 và 𝜔2 của 𝐿? Đây đồng thời cũng là yếu tố quan trọng nhất trong việc triển khai thuật toán Doud được trình bày trong Mục 2.4.1.
Câu trả lời cho một trường hợp cụ thể được trình bày dưới đây, thông qua 2bước : 1. Biểu diễn 𝜔1 và 𝜔2dưới dạng tích phân elliptic.
2. Dùng phương pháp trung bình số học – hình học (AGM) để tính tích phân elliptic.
B.1 Biểu diễn 𝝎𝟏 và 𝝎𝟐 dưới dạng tích phân elliptic
Trong mục này, ta sẽ tìm cách xác định chu kỳ 𝜔1 và 𝜔2 của đường cong elliptic trên ℝ
(𝐸):𝑦2 = 4𝑥3− 𝑔2𝑥 − 𝑔3 = 4(𝑥 − 𝑒1)(𝑥 − 𝑒2)(𝑥 − 𝑒3),
với 𝑒1 <𝑒2 <𝑒3. Chẳng hạn như (𝐸):𝑦2 =𝑥3− 𝑥.
Ta giả sử 𝜔1 ∈ 𝑖ℝ với ℑ𝔪(𝜔1) > 0 và 𝜔2 ∈ ℝ+. Hàm ℘ Weierstrass và đạo hàm
℘′ biến ℂ/𝐿 thành 𝐸 thông qua (𝑥,𝑦) = �℘(𝑧),℘′(𝑧)�.
Khi 𝑧 đi từ 0 đến 𝜔2/2, hàm ℘(𝑧) nhận giá trị thực bắt đầu với 𝑥 =∞. Ta nhận được điểm có bậc 2đầu tiên khi 𝑧 =𝜔2/2. Giống như hình B1, đồ thị của 𝐸 gồm 2
phần. Phần nối với ∞ chứa điểm bậc 2 là (𝑒3, 0). Như vậy, ℘(𝑧) phải đi từ ∞ tới 𝑒3
khi 𝑧đi từ 0đến 𝜔2/2.
Hình B1: Đồ thị hàm y^2=x^3-x.
Trong khai triển Laurent của ℘′(𝑧), số hạng đầu tiên là −2/𝑧3. Do đó, 𝑦 =
℘′(𝑧) < 0 khi 𝑧 rất gần với 0.Như vậy, ℘′(𝑧) < 0 khi 0 < 𝑧 <𝜔2/2. Xét tích phân
� 𝑑𝑥
�4(𝑥 − 𝑒1)(𝑥 − 𝑒2)(𝑥 − 𝑒3)
∞
𝑒3 .
Thay 𝑥 =℘(𝑧), mẫu số của tích phân trở thành ��℘′(𝑧)�2=−℘′(𝑧) và cận trên, dưới lần lượt là 0,𝜔2/2. Tích phân trên trở thành
�𝜔2/2𝑑𝑧
Do đó, 𝜔2 =� 𝑑𝑥 �(𝑥 − 𝑒1)(𝑥 − 𝑒2)(𝑥 − 𝑒3) ∞ 𝑒3 . Phép thế 𝑥 ⟼ �𝑒3− �(𝑒3− 𝑒1)(𝑒3− 𝑒2)�𝑡𝑡+ 1+�𝑒3+�(𝑒3− 𝑒1)(𝑒3− 𝑒2)�
đưa tích phân trên về dạng
𝜔2 = 2 �𝑒3− 𝑒1+�𝑒3− 𝑒2� 𝑑𝑡 �(1− 𝑡2)(1− 𝑘2𝑡2), 1 −1 trong đó, 𝑘 =�𝑒3− 𝑒1− �𝑒3− 𝑒2 �𝑒3− 𝑒1+�𝑒3− 𝑒2.
Chú ý là hàm dưới dấu tích phân vừa nhận được là chẵn. Nên ta có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
𝜔2 = 4 �𝑒3− 𝑒1+�𝑒3− 𝑒2� 𝑑𝑡 �(1− 𝑡2)(1− 𝑘2𝑡2). 1 0
Đây được gọi là tích phân elliptic và thường được ký hiệu là
𝐾(𝑘) = � 𝑑𝑡 �(1− 𝑡2)(1− 𝑘2𝑡2). 1 0 Vậy, 𝜔2 = 4 �𝑒3− 𝑒1+�𝑒3− 𝑒2𝐾(𝑘).
Khi 𝑧 đi theo đường thẳng đứng từ 𝜔2/2 tới 𝜔2/2 +𝜔1/2, hàm ℘(𝑧) nhận giá trị thực từ 𝑒3 tới 𝑒2, và đạo hàm ℘′(𝑧) chỉ nhận giá trị thuần ảo. Lý luận tương tự, ta có 𝜔1 = 2𝑖 �𝑒3− 𝑒1+�𝑒3− 𝑒2� 𝑑𝑡 �(𝑡2−1)(1− 𝑘2𝑡2). 1/𝑘 1 Đặt 𝑘′ =√1− 𝑘2 và sử dụng phép thế 𝑡 ⟼(1− 𝑘′2𝑢2)−12, tích phân trên trở thành � 𝑑𝑡 �(1− 𝑡2)(1− 𝑘2𝑡2) =𝐾(𝑘′) = 𝐾 ��1− 𝑘2�. 1 0 Do đó, 𝜔1 = 2𝑖 �𝑒3− 𝑒1+�𝑒3− 𝑒2𝐾 ��1− 𝑘2�.
Như vậy, 𝜔1 và 𝜔2đều biểu diễn được dưới dạng tích phân elliptic.
Trong mục tiếp theo, ta sẽ đưa ra phương pháp tính xấp xỉ tích phân elliptic (với độ chính xác rất cao), và như vậy tính được 𝜔1 và 𝜔2.
B.2. Trung bình số học – hình học (AGM)
Để tính xấp xỉ tích phân elliptic, ta dùng phương pháp trung bình số học - hình học như sau :
Giả sử 𝑎,𝑏 ∈ ℝ.Đặt
𝑎𝑛 =12(𝑎𝑛−1+𝑏𝑛−1)
𝑏𝑛 =�𝑎𝑛−1𝑏𝑛−1
Khi đó, ta có
Định lý B.2.1 Các dãy số (𝑎𝑛) và (𝑏𝑛) hội tụ và 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞𝑎𝑛 =𝑙𝑖𝑚𝑛→∞𝑏𝑛.
Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử 𝑎 ≥ 𝑏.
Nhận thấy 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 =12��𝑎𝑛−1− �𝑏𝑛−1�2 ≥0. (B2) Suy ra 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛 ∀𝑛. Do đó, 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 =1 2(𝑏𝑛−1− 𝑎𝑛−1) ≤0⇒ 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛−1 ∀𝑛.
Vậy, (𝑎𝑛) là dãy giảm. Tương tự có (𝑏𝑛)là dãy tăng. Tóm lại,
𝑏 ≤ 𝑏𝑛−1 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛−1 ≤ 𝑎.
Vậy, (𝑎𝑛) và (𝑏𝑛) hội tụ.
Lấy giới hạn trong (B2), suy ra lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim𝑛→∞𝑏𝑛. ∎
Đặt 𝑀(𝑎,𝑏) = lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim𝑛→∞𝑏𝑛. Định lý B.2.2 Cho 𝑎,𝑏 ∈ ℝ+.Đặt 𝐼(𝑎,𝑏) = � 𝑑𝜃 �𝑎2𝑐𝑜𝑠2(𝜃) +𝑏2𝑠𝑖𝑛2(𝜃). 𝜋 2 0
Khi đó,
𝐼 �𝑎+2 𝑏,√𝑎𝑏� =𝐼(𝑎,𝑏).
Hơn nữa,
𝐼(𝑎,𝑏) = 𝑀𝜋(𝑎/2,𝑏).
Định lý B.2.3 Cho 𝐸 là đường cong elliptic được định nghĩa bởi
𝑦2 = 4𝑥3− 𝑔2𝑥 − 𝑔3 = 4(𝑥 − 𝑒1)(𝑥 − 𝑒2)(𝑥 − 𝑒3),
với 𝑒1,𝑒2,𝑒3 ∈ ℝ thỏa 𝑒1<𝑒2 <𝑒3. Giả sử 𝐿 =ℤ𝜔1+ℤ𝜔2 là một dàn tương ứng với 𝐸. Khi đó,
𝜔1 = 𝜋𝑖
𝑀(�𝑒3− 𝑒1,�𝑒2− 𝑒1)
𝜔2 = 𝜋 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
𝑀(�𝑒3− 𝑒1,�𝑒2− 𝑒1).
Ví dụ B.2.4 Xét đường cong elliptic (𝐸):𝑦2 = 4𝑥3−4𝑥 = 4𝑥(𝑥 −1)(𝑥+ 1).
Khi đó, 𝑒1 =−1,𝑒2 = 0,𝑒3 = 1.Theo định lý B. 2.3, ta có
𝜔1 = 𝜋𝑖
𝑀�√2, 1�=𝑖2.62205755429211981046483959 …
𝜔2 = 𝜋
𝑀�√2, 1�= 2.62205755429211981046483959 …
Sau khi đã xác định được 𝜔1 và 𝜔2, ta có thể dễ dàng tính được giá trị hàm ℘
Weierstrass thông qua định lý sau:
Định lý B.2.5 Cho 𝑧 ∈ ℂ và 𝑢 =𝑒2𝜋𝑖𝑧/𝜔2.Đặt 𝜏=𝜔1/𝜔2 với điều kiện 𝜏 ∈ ℋ và
℘(𝑧) = �2𝜔𝜋𝑖 2�2�121 +(1− 𝑢𝑢 )2 +� 𝑞𝑛�(1− 𝑞𝑢𝑛𝑢)2+(𝑞𝑛 − 𝑢𝑢 )2−(1− 𝑞2 𝑛)2� ∞ 𝑛=1 �.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] A. Dujella. Elliptic Equations. Winter School on Explicit Methods in Number Theory, Debrecen, 2009.
[2] A. Knap. Elliptic Curves. Princeton University Press, 1992.
[3] B. Mazur. Arithmetic on Curves. American Mathematical Society, 14 (1986), 207 – 259.
[4] B. Peter. Elliptic Curves overℚ. DIAMANT Summer School on Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptograhphy, Technische Universiteit Eindhoven, 2008.
[5] J.E. Cremona. Algorithm for Modular Elliptic Curves. Cambridge University Press, 1992.
[6] D. Doud. A procedure to Calculate Torsion of Elliptic Curves over ℚ. Manuscripa Mathematica, 95 (1998), 463-469.
[7] D. Husemoller. Elliptic Curves. Springer Verlag, 2000.
[8] D.S. Kubert. Universal Bounds on The Torsion of Elliptic Curves. London Math, 33, no.2 (1976), 193-237.
[9] E. Freitag và R. Busam. Complex Analysis. Springer Verlag, 2005.
[10] E.G. Jiménez và J.M.Tornero. On the ubiquity of trivial torsion on elliptic curves. Archiv der Mathematik, 2010.
[11] J.H. Silverman. An Introduction to the Theory of Elliptic Curves. Summer School on Computational Number Theory and Cryptography, University of Wyoming, 2006.
[12] J.H. Silverman. The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer Verlag, 1986. [13] J.H. Silverman và J. Tate. Rational Points on Elliptic Curves, Springer
Verlag, 1992.
[14] J.S. Miller. Elliptic Curves. Notes for Math 679, University of Michigan, 1996.
[15] L.C. Washington. Elliptic Curves – Number Theory and Cryptography. Taylor & Francis Group, 2008.
[16] M.C. Woodbury. Finite Groups on Elliptic Curves. Tài liệu online, 2003. [17] S. Kleinerman. On the torsion points of elliptic curves & Modular abelian
varieties. Luận văn Thạc Sĩ, 2004.
[18] S. Schmitt và H.G. Zimmer. Elliptic Curves – A Computational Approach. Walter de Gruyter, 2003. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A AGM, 68 B Bao đóng xạ ảnh, 14 Biệt thức, 17 C Chiều, 10,16 Chu kỳ, 68
Chuỗi Eisenstein, 22
D, Đ Dàn, 21 Đa tạp affine, 9, 15 Đa tạp xạ ảnh, 11,15 Đa thức chia, 41 Đa thức thuần nhất, 11,13 Đẳng cấu, 28 Điểm bội, 36 Điểm ở vô tận, 15,16 Điểm xoắn, 32 Định lý Hasse, 18 Định lý Mazur, 29 Định lý Mordell, 29 Định lý Nagell – Lutz, 31 Đồng cấu, 33
Đường cong affine, 26 Đường cong elliptic, 26
Đường cong xạ ảnh, 16
H
Hai bài toán cơ bản, 32 Hàm chu kỳ đôi, 23 Hàm Weierstrass, 22 Hạng đại số, 32 Hữu hạn sinh, 7, 8 I Idean nguyên tố, 10, 13 Idean thuần nhất, 13,14 J j – bất biến, 27, 35, 46 K Không có xoắn, 7 Không gian affine, 9 Không gian xạ ảnh, 11 Không kỳ dị, 10,16, 18, 24 Kỳ dị, 18 Ký hiệu Legendre, 19 L Luật nhóm, 36, 38 M Miền cơ bản, 21
N Nghịch thuần nhất hóa, 14 Nhóm aben Hữu hạn sinh, 7, 8 Tự do, 7 Nhóm con xoắn, 7, 47, 59 Nhóm xoắn, 32, 57 P Phép quy gọn, 49 Phép quy gọn tốt, 50 Phép quy gọn xấu, 50
Phương pháp Nagell – Lutz, 47 Phương trình Weiertrass, 16
Phương trình Weierstrass dạng dài, 27 Phương trình Weiertrass dạng ngắn, 17, 27
Q
Quan hệ tương đương, 11 Quy tắc cộng điểm, 39 S Siêu phẳng, 12, 13 Song ánh tự nhiên, 13 Song hữu tỷ, 27 T Thuần nhất hóa, 14 Thuật toán Doud, 53, 55
Thuật toán kết hợp, 49
Thuật toán Schoof, 18, 20, 42 Tích phân elliptic, 68
Tổng trực tiếp, 7
Trung bình số học - hình học, 68, 72
V