6. Cấu trúc luận văn
1.4Đường cong elliptic trên trường hữu hạn
Trong phần này và các phần tiếp theo của chương này, ta sẽ lần lượt xem xét một cách khái quát các đường cong elliptic trên trường hữu hạn 𝔽𝑞, trường số thực ℝ và trường số phức ℂ. Nội dung của phần này sẽ chủ yếu giới thiệu một phương pháp đơn giản để tính số điểm trên một đường cong elliptic trên trường hữu hạn, nhằm hỗ trợ cho các thuật toán ở chương sau để tính nhóm xoắn trên một đường cong elliptic
𝐸 trên trường hữu tỷ ℚ. Thuật toán Schoof, một phương pháp phức tạp hơn và do đó hiệu quả hơn, sẽ được giới thiệu ở chương sau (Mục 2.3.1) sau khi ta đã có các khái niệm cần thiết.
Định lý 1.4.1 (Hasse) Cho 𝐸 là một đường cong elliptic trên trường hữu hạn 𝔽𝑞, khi đó
�𝑞 −1−#𝐸�𝔽𝑞�� ≤2�𝑞.
Nhắc lại ký hiệu Legendre �𝑥𝑝� cho một số nguyên tố lẻ 𝑝 được định nghĩa như sau:
�𝑥𝑝�=�
+1, nếu 𝑡2≡ 𝑥 (mod𝑝) có nghiệm 𝑡 ≢ 0 (mod 𝑝)
−1, nếu 𝑡2 ≡ 𝑥 (mod𝑝) không có nghiệm 𝑡 0, nếu𝑥 ≡0 (mod𝑝).
Ta tổng quát hóa ký hiệu này cho một trường hữu hạn bất kỳ 𝔽𝑞, với 𝑞 lẻ, bằng cách định nghĩa cho một 𝑥 ∈ 𝔽𝑞,
�𝔽𝑥
𝑞� =�
+1, nếu 𝑡2 ≡ 𝑥có nghiệm 𝑡 ∈ 𝔽𝑞×
−1, nếu 𝑡2 ≡ 𝑥không có nghiệm 𝑡 ∈ 𝔽𝑞 0, nếu𝑥 = 0.
Định lý 1.4.2 Cho (𝐸):𝑦2 =𝑥3+𝐴𝑥+𝐵 là đường cong elliptic trên trường hữu hạn 𝔽𝑞. Khi đó
#𝐸(𝔽𝑞) =𝑞 + 1 + � �𝑥3+𝐴𝑥+𝐵
𝔽𝑞 �
𝑥∈𝔽𝑞
.
Ví dụ 1.4.3 Cho (𝐸):𝑦2 =𝑥3+ 3𝑥+ 5là đường cong elliptic trên trường 𝔽7. Ta có #𝐸(𝔽7) = 7 + 1 +� �𝑥3+ 3𝔽𝑥+ 5 7 � 6 𝑥=0 = 8 +�57�+�72�+�57�+�67�+�47�+�57�+�17� = 8−1 + 1−1−1 + 1−1 + 1 = 7.
Ví dụ trên minh họa cụ thể cho một phương pháp đơn giản để tính số điểm trên một đường cong elliptic trên trường hữu hạn. Thuật toán này chỉ hữu hiệu khi ta có 𝑞
tương đối nhỏ. Vì vậy, để cho hoàn thiện, ta sẽ giới thiệu một thuật toán phức tạp hơn nhưng có thể ứng dụng hiệu quả cho mọi 𝑞 ở chương sau. Cụ thể hơn, đó là thuật toán Schoof được đưa ra ở Mục 2.3.1.