6. Cấu trúc luận văn
2.4.1Các thuật toán xác định điểm xoắn hữu tỷ
Phương pháp Nagell – Lutz
Nền tảng của phương pháp này là định lý Nagell – Lutz được xét ở Phần 2.2. Nội dung của phương pháp này như sau :
1. Tính biệt thức 𝐷 = 4𝐴3+ 27𝐵2.
2. Kiểm tra nghiệm của phương trình 𝑥3 +𝐴𝑥+𝐵 = 0. Nếu 𝑥0 là một nghiệm thì (𝑥0, 0) là một điểm xoắn.
3. Tìm tập hợp 𝐿 = {các ước 𝑦 của 𝐷 sao cho 𝑦2|𝐷} = {𝑦1, … ,𝑦𝑛}.
4. Với mỗi 𝑦𝑗 ∈ 𝐿, tìm nghiệm nguyên 𝑥 của phương trình 𝑥3+𝐴𝑥+𝐵 − 𝑦𝑗2 = 0. Nếu không có giá trị nguyên nào của 𝑥, thay 𝑦𝑗 bằng 𝑦𝑗+1. Nếu đã thử tất cả các giá trị trong 𝑃, kết thúc thuật toán. Nếu tồn tại giá trị 𝑘 ∈
{1, … ,𝑛}sao cho phương trình trên có nghiệm nguyên 𝑥, thực hiện bước 5.
5. Đặt 𝑃 = (𝑥,𝑦𝑘). Tính 2𝑃. Nếu 𝑥2𝑃 hoặc 𝑦2𝑃 ∉ ℤ, 𝑃 không phả là điểm xoắn. Quay trở lại bước 4 với 𝑦𝑘+1. Nếu 𝑥2𝑃,𝑦2𝑃 ∈ ℤ. Tính 3𝑃… Nếu tồn tại 𝑚
sao cho 𝑚𝑃 =𝒪, 𝑃 là điểm xoắn.
Sau đây ta xem xét một số ví dụ minh họa cho phương pháp này.
Ví dụ 2.4.1.1 Xét (𝐸):𝑦2 =𝑥3+ 4. Khi đó, 4𝐴3+ 27𝐵2 = 432. Nếu 𝑃 = (𝑥,𝑦)
là một điểm xoắn của 𝐸(ℚ)thì theo định lý Nagell – Lutz, 𝑦 = 0 hoặc 𝑦2|432. Vì phương trình 0 =𝑥3+ 4 không có nghiệm nguyên, ta không có điểm xoắn bậc 2
Trường hợp 𝑦2|432, ta suy ra 𝑦 ∈{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. Trong đó, chỉ có giá trị 𝑦 = ±2 cho giá trị nguyên 𝑥 = 0. Như vậy, các điểm xoắn có thể là (0,2) và
(0,−2). Thử lại, thấy 3(0, ±2) =𝒪. Do đó,
𝐸(ℚ)tor = {𝒪, (0,2), (0,−2)} ≅ ℤ3.
Ví dụ 2.4.1.2 Xét (𝐸):𝑦2 =𝑥3+ 8. Khi đó, 4𝐴3+ 27𝐵2 = 1728. Như trên, ta xét 2trường hợp:
Nếu 𝑦 = 0, có 𝑥3+ 8 = 0. Suy ra 𝑥 =−2.Điểm (-2,0) có bậc 2.
Nếu 𝑦 ≠ 0,thì 𝑦2|1728. Suy ra 𝑦|24. Thử tất cả các trường hợp có thể, nhận được các điểm có tọa độ nguyên là (1, ±3) và (2, ±4). Tuy nhiên, 2(1,3) = (−74,−138)
và 2(2,4) = (−74,138). Do đó, các điểm này không phải là điểm xoắn. Do đó,
𝐸(ℚ)tor = {𝒪, (−2,0)} ≅ ℤ2.
Nhận xét 2.4.1.3 Phương pháp trên trước đây được dùng trong các phần mềm toán học (chẳng hạn như PARI, MAGMA) để tính điểm xoắn trên một đường cong elliptic 𝐸(ℚ). Tuy nhiên, phương pháp này đòi hỏi phải phân tích thành nhân tử biệt thức 4𝐴3+ 27𝐵2.Và điều này rõ ràng là một hạn chế khi biệt thức có giá trị rất lớn. Hiện tại, phương pháp này đã được thay thế bởi thuật toán Doud sắp được bàn đến.
Thuật toán kết hợp
Để có thể hiểu được thuật toán này, trước hết ta sẽ tìm hiểu khái niệm về phép quy gọn theo số nguyên tố và một số tính chất của phép quy gọn này.
Cho (𝐸):𝑦2 =𝑥3+𝐴𝑥+𝐵 là đường cong elliptic trên ℚ với 𝐴,𝐵 ∈ ℤ và 𝑝 là một số nguyên tố lẻ. Từ 𝐸 ta nhận được một một đường cong elliptic mới (𝐸′):𝑦2 =
𝑥3+𝐴′𝑥+𝐵′ trên trường 𝔽𝑝 bằng cách giảm 𝐴 và 𝐵mod𝑝 (nghĩa là, 𝐴′ =
𝐴mod 𝑝 và 𝐵′ =𝐵mod 𝑝). Và ta nói
𝜌𝑝:𝐸(ℚ)→ 𝐸′�𝔽𝑝� ∶(𝑥,𝑦)↦ (𝑥mod𝑝,𝑦 mod𝑝)
là một phép quy gọn theo số nguyên tố 𝑝hay phép quy gọn mod 𝑝.
Định nghĩa trên của 𝜌𝑝 có nghĩa vì với mọi điểm (𝑥,𝑦)∈ 𝐸(ℚ), tồn tại các số
𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 ∈ ℤ sao cho (𝑥,𝑦) = (𝑎/𝑏,𝑐/𝑑). Từ đó ta định nghĩa
(𝑥 mod𝑝,𝑦 mod𝑝) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
=��(𝑎mod 𝑝)⋅(𝑏mod 𝑝)−1, (𝑐mod 𝑝)⋅(𝑑 mod 𝑝)−1�, nếu𝑝 ∤ 𝑏và𝑝 ∤ 𝑑 𝒪, nếu 𝑝|𝑏 hoặc𝑝|𝑑.
Ví dụ 2.4.1.4 Cho đường cong elliptic (𝐸):𝑦2 =𝑥3+𝑥+ 1 trên ℚ. Ta xét phép quy gọn 𝜌3:
Xét điểm 𝑃 = (0,1)∈ 𝐸(ℚ). Sử dụng phép toán nhóm, ta nhận được
𝑃 = (0,1), 2𝑃 =�14,−98�, 3𝑃 = (72,611), 4𝑃 =�−287362,40879363 �.
Theo định nghĩa của 𝜌3, ta có
𝜌3(𝑃) = (0,1), 𝜌3(2𝑃) = (1,0), 𝜌3(3𝑃) = (0,2), 𝜌3(4𝑃) =𝒪.
Định nghĩa 2.4.1.5 Phép quy gọn 𝜌𝑝 được gọi là phép quy gọn tốt nếu 𝐸′ là một đường cong elliptic không kỳ dị. Ngược lại, 𝜌𝑝 được gọi là một phép quy gọn xấu.
Định lý 2.4.1.6 Nếu 𝜌𝑝 là một phép quy gọn tốt thì 𝜌𝑝 là một đồng cấu nhóm.
Định lý 2.4.1.7 Phép quy gọn 𝜌𝑝 là tốt nếu và chỉ nếu 𝑝 ∤4𝐴3+ 27𝐵2.
4𝐴′3+ 27𝐵′2= 0 ⇔ 𝑝|4𝐴3+ 27𝐵2. ∎
Định lý 2.4.1.8 Cho (𝐸):𝑦2 =𝑥3+𝐴𝑥+𝐵 là đường cong elliptic trên ℚ với
𝐴,𝐵 ∈ ℤ và 𝜌𝑝 là một phép quy gọn tốt. Nếu 𝑃 ∈ 𝐸(ℚ)tor và 𝜌𝑝(𝑃) = 𝒪 thì 𝑃 =𝒪.
Định lý trên căn bản nói rằng ρp|Etor(ℚ) là một đơn ánh, và từ đó, ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.4.1.9 Cho 𝜌𝑝:𝐸(ℚ) → 𝐸(𝔽𝑝) là một phép quy gọn tốt mod 𝑝, với 𝑝 là một số nguyên tố lẻ. Khi đó, #𝐸(ℚ)tor𝑐ℎ𝑖𝑎ℎế𝑡 #𝐸�𝔽𝑝�.
Ví dụ 2.4.1.10 Xét đường cong elliptic (𝐸):𝑦2 =𝑥3+ 8. Ta có 4𝐴3+ 27𝐵2 = 1728 = 26. 33.Do đó, để có phép quy gọn tốt, ta sử dụng các số nguyên tố 𝑝 ≠2,3.
Phép quy gọn mod 5có 6 điểm, do đó #𝐸(ℚ)tor chia hết 6. Phép quy gọn mod 7 có 12 điểm, do đó #𝐸(ℚ)tor chia hết 6. Như vậy phép quy gọn mod 7 không cho ta thêm thông tin gì mới về 𝐸(ℚ)tor. Ta xét tiếp phép giản quy gọn mod 11. Tuy nhiên, phép quy gọn mod 11 cho ta 12 điểm, và như vậy cũng không có gì mới. Phép quy gọn mod 13 cho ta 16điểm, suy ra #𝐸(ℚ)tor chia hết 16. Từ đó, #𝐸(ℚ)tor chia hết 2. Và ta lại có |(−2,0)| = 2. Vậy, 𝐸(ℚ)tor = {𝒪, (−2,0)} ≅ ℤ2.
Nếu sử dụng định lý Nagell – Lutz trong ví dụ trước, hiệu quả cũng giống như phép quy gọn mod 𝑝 nếu tính về thời gian để tìm cấu trúc nhóm xoắn. Trong ví dụ sau, ta sẽ thấy được hiệu quả hơn hẳn của phép quy gọn mod 𝑝.
Ví dụ 2.4.1.11 Cho (𝐸):𝑦2 =𝑥3+ 18𝑥+ 72. Khi đó, 4𝐴3 + 27𝐵2 = 163296 = 25. 36. 7. Định thức này khá lớn nên việc dùng định lý Nagell – Lutz sẽ rất tốn thời gian. Tuy nhiên, nếu sử dụng phép quy gọn mod 5, ta nhận được 5 điểm, và phép quy gọn mod 11cho ta 8 điểm. Từ đó ta có ngay 𝐸(ℚ)tor tầm thường.
Bây giờ ta quay trở lại thuật toán kết hợp. Thuật toán này là sự kết hợp giữa phương pháp Nagell – Lutz và các tính chất của phép quy gọn theo số nguyên tố nhằm khắc phục phần nào hạn chế của phương pháp Nagell – Lutz được nêu ra
trong Nhận xét 2.4.1.3. Thuật toán này có nền tảng dựa trên một thực tế thú vị là nếu ta chọn một đường cong elliptic bất kỳ (𝐸):𝑦2 =𝑥3 +𝐴𝑥+𝐵 với 𝐴,𝐵 ∈ ℤ thì khả năng 𝐸 có nhóm xoắn con tầm thường là rất lớn (xem [10]).
1. Chọn một tập hợp các số nguyên tố 𝑃 = {𝑝1, … ,𝑝𝑛}.
2. Đặt 𝐿 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,16} – tập các bậc có thể của nhóm xoắn
𝐸tor(ℚ).
3. Quy gọn mod 𝑝đường cong elliptic 𝐸 thành đường cong 𝐸′. 4. Nếu 𝐸′không đơn, tính bậc của nhóm 𝐸′(𝔽𝑝). Gọi bậc đó là ℴ. 5. Xóa các giá trị trong 𝐿 không chia hết ℴ.
6. Nếu 9,10,12,16 vẫn còn trong 𝐿, thực hiện lại bước 4−6 cho giá trị nguyên tố tiếp theo. Nếu không, trở lại bước 2.
7. Nếu 9,10,12,16 vẫn còn trong 𝐿 sau khi xét tất cả các giá trị trong 𝑃, sử dụng phương pháp Nagell – Lutz để tính nhóm xoắn.
Nhóm Số lần xuất hiện Tần suất Ví dụ
ℤ9 1 2.500 × 10−10 𝑦2=𝑥3−219𝑥+ 1654
ℤ10 0 0 //
ℤ12 0 0 // (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ℤ2⨁ℤ6 0 0 //
ℤ2⨁ℤ8 0 0 //
Bảng 2.4: Số liệu cho thấy khả năng đường cong elliptic có nhóm xoắn tầm thường là rất lớn. (𝐸):𝑦2 =𝑥3+𝐴𝑥+𝐵, 𝐴,𝐵 ∈ ℤ, 𝐴,𝐵 ∈ (−10000,10000).
Ví dụ 2.4.1.12 Xét đường cong elliptic (𝐸):𝑦2 =𝑥3+ 8. Ta có 4𝐴3+ 27𝐵2 = 1728 = 26. 33.Do đó, để có phép quy gọn tốt, ta sử dụng các số nguyên tố 𝑝 ≠2,3.
12 điểm, do đó #𝐸(ℚ)tor chia hết 16. Như vậy phép quy gọn mod 7 không cho ta thêm thông tin gì mới về 𝐸(ℚ)tor. Ta xét tiếp phép quy gọn mod 11. Tuy nhiên, phép quy gọn mod 11 cho ta 12điểm, và như vậy cũng không có gì mới. Phép quy gọn mod 13 cho ta 16điểm, suy ra |𝐸(ℚ)tor| chia hết 16. Từ đó, #𝐸(ℚ)tor chia hết
2. Và ta lại có |(−2,0)| = 2. Vậy, 𝐸(ℚ)tor = {𝒪, (−2,0)} ≅ ℤ2.
Nếu sử dụng định lý Nagell – Lutz trong ví dụ trước, hiệu quả cũng giống như phép quy gọn mod 𝑝 nếu tính về thời gian để tìm cấu trúc nhóm xoắn. Trong ví dụ sau, ta sẽ thấy được hiệu quả hơn hẳn của phép quy gọn mod 𝑝.
Ví dụ 2.4.1.13 Cho (𝐸):𝑦2 =𝑥3+ 18𝑥+ 72. Khi đó, 4𝐴3 + 27𝐵2 = 163296 = 25. 36. 7. Định thức này khá lớn nên việc dùng định lý Nagell – Lutz sẽ rất tốn thời gian. Tuy nhiên, nếu sử dụng phép quy gọn mod 5, ta nhận được 5 điểm, và phép quy gọn mod 11cho ta 8 điểm. Từ đó ta có ngay 𝐸(ℚ)tor tầm thường.
Thuật toán Doud
Thuật toán Doud sử dụng sự đẳng cấu giữa một đường cong elliptic trên trường số phức ℂ và cấu trúc nhóm abel trên một vòng xuyến (Định lý 1.6.8) để xác định cấu trúc nhóm xoắn 𝐸(ℚ)tor. Thuật toán này hiện đang được dùng trên các phần mềm toán học để thay thế phương pháp Nagell – Lutz.
Trước hết, ta mô tả thuật toán Doud. Nội dung của thuật toán Doud có sử dụng một số kết quả được nêu ra trong Phụ lục B.
Giả sử đường cong elliptic 𝐸: 𝑦2 = 4𝑥3+𝐴𝑥+𝐵 trên trường ℚ với 𝐴,𝐵 ∈ ℤ.
Định lý Nagell – Lutz nói rằng nếu 𝑃 = (𝑥,𝑦) là một điểm xoắn của 𝐸 thì hoặc
𝑦 = 0 hoặc 𝑦2|4𝐴3+ 27𝐵2.Điều này cho phép ta xác định được cấu trúc của nhóm xoắn, miễn là biệt thức của 𝐸 không quá lớn. Trong phần này, ta sẽ trình bày thuật toán được phát hiện bởi nhà toán học Doud (xem [6]) để tìm cấu trúc nhóm xoắn của 𝐸 mà không phải thông qua việc phân tích biệt thức thành nhân tử.
Giả sử 𝑝 là một số nguyên tố lẻ không chia hết biệt thức của 𝐸. Khi đó, ta thực hiện phép quy gọn tốt 𝜌𝑝 trên 𝐸(ℚ). Định lý 2.4.1.8 nói rằng kernel của phép quy gọn giới hạn 𝜌𝑝:𝐸(ℚ)tor → 𝐸(𝔽𝑝) là tầm thường. Do đó, bậc của 𝐸(ℚ)tor chia hết
#𝐸(𝔽𝑝). Như vậy, ta nhận được một bội 𝑏 của 𝐸(ℚ)tor. Tiếp đó, ta xét các ước
𝑠của 𝑏 theo thứ tự giảm dần và tìm một điểm trên 𝐸 có bậc 𝑠 (ở đây ta chỉ cần xem xét các ước của 𝑏 nằm trong 15 giá trị có thể của bậc của nhóm xoắn theo định lý Mazur). Để thuận tiện cho việc sử dụng Định lý B. 2.3 (xem Phụ lục B), ta biến đổi phương trình Weierstrass dạng ngắn thành (𝐸′): (𝑦′)2= 4𝑥3+ 4𝐴𝑥+ 4𝐵 với
𝑦′ = 2𝑦.
Chu kỳ của 𝐸′ sinh bởi 𝜔1 và 𝜔2, với 𝜔2 ∈ ℝ.Các điểm trong miền căn bản tương ứng với tọa độ thực 𝑥,𝑦 qua hàm trong Định lý B. 2.3 nằm trên đường thẳng 𝜔2ℝ
và đồng thời trên đường thẳng 12𝜔2+𝜔2ℝ khi đa thức 4𝑥3+ 4𝐴𝑥+ 4𝐵 có 3
nghiệm thực. Nhân đôi một điểm trên đường thẳng thứ hai, ta nhận được một điểm trên đường thẳng thứ nhất. Do đó, nếu 𝑠 lẻ, tất cả các điểm xoắn bậc 𝑛 đều xuất phát từ đường thẳng 𝜔2ℝ, và vì vậy nằm trong nhóm con sinh bởi 1𝑠𝜔2. Vậy, ℘ �1𝑠𝜔2�
phải là một số nguyên.
Nếu 𝑠 chẵn và 𝑧 ∈ ℂ/(ℤ𝜔1+ℤ𝜔2) có bậc 𝑠 thì 𝑧 sinh ra cùng một nhóm con của
ℂ/(ℤ𝜔1+ℤ𝜔2) như một trong các số 1𝑠𝜔2 hay 1
𝑠𝜔2+12𝜔1 hay 1
𝑠𝜔2+12𝜔1+12𝜔2. Do đó, nếu tồn tại một điểm xoắn bậc 𝑛, thì ít nhất một trong các giá trị của hàm ℘
Weierstrass tại 3điểm này phải nguyên. Vậy, ta chỉ cần tính: • ℘(1𝑠𝜔2) nếu 𝑠 lẻ và 4𝑥3+ 4𝐴𝑥+ 4𝐵 chỉ có một nghiệm thực • 1 𝑠𝜔2, 1 𝑠𝜔2+12𝜔1, 1 𝑠𝜔2+12𝜔1+12𝜔2 nếu 𝑠 chẵn và 4𝑥3+ 4𝐴𝑥+ 4𝐵 chỉ có 3 nghiệm thực
Nếu ta tìm được một giá trị số của 𝑥 rất gần với một số nguyên, ta kiểm tra xem
𝑦2 = 4𝑥3+ 4𝐴𝑥+ 4𝐵có cho giá trị nguyên 𝑦 hay không. Nếu có, ta tiếp tục kiểm tra xem (𝑥,𝑦) có bậc 𝑠 hay không. Nếu (𝑥,𝑦) có bậc 𝑠 thì ta nhận được nhóm con cyclic lớn nhấn của 𝐸(ℚ)tor. Và vì chỉ có điểm xoắn bậc 2 có thể không cyclic nên ta phải kiểm tra xem có tồn tại hay không một điểm trên 𝐸 có bậc 2 nhưng không nằm trong nhóm con cyclic sinh bởi (𝑥,𝑦).
Nếu 𝑠(𝑥,𝑦) ≠ 𝒪, ta tiếp tục với các ước nhỏ hơn của 𝑏, và như vậy ta nhận được tất cả các điểm xoắn hữu tỷ trên 𝐸. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nhắc lại là 𝜔1 và 𝜔2được tính bằng phương pháp AGM một cách nhanh chóng. Và theo đó là hàm ℘Weierstrass, dựa vào Định lý B. 2.5 (xem Phụ lục B).
Tóm tắt lại, ta có thuật toán Doudnhư sau:
1. Tính biệt thức 𝐷 = 4𝐴3+ 27𝐵2, chu kỳ 𝜔1,𝜔2 của lát tương ứng với 𝐸 và hàm ℘ Weierstrass.
2. Lập một tập hợp 𝑃 = {𝑝1, … ,𝑝𝑛} gồm các số nguyên tố không chia hết 𝐷.
3. Thực hiện các phép giản lược mod 𝑝𝑗. Đặt ℴ𝑗 = #𝐸(𝔽𝑝𝑗).
4. Tính 𝑏 =ƯCLN(ℴ1, … ,ℴ𝑛).
5. Đặt 𝐿 = {ước của𝑏}⋂{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,16} = {𝑙1, … ,𝑙𝑘}. Trong đó,
𝑙1 ≥ 𝑙2 ≥ ⋯ ≥ 𝑙𝑘.
6. Đặt 𝑠=𝑙1. Nếu 𝑠 lẻ hoặc 4𝑥3+𝐴𝑥+𝐵 chỉ có một nghiệm thực, tính
℘(1𝑠𝜔2). Nếu không, tính ℘ �1𝑠𝜔2�,℘ �1𝑠𝜔2+12𝜔1�,℘ �1𝑠𝜔2+12𝜔1+
1
2𝜔2�.Đây sẽ là giá trị của 𝑥.
7. Nếu một trong các giá trị trên rất gần với một số nguyên, tính giá trị nguyên của 𝑦 trong 𝑦2 = 4𝑥3+𝐴𝑥+𝐵. Nếu không có giá trị nguyên của 𝑦. Quay lại bước 6 với 𝑠 =𝑙2,𝑙3, … Nếu có giá trị nguyên của 𝑦, tính 𝑠(𝑥,𝑦). Nếu
𝑠(𝑥,𝑦)≠ 𝒪, quay lại bước 6 với 𝑠 =𝑙2,𝑙3, … Nếu 𝑠(𝑥,𝑦) =𝒪 và 𝑠 lẻ, kết luận 𝐸(ℚ)tor =ℤ𝑠. Nếu 𝑠(𝑥,𝑦) = 𝒪 và 𝑠 chẵn, thực hiện lại bước 6,7 với
𝑠 = 2. Nếu tồn tại điểm xoắn bậc hai (𝑥′,𝑦′)∉< (𝑥,𝑦) >, kết luận
𝐸(ℚ)tor =ℤ2⨁ℤ𝑠. Nếu không, 𝐸(ℚ)tor =ℤ𝑠.
Ví dụ 2.4.1.14 Xét đường cong elliptic (𝐸):𝑦2 =𝑥3 −58347𝑥 + 3954150 trên trường ℚ. Ta sẽ sử dụng thuật toán Doud để tìm cấu trúc nhóm xoắn của 𝐸.
Biệt thức của 𝐸 là 4𝐴3 + 27𝐵2 =−372386507784192. Biệt thức này thực tế có thể phân tích thành −218. 317. 11 và ta thấy rằng sử dụng phương pháp Nagell – Lutz trong trường hợp này sẽ rất hạn chế.
Bây giờ ta sử dụng phương pháp giản lược mod 𝑝 để tìm chặn trên thích hợp cho bậc của nhóm xoắn. Cho 𝑝 = 5, nhận được #𝐸(𝔽5) = 10 (chẳng hạn dùng thuật toán Schoof). Cho 𝑝 = 7, nhận được #𝐸(𝔽7) = 10. Kết luận #𝐸(ℚ)tor|10. Dùng thuật toán AGM (xem Phụ lục B), nhận được
𝜔1 = 0.198602 …, 𝜔2 = 0.156713 …𝑖.
Tính
℘ �101 𝜔1�= 2539.825532 … , ℘ �101 𝜔1+12𝜔2�=−213.000000 ….
Như vậy ta tìm được điểm nguyên 𝑃 = (𝑥,𝑦) = (−213,2592) có bậc 10. Vậy,
𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ10. Cụ thể là 𝐸(ℚ)tor =〈(−213,2592)〉 = {𝒪, (−213,2592), (651,−15552), (3,1944), (219,−1296), (75,0), (219,1296), (3,−1944), (641,15552), (−213,−2592)}. 2.4.2 Các nhóm xoắn của họ 𝒚𝟐 =𝒙𝟑− 𝒑𝒙,𝒚𝟐 =𝒙𝟑− 𝒑𝟐 (𝒑 nguyên tố)
Ta ký hiệu
𝐸1:𝑦2 =𝑥3− 𝑝𝑥,
𝐸2:𝑦2 =𝑥3− 𝑝2,
với 𝑝 là một số nguyên tố cho trước.
Các mệnh đề sau đây mô tả cấu trúc nhóm xoắn của hai họ đường cong 𝐸1 và 𝐸2.
Mệnh đề 2.4.2.1 𝐸1(ℚ)tor = {𝒪, (0,0)}≅ ℤ2. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh Ta có 𝛥(𝐸1) = 4𝐴3+ 27𝐵2 =−4𝑝3 =−22𝑝3. Theo định lý Nagell – Lutz, ta luôn có 𝑥 ∈ ℤ và 𝑦2|−22𝑝3 hoặc 𝑦= 0 nếu (𝑥,𝑦)∈ 𝐸(ℚ). Khi y = 0, ta có 𝑥 = 0. Như vậy, 𝐸1 luôn chứa điểm bậc 2 là (0,0).
Ta xét 2 trường hợp sau
a) Trường hợp 𝑝 = 3:𝐸1 có dạng 𝑦2 =𝑥3−3𝑥 và 𝛥(𝐸1) = −2233. Theo định