6. Cấu trúc luận văn
1.6 Đường cong elliptic trên trường số phức ℂ 1T
Ở phần này, ta sẽ xem xét cấu trúc của đường cong elliptic 𝐸trên trường số phức
ℂ. Định lý quan trọng nhất được xem xét là định lý về sự tương ứng giữa cấu trúc nhóm của một đường cong elliptic trên trường số phức với một vòng xuyến. Kiến thức trong phần này là nền tảng cho thuật toán Doud được giới thiệu ở chương sau dùng để xác định cấu trúc nhóm xoắn của 𝐸 trên ℚ.
Định nghĩa 1.6.1 Một tập con 𝐿 ⊂ ℂ được gọi là một dàn (lattice) nếu có hai vector 𝜔1,𝜔2 ∈ ℂđộc lập tuyến tính trên ℝ và
𝐿 =ℤ𝜔1+ℤ𝜔2 = {𝑚𝜔1+𝑛𝜔2: 𝑚,𝑛 ∈ ℤ}.
Tập hợp ℱ = {𝑡1𝜔1+𝑡2𝜔2: 0≤ 𝑡1,𝑡2 ≤1} được gọi là miền cơ bản của dàn 𝐿.
Hình 1.3: Dàn 𝐋 và miền cơ bản 𝓕.
Định nghĩa 1.6.2 Cho 𝐿 là một dàn của ℂ. Hàm ℘ Weierstrass được định nghĩa bởi
℘(𝑧) = ℘(𝑧;𝐿) =𝑧12+� �(𝑧 − 𝜔1 )2−𝜔12�.
𝜔∈𝐿 𝜔≠0
Chuỗi Eisenstein được định nghĩa bởi
𝐺𝑘 =𝐺𝑘(𝐿) = � 𝜔−𝑘
𝜔∈𝐿 𝜔≠0
.
Định lý 1.6.3
1. Nếu 𝑘 > 2, 𝐺𝑘 hội tụ tuyệt đối.
Như vậy, định nghĩa trên của hàm ℘ Weierstrass và chuỗi Eisenstein là có nghĩa. Hơn nữa, hàm ℘ có mốt số tính chất căn bản sau:
Định lý 1.6.4 Hàm ℘ Weierstrass thỏa mãn các tính chất sau 1. ℘(𝑧) =℘(−𝑧) với mọi 𝑧 ∈ ℂ.
2. ℘(𝑧+𝜔) =℘(𝑧) với mọi 𝜔 ∈ 𝐿 và 𝑧 ∈ ℂ.
Tính chất (1) trong định lý trên nói rằng ℘ là một hàm chẵn. Và theo tính chất
(2),
�℘(𝑧+𝜔1) = ℘(𝑧)
℘(𝑧 +𝜔2) = ℘(𝑧) .
Do đó, ta nói hàm ℘ Weierstrass là hàm chu kỳ đôi.
Từ Định lý 1.6.3, ta dễ dàng tính được đạo hàm của hàm ℘ Weierstrass là
℘′(𝑧) = −𝑧23− �(𝑧 − 𝜔2 )3.
𝜔∈𝐿 𝜔≠0
Các định lý tiếp sau đây cho thấy mối liên hệ giữa hàm ℘ Weierstrass và đạo hàm
℘′ với lý thuyết về đường cong elliptic.
Định lý 1.6.5 Hàm ℘ Weierstrass thỏa mãn phương trình
℘′(𝑧)2 = 4℘(𝑧)3−60𝐺4℘(𝑧)−140𝐺6. (1.5) (1.5)được gọi là phương trình vi phân đại số của ℘.
Đặt
𝑔2 = 60𝐺4
𝑔3 = 140𝐺6.
℘′(𝑧)2 = 4℘(𝑧)3− 𝑔2℘(𝑧)− 𝑔3.
Do đó, các điểm �℘(𝑧),℘′(𝑧)� nằm trên đường cong bậc 3
𝑦2 = 4𝑥3− 𝑔2𝑥 − 𝑔3. (1.6)
Theo thông lệ, ta giữ nguyên hệ số 4 trước 𝑥3. Như vậy, biệt thức của đường cong trên sẽ là
𝐷 = 16(𝑔23−27𝑔32).
Định lý 1.6.6 Biệt thức
𝐷 = 16(𝑔23−27𝑔32) ≠0.
Như vậy, (1.6) là một đường cong elliptic không kỳ dị.
Trong chương sau, ta sẽ đưa ra một quy tắc thực hiện phép toán giữa các điểm trên đường cong elliptic trên trường ℚ. Thông qua phép toán này, ta sẽ có 𝐸(ℚ) là một nhóm abel. Quy tắc này trên thực tế có thể áp dụng cho đường cong elliptic trên một trường bất kỳ 𝕂. Khi 𝕂 =ℂ, ta có 𝐸(ℂ) là một nhóm abel. Hai định lý sau nêu lên mối liên hệ đại số giữa một đường cong elliptic và một vòng xuyến.
Định lý 1.6.7 Cho 𝐿 là một dàn và (𝐸):𝑦2 = 4𝑥3− 𝑔2𝑥 − 𝑔3 là một đường cong elliptic. Khi đó,
𝛷:ℂ/𝐿 → 𝐸(ℂ)
𝑧 ↦ �℘(𝑧),℘′(𝑧)�
0↦ 𝒪
là một đẳng cấu nhóm.
Và ngược lại, ta có định lý sau:
Định lý 1.6.8 Giả sử (𝐸):𝑦2 = 4𝑥3− 𝐴𝑥 − 𝐵 là một đường cong elliptic trên ℂ. Khi đó, tồn tại một dàn 𝐿 ⊂ ℂ sao cho
𝑔2(𝐿) = 𝐴, 𝑔3(𝐿) = 𝐵.
Và tồn tại một đẳng cấu nhóm ℂ/𝐿 ≅ 𝐸.
Nhận xét 1.6.9 Từ Định lý 1.6.8, ta nói rằng 𝐸(ℂ) là một vòng xuyến vì sự tương ứng giữa 𝐸(ℂ) và ℂ/𝐿, trong đó ℂ/𝐿 tương đương tôpô với một vòng xuyến (xem Hình 1.4).
Chương 2.
CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DẠNG
WEIERTRASS TRÊN ℚ
Trong chương này, ta sẽ xem xét chi tiết đường cong elliptic trên trường hữu tỷ
ℚ. Ba định lý cơ bản của chương này là định lý Mordell, định lý Mazur và định lý Nagell – Lutz. Ba định lý này sẽ làm nền tảng cho các thuật toán được giới thiệu trong chương này dùng để tính các điểm xoắn cũng như xác định cấu trúc nhóm xoắn 𝐸(ℚ)tor. Các thuật toán này sẽ được minh họa thông qua các ví dụ cụ thể. Cuối cùng, ta sẽ xác định cấu trúc nhóm xoắn, tính hạng đại số và xem xét các j – bất biến của một số (họ) đường cong elliptic cụ thể.