6. Cấu trúc luận văn
2.1.3 j– bất biến của đường cong elliptic
Định nghĩa 2.1.3.1 Cho 𝐸 là đường cong eliptic trên trường 𝕂 được định nghĩa bởi phương trình Weierstrass dạng ngắn (1.4).
Biểu thức 𝑗 =𝑗(𝐸) = 17284𝐴34𝐴+27𝐵3 2 = 17284𝐴Δ3được gọi là j – bất biến của 𝐸.
Dựa trên định nghĩa j-bất biến của 𝐸:𝑦2 =𝑥3+𝐴𝑥+𝐵, nếu ta thực hiện phép biến đổi
𝑥 ⟼ 𝜇2𝑥′, 𝑦 ⟼ 𝜇3𝑦′,
với 𝜇 ∈ 𝕂�\{0}, thì ta nhận được một đường cong mới 𝐸′:𝑦′2 =𝑥′3+𝐴′𝑥′+𝐵′,
𝐴′ =𝜇4𝐴, 𝐵′ =𝜇6𝐵.
Do đó, 𝑗(𝐸′) =𝑗(𝐸).Điều thú vị là mệnh đề nghịch đảo cũng đúng.
Định lý 2.1.3.2 Cho (𝐸):𝑦2 =𝑥3+𝐴𝑥+𝐵 và 𝐸′:𝑦′2 =𝑥′3+𝐴′𝑥′+𝐵′ là các đường cong elliptic trên trường 𝕂, với các j – bất biến lần lượt là 𝑗 và 𝑗′. Giả sử
𝑗 =𝑗′. Khi đó, tồn tại số 𝜇 ∈ 𝕂�\{0} sao cho 𝐴′ =𝜇4𝐴,𝐵′=𝜇6𝐵. Đồng thời phép biến đổi 𝑥 ⟼ 𝜇2𝑥′, 𝑦 ⟼ 𝜇3𝑦′ biến 𝐸 thành 𝐸′.
Định nghĩa 2.1.3.3 Hai đường cong elliptic 𝐸 và 𝐸′ trên trường 𝕂 được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một đẳng cấu nhóm 𝜙:𝐸 ⟶ 𝐸′ (trên 𝕂).
Chú ý là Định lý 2.1.3.2 cho chúng ta biết khi nào hai đường cong elliptic là đẳng cấu trên một trường đại số đóng 𝕂. Tuy nhiên, nếu ta làm việc với một trường không đại số đóng thì có thể có hai đường cong elliptic với cùng một j – bất biến nhưng không đẳng cấu. Trường hữu tỷ ℚ mà chúng ta quan tâm là một trường như vậy. Và trên thực tế, ta có thể xây dựng một ví dụ cụ thể minh họa cho mệnh đề vừa nêu. Ví dụ này sẽ được xem xét ở Mục 2.2.4.