6. Cấu trúc luận văn
2.2.4Hạng đại số và hai bài toán cơ bản
Từ định lý Mordell – Weil và định lý về cấu trúc các nhóm abel hữu hạn sinh, ta suy ra là
𝐸(ℚ) = ℤ𝑟⨁𝐸(ℚ)tor.
Trong đó, 𝑟 ∈ ℤ≥0 được gọi là hạng đại số của 𝐸.
Hai bài toán cơ bản trong lý thuyết đường cong elliptic là
1. Xác định nhóm con xoắn 𝐸(ℚ)tor.
2. Xác định hạng đại số của 𝐸.
Việc xác định nhóm con xoắn 𝐸(ℚ)tor sẽ được bàn chi tiết ở các phần sau. Đây cũng là nội dung làm việc chính của đề tài này. Trong mục này, ta sẽ tập trung bàn về hạng đại số của đường cong elliptic. Để tính được hạng đại số, ta thường phải biết tất cả các điểm hữu tỷ trên ℚ. Do đó, hạng đại số của 𝐸 thường rất khó tính. Tuy nhiên, ta sẽ xem xét cách tính hạng đại số của đường cong elliptic 𝐸:𝑦2 =
𝑥3−4𝑥. Kết quả này sẽ được sử dụng trong phần sau để chứng minh hai đường cong elliptic trên một trường không đóng đại số với cùng một j – bất biến có thể không đẳng cấu với nhau.
Trước hết, ta sẽ tính tất cả các điểm hữu tỷ trên 𝐸:𝑦2 =𝑥3−4𝑥.Để làm được như vậy, ta cần định lý sau
Định lý 2.2.4.1 Cho 𝐸:𝑦2 = (𝑥 − 𝑒1)(𝑥 − 𝑒2)(𝑥 − 𝑒3), với 𝑒1,𝑒2,𝑒3 ∈ ℤ. Khi đó ánh xạ 𝜙:𝐸(ℚ) ⟶(ℚ/(ℚ×)2)⨁(ℚ/(ℚ×)2)⨁(ℚ/(ℚ×)2) định nghĩa bởi (𝑥,𝑦)⟼ (𝑥 − 𝑒1,𝑥 − 𝑒2,𝑥 − 𝑒3), 𝑦 ≠ 0 𝒪 ⟼ (1,1,1), (𝑒1, 0)⟼ �(𝑒1− 𝑒2)(𝑒1− 𝑒3),𝑒1− 𝑒2,𝑒1− 𝑒3�,
(𝑒2, 0)⟼ (𝑒2− 𝑒1, (𝑒2− 𝑒1)(𝑒2− 𝑒3),𝑒2− 𝑒3), (𝑒3, 0)⟼ �𝑒3− 𝑒1,𝑒3− 𝑒2, (𝑒3− 𝑒1)(𝑒3− 𝑒2)�
là một đồng cấu. Kernel của phép đồng cấu này là 2𝐸(ℚ).
Ta sẽ sử dụng định lý trên để chứng minh mệnh đề sau
Mệnh đề 2.2.4.2 Cho 𝐸:𝑦2 =𝑥3−4𝑥 trên ℚ.Khi đó,
𝐸(ℚ) = {𝒪, (0,0), (2,0), (−2,0)}.
Chứng minh Chú ý là 𝐸:𝑦2 =𝑥3−4𝑥 =𝑥(𝑥 −2)(𝑥 + 2). Đặt 𝑥 =𝑎𝑢2,𝑥 −2 =
𝑏𝑣2,𝑥 + 2 =𝑐𝑤2 với 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ ℤ là các số bình phương tự do (không chứa ước số bậc 2) và 𝑢,𝑣,𝑤 ∈ ℚ. Khi đó 𝑦2 =𝑎𝑏𝑐(𝑢𝑣𝑤)2. Suy ra 𝑎𝑏𝑐 ∈ ℤ2. Ta sẽ chứng minh 𝑎,𝑏,𝑐 ∈{±1, ±2}. Giả sử 𝑝|𝑎 với 𝑝 là một số nguyên tố lẻ. Vì 𝑎 là số nguyên bình phương tự do, 𝑝2 ∤ 𝑎. Gọi 𝑘 là số mũ cao nhất của 𝑝 sao cho 𝑝𝑘|𝑥 thì ta có 𝑘 lẻ vì 𝑥 =𝑎𝑢2. Nếu 𝑘< 0 thì 𝑘cũng là số mũ cao nhất chia hết mẫu số của 𝑥± 2. Suy ra 𝑦2 chia hết đúng cho 𝑝3𝑘. Nhưng điều này vô lý vì 3𝑘 là số lẻ. Nếu 𝑘 > 0 thì
𝑝|𝑥. Do đó, 𝑝 ∤ (𝑥± 2). Suy ra 𝑘 cũng là số mũ cao nhất sao cho 𝑝𝑘|𝑦2. Nhưng điều này vô lý vì 𝑘 lẻ. Vậy 𝑎 không chia hết cho số nguyên tố 𝑝 lẻ nào. Tương tự cho 𝑏,𝑐. Tiếp theo, chú ý là 𝑥+ 2 >𝑥 >𝑥 −2 và 𝑥(𝑥 −2)(𝑥+ 2) = 𝑦2 ≥0. Do đó, 𝑥 + 2≥0. Từ đó suy ra 𝑐 > 0. Vì 𝑎𝑏𝑐 ≥ 0, ta suy ra 𝑎,𝑏 cùng dấu. Vì 𝑎𝑏𝑐 là số chính phương, ta chỉ cần xét các trường hợp
(𝑎,𝑏,𝑐) ∈
{(−1,−1,1), (1,1,1), (−1,−2,2), (1,2,2), (−2,−1,2), (2,1,2), (−2,−2,1), (2,2,1)}.
Ta sẽ chứng minh rằng các trường hợp (−1,−1,1), (1,2,2), (2,1,2), (−2,−2,1)
không thể xảy ra. Định nghĩa 𝜙:𝐸(ℚ)⟶(ℚ/(ℚ×)2)⨁(ℚ/(ℚ×)2)⨁(ℚ/ (ℚ×)2): (𝑥,𝑦) ⟼(𝑎,𝑏,𝑐). Khi đó, theo Định lý 2.2.4.1, 𝜙 là một đồng cấu nhóm và
Giả sử (𝑎,𝑏,𝑐) = (−1,−1,1).Khi đó tồn tại một điểm 𝑃 ∈ 𝐸(ℚ) sao cho 𝜙(𝑃) = (−1,−1,1). Bây giờ ta tính
𝜙�𝑃+ (0,0)�=𝜙(𝑃)𝜙(0,0) = (−1,−1,1)(−1,−2,2) = (1,2,2).
Nhưng ta đã chỉ ra trước đó là không có điểm nào của 𝐸 tương ứng với điểm
(1,2,2). Vậy, trường hợp này không xảy ra. Tương tự, ta loại
(1,2,2), (2,1,2), (−2,−2,1). Vậy còn lại 4 trường hợp là
(1,1,1), (−1,−2,2), (2,2,1), (−2,−1,2) tương ứng với 4 điểm
𝒪, (0,0), (2,0), (−2,0) trên đường cong elliptic 𝐸. Suy ra
𝐸(ℚ)/2𝐸(ℚ) = {𝒪, (0,0), (2,0), (−2,0)}.
Sử dụng định lý Nagell – Lutz, ta tính được (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
𝐸(ℚ)tor =𝐸(ℚ)[2] = {𝒪, (0,0), (2,0), (−2,0)}.
Vậy, 𝐸(ℚ) = {𝒪, (0,0), (2,0), (−2,0)}. ∎
Ta rút ra từ mệnh đề trên một hệ quả quan trọng sau
Hệ quả 2.2.4.3 Hạng đại số của 𝐸:𝑦2 =𝑥3−4𝑥 trên ℚ bằng 0.
Chứng minh Sử dụng thuật toán Nagell – Lutz, ta tính được 𝐸(ℚ)tor =𝐸(ℚ) = {𝒪, (0,0), (2,0), (−2,0)}. Theo định lý Mordell – Weil, 𝐸(ℚ) =ℤ𝑟⨁𝐸(ℚ)tor. Vậy,
𝑟 = 0. ∎
Nhắc lại là hai đường cong elliptic trên trường đại số đóng 𝕂 với cùng một j – bất biến sẽ đẳng cấu với nhau. Tuy nhiên, nếu 𝕂 ≠ 𝕂�, điều đó có thể không đúng nữa. Trên trường ℚ, ta có ví dụ minh họa cụ thể như sau
Ví dụ 2.2.4.4 Xét hai đường cong elliptic 𝐸:𝑦2 =𝑥3−4𝑥 và 𝐸′:𝑦2 =𝑥3 −25𝑥
trên ℚ. Dễ thấy, 𝑗(𝐸) = 𝑗(𝐸′) = 1728. Theo Mệnh đề 2.2.4.2, #𝐸(ℚ) = 4 < ∞.
Bằng cách kiểm tra trực tiếp, ta có điểm (4,−6)∈ 𝐸′(ℚ) có bậc vô hạn. Vậy,
Ví dụ trên cho thấy điều kiện 𝜇 ∈ 𝕂�\{0} trong Định lý 2.1.3.2 là cần thiết và do