Phân tích hậu nghiệm

III. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

b)Phân tích hậu nghiệm

Thực nghiệm được tiến hành vào cuối tháng 8/2012 trên 176 HS khối 11 và 42 HS lớp 12 của trường THPT Ngô Gia Tự - Thành phố Cam Ranh – Tỉnh Khánh Hòa. Chúng tôi phát cho mỗi HS 3 phiếu làm bài tương ứng với 3 câu hỏi trong thực nghiệm. Trên mỗi phiếu làm bài đều có phần nháp dành cho HS. Chúng tôi hy vọng qua phần nháp này, chúng tôi sẽ thu được nhiều thông tin trung thực phản ánh

được quan hệ cá nhân của HS đối với tri thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Thời gian dành cho câu hỏi 1 tương ứng là 20 phút, câu hỏi 2 là 15 phút, câu hỏi 3 là 40 phút.HS được sử dụng máy tính trong tính toán.

Ngoài ra, khi tiến hành thực nghiệm chúng tôi cũng nói rõ với HS rằng thực

nghiệm này chỉ với mục đích phân tích, không tính điểm để HS làm việc với sự nổ lực của bản thân. Từ đó, các kết quả thu được là khách quan và tương đối phản ánh đúng thực tế.

Phân tích nhóm 1

Bảng 3.1: Bảng thống kê các kết quả thu được đối với nhóm 1

CLđồ thị CLmáy tính CLcộng – thế CLkhác Số lượng Phần trăm Số lượng Phần trăm Số lượng Phần trăm Số lượng Phần trăm Câu hỏi 1 24 11 178 81,65 13 5,96 3 1,39 Câu hỏi 2 95 43,58 100 45,87 16 7,34 7 3,21 Câu hỏi 3 74 33,92 107 49,08 31 14,22 6 2,78 Kết quả trung bình chung 193 29,51 390 59,63 60 9,17 16 1,69

Từ bảng thống kê cho thấy:

Ở câu hỏi 1 số HS chọn chiến lược giải hệ phương trình tương ứng bằng phương pháp sử dụng máy tính bỏ túi chiếm số lượng áp đảo (81,65%), điều này cho thấy kỹ thuật máy tính được HS ưu tiên sử dụng. Tuy nhiên, trong câu hỏi 2, chúng tôi đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để chiến lược đồ thị xảy ra: đồ thị được vẽ sẵn trên lưới tọa độ, tọa độ các đỉnh là các số nguyên nhưng số lượng các em chọn chiến lược này vẫn nhỏ hơn số lượng các em chọn chiến lược máy tính. Đáng chú ý là, trong 95 HS chọn chiến lược đồ thị có đến 32/42 HS lớp 12 và chỉ có 63/176 (khoảng 35,8%) HS lớp 11. Lý giải điều này chúng tôi cho rằng, HS 12 làm việc với đồ thị khá nhiều nên với giả thiết có đồ thị đi kèm, HS nhận ra tính tiện dụng của nó nên rất nhiều em đã chọn, trong khi đó, HS lớp 11 còn chưa quen với việc dùng đồ thị để giải toán thêm vào đó, mục tiêu của việc tìm tọa độ các đỉnh trong đa giác

Câu hỏi

nghiệm còn ảnh hưởng đến các em nên vấn đề tìm chính xác tọa độ các đỉnh của đa giác nghiệm thông qua việc giải hệ phương trình tương ứng bằng các KTĐS hoặc máy tính vẫn còn được HS ưu tiên.

Các phân tích ở câu hỏi 2 trên đây vẫn còn đúng cho câu hỏi 3b. Tuy nhiên, mặc dù yêu cầu tìm tọa độ đỉnh ở câu hỏi 3b cũng đi kèm với đồ thị (thông qua việc giải bài toán thực tế) nhưng số lượng HS chọn chiến lược này đã giảm đáng kể, điều đáng nói là số HS lớp 12 chọn chỉ còn là 22/ 42 (giảm 1/3), điều này có thể là do HS lớp 12 cũng nhận ra sự ngầm ẩn về tính chính xác của tọa độ các đỉnh trong bài toán thực tế nên họ cẩn thận hơn trong lựa chọn chiến lược.Chẳng hạn:

- HS11.9a2: “Tìm tọa độ các đỉnh O, A, B, C bằng cách dùng máy tính giải hệ phương trình tương ứng nhưng các hệ : x 0

x 2y 24  =  + =  và y 0 2x y 30  =  + =  đơn giản

nên em thế giá trị x để tìm y hoặc thế y để tìm x, còn hệ x 2y 24

2x y 30

 + =

 + =

 em dùng

máy tính để giải”

- HS11.41.a3: “Em sẽ dùng máy tính để giải các hệ phương trình tương ứng để tìm tọa độ các đỉnh”.

Các chiến lược khác ở đây chỉ các bài mà HS chỉ đưa ra đáp án không có sự giải thích

Phân tích nhóm 2

Nhóm 2 gồm câu hỏi 3a và câu hỏi 3c

Câu hỏi 3a:

Kết quả thực nghiệm cho thấy tất cả các HS thực nghiệm đều giải câu này trong đó có 144/218 (chiếm 66,06%) HS giải đúng câu hỏi 3a, các HS khác sai là do bước tính toán không đúng. Hầu hết HS đều giải theo các bước mà GV Ng đã thực hiện trong tiết học (kể cả các HS không thuộc lớp mà thầy Ng giảng dạy). Điều này

cho thấy, GV có quan tâm đến vấn đề mô hình hóa đặc biệt là bước 2: xây dựng mô

hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính nhưng theo những gì thể hiện trong thực nghiệm dành cho GV có thể thấy sự quan tâm này là vì yêu cầu của CT. Ngoài ra, kết quả nhiều HS giải đúng còn chứng tỏ việc giải bài toán thực tế trong cách trình bày của SGK không quá khó khăn

đối với HS. Điều này có đúng không? HS áp dụng giải được nhưng có hiểu đúng ý nghĩa của các PA không? Chúng tôi tiếp tục phân tích câu hỏi 3c.

Bảng 3.2: Bảng thống kê các kết quả thu được đối với câu hỏi 3c

CLđại số CLnhẩm CLg.điểm CLđồ thị CLđỉnh CLkhác Số lượng Phần trăm Số lượng Phần trăm Số lượng Phần trăm Số lượng Phần trăm Số lượng Phần trăm HS12 3 7,14 6 14,28 9 21,52 9 21,52 10 23,64 5 HS11 2 1,14 9 5,11 37 21,02 28 15,91 89 50,57 11 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Theo những ghi nhận và phân tích tiết học mà chúng tôi thực hiện ở đầu chương 3, việc GV không nói rõ ý nghĩa của miền đa giác nghiệm trong bài toán thực tế và GV luôn khẳng định PATU của bài toán luôn đạt tại một trong các đỉnh của đa giác nghiệm đã làm cho HS ngộ nhận rằng các đáp án mà bài toán thực tế hướng đến sẽ là một trong các đỉnh của đa giác nghiệm của hệ điều kiện ràng buộc. Thậm chí, HS vẽ đường thẳng biểu diễn hàm mục tiêu và đường thẳng đó có một đoạn nằm trong miền nghiệm nhưng vẫn không nhận ra các đáp án cần tìm chính là tọa độ các điểm nằm trên đoạn thẳng này, HS chỉ hướng sự chú ý của mình vào các đỉnh của các đa giác được tạo thành. Điều này thể hiện rõ trong kết quả thực nghiệm khi có tới 126/176 (chiếm 71,59%) HS khối 11 và 19/42 (chiếm 45,24%) HS khối 12 chọn CLđỉnh và CLgiao điểm. Chẳng hạn:

HS11.171a5: Ta có T(0;0) = 0; T(0;12) = 12; T(12;6) = 18; T(15;0) = 15. Do đó, Xí nghiệp đó thu được lợi nhuận 15 (đơn vị tiền tệ) khi sản xuất 15 đơn vị sản phẩm 1 mà không cần sản xuất sản phẩm 2. Không còn đáp án nào khác cho bài toán này. HS12.23a2: Đường thẳng T: x + y = 15 đi qua C(15;0) và cắt (d2) tại E(6;9), suy ra để thu được lãi xuất 15 (đơn vị tiền tệ) thì xí nghiệp đó phải sản xuất: 15 đơn vị sản phẩm loại 1 mà không cần sản xuất sản phẩm 2 hoặc 6 đơn vị sản phẩm 1 và 9 đơn vị sản phẩm 2. Không còn đáp án nào khác.

Từ đây chúng tôi còn tìm thấy một quy tắc hành động của HS khi sử dụng

hai chiến lược trên đó là: vẽ đường thẳng biểu diễn hàm mục tiêu ax + by = T0 (T0

đường thẳng này tạo với đa giác nghiệm. Quy tắc hành động này luôn đem lại kết quả đúng nhưng số lượng ít. Khi bài toán yêu cầu tìm nhiều đáp án, HS kết luận

ngay là không tồn tại các đáp án khác. Điều này thể hiện sự ảnh hưởng mạnh mẽ

của cách tìm PATU mà SGK giới thiệu trong bài toán thực tế. HS chưa thực sự hiểu về vấn đề này nên máy móc làm theo dẫn đến các kết quả không đúng.

Ngay cả HS lớp 12, đối tượng HS được làm việc khá nhiều với đồ thị nhưng vẫn có rất ít HS (9/42 HS, chiếm tỷ lệ 21,43%) nhìn ra tương quan giữa đường thẳng hàm mục tiêu và đa giác nghiệm. Chẳng hạn:

HS12.5a2: + Vẽ T: x + y = 15.

+ T cắt (d2) tại E(6;9) và đi qua C(15;0)

Vậy xí nghiệp đó sản xuất: 15 đơn vị sản phẩm loại 1,không sản xuất sản phẩm 2 hoặc sản xuất 6 đơn vị sản phẩm 1 và 9 đơn vị sản phẩm 2 thì mức lãi suất là 15 (đơn vị tiền tệ) . Không còn đáp án nào khác.

HS12.19a2: + Vẽ T: x + y = 15.

+ T cắt (d2) tại E(6;9) và đi qua C(15;0)

Đoạn thẳng CE nằm trong miền nghiệm của hệ điều kiện nên các đáp án thỏa bài toán là: (15;0), (6;9), (7;8); (8;7); (9;6).

Mặc dù rất hiếm cơ hội xảy ra nhưng chiến lược đại số cũng đã được 5/218 HS lựa chọn và chúng tôi cho rằng đây không phải là KTĐS trong giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mà chỉ là vì các HS này đã nắm được yêu cầu của đề bài nên thực hiện một số biến đổi để tìm ra đáp án của bài toán. Điều này cũng cho thấy khả năng hiểu được vấn đề mô hình hóa của HS. Chẳng hạn:

HS11.11a2: x y 15 x y 15 x y 15 2x y 30 2x 15 x 30 x 15 x 2y 24 x 2 15 x 24 x 6 ( ) ( )  + =  + =  + =  + ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ ≤     + ≤  + − ≤  ≥    do đó các đáp án cần tìm là (6;9), (7;8); (8;7); (9;6); (10;5). HS 12.35.a2:Ta có hệ :

x y 15 x y 15 x y 15 2 15 y y 30 y 0 6 x 15 2x y 30 2x 15 x 30 x 15 0 y 9 x 2y 24 x 2 15 x 24 x 6 15 y 2y 24 y 9 ( ) ( ) ( )  + =  + =    + =  − + ≤  ≥  ≤ ≤  + ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ⇔     ≤ ≤   + ≤  + − ≤  ≥    − + ≤ ≤     ⇒ các đáp án: (6;9), (7;8); (8;7); (9;6); (10;5).

Chiến lược nhẩm được chúng tôi tính đến nhưng không tạo điều kiện để nó xảy ra, tuy nhiên, vẫn có 15/218 HS chọn chiến lược này. Trong số đó có một số HS nhầm lẫn việc tìm đáp án cho bài toán thực tế với việc tìm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn, một số khác vẫn kiên trì nhẩm các giá trị của x nên cũng tìm ra được các đáp án thỏa bài toán. Chẳng hạn:

HS 11.155a5:

+ x = 0⇒ y =15: xí nghiệp đó sản xuất 15 đơn vị sản phẩm 2, không sản xuất sản phẩm 1. + x = 1 ⇒y = 14: xí nghiệp đó sản xuất 1 đơn vị sản phẩm 1 và 14 đơn vị sản phẩm 2. + x = 2 ⇒y = 13: xí nghiệp đó sản xuất 2 đơn vị sản phẩm 1 và 13 đơn vị sản phẩm 2. + x = 3 ⇒y = 12: xí nghiệp đó sản xuất 3 đơn vị sản phẩm 1 và 12 đơn vị sản phẩm 2. + x = 4 ⇒y = 11: xí nghiệp đó sản xuất 4 đơn vị sản phẩm 1 và 11 đơn vị sản phẩm 2. HS 11.43a2: lập bảng các giá trị của hàm số x + y = 15 và kiểm tra hệ bất phương trình trên ta được

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5

Kiểm tra

Loại Loại Loại Loại Loại Loại Nhận Nhận Nhận Nhận Nhận HS 11.23a2:

+ y = 0 ⇒x = 15: xí nghiệp đó sản xuất 15 đơn vị sản phẩm 1, không cần sản xuất sản phẩm 2.

+ y = 1 ⇒x = 14: xí nghiệp đó sản xuất 14 đơn vị sản phẩm 1 và 1 đơn vị sản phẩm 2. + y = 2 ⇒x = 13: xí nghiệp đó sản xuất 13 đơn vị sản phẩm 1 và 2 đơn vị sản phẩm 2. + y = 3 ⇒x = 12: xí nghiệp đó sản xuất 12 đơn vị sản phẩm 1 và 3 đơn vị sản phẩm 2.

+ y = 4 ⇒x = 11: xí nghiệp đó sản xuất 11 đơn vị sản phẩm 1 và 4 đơn vị sản phẩm 2.

Hầu như bài làm của HS mà chúng tôi liệt kê vào các chiến lược khác là các bài HS bỏ trống hoặc ghi 1 đáp số mà không kèm lời giải thích hoặc trả lời phần còn lại.Chẳng hạn:

HS 11.176a5: Lợi nhuận 15 đơn vị tiền tệ ⇒ sản phẩm 1: 6 đơn vị, sản phẩm 2: 9 đơn vị hoặc sản phẩm 1: 9 đơn vị, sản phẩm 2: 6 đơn vị

Tóm lại, câu hỏi 3c trong thực nghiệm của chúng tôi chỉ có 42/218 (chiếm tỷ lệ 19,63%) HS đưa ra được các đáp án đúng và chứng tỏ có sự hiểu biết về bài toán thực tế và quá trình mô hình hóa, phần lớn các HS còn lại (chiếm tỷ lệ 80,37%) không đưa ra được các đáp án cần tìm hoặc đưa ra các đáp án sai. Điều này chứng tỏ GT2 của chúng tôi đã được kiểm chứng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Kết luận chương 4

 GV không thực sự quan tâm đến tri thức bất phương trình và hệ bất phương

trình bậc nhất hai ẩn nên giữa tri thức cần dạy và tri thức được dạy không có gì khác biệt. Vấn đề dạy học mô hình hóa được GV thực hiện theo như yêu cầu của SGK. Vấn đề đa dạng các kỹ thuật giải tương ứng với từng KNV không được GV đề cập đến, từ đó, thời điểm đánh giá các kỹ thuật đã không xảy ra.

 Các KTĐS trong việc giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai

ẩn không được GV chú ý. Do vậy, HS cho rằng để giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thì phải dùng KTHH. Điều này lý giải được những sai lầm mà HS đã mắc phải trong thực nghiệm mà chúng tôi trình bày ở phần mở đầu của luận văn và các thực nghiệm sau này.

 Vấn đề mô hình hóa thể hiện qua bài toán thực tế không đầy đủ và cách tiếp

cận kỹ thuật tìm PATU của bài toán này không hoàn chỉnh đã gây ra một số sai lầm cho HS trong việc tìm các đáp án cho bài toán thực tế. Ngoài ra, KTHH giữ vị trí độc tôn trong việc giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cũng góp phần gây cản trở cho việc HS hình thành mối liên hệ giữa phương trình và bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

KẾT LUẬN

Luận văn của chúng tôi kết thúc với một số kết quả thu được như sau:

1. Trong chương 1, chúng tôi đã tìm hiểu ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Qua đó, chúng tôi hiểu được vai trò của đối tượng này trong việc gắn kết toán học với thực tế. Ngoài ra, việc phân tích và tổng hợp các giáo trình đại học giúp chúng tôi tìm ra mối liên hệ giữa hệ bất phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, từ đó chúng tôi tìm thấy một kỹ thuật nữa có thể áp dụng cho việc giải hệ hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn đó là KTĐS. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng thấy được vấn đề dạy học mô hình hóa diễn ra ở cấp độ tri thức khoa học hoàn chỉnh hơn cấp độ tri thức phổ thông, điều này thể hiện rõ nét ở sự lựa chọn phương án phù hợp với yêu cầu của bài toán thực tế.

2. Những phân tích thực hiện trong chương 2 cho phép chúng tôi thấy rõ sự chuyển hóa sư phạm từ cấp độ tri thức khoa học sang cấp độ tri thức cần dạy của đối tượng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã làm mất đi mối liên hệ giữa đối tượng này với đối tượng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mặc dù các TCTH gắn kết với hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn tương đương với các TCTH gắn với đối tượng này

trong các giáo trình đại học. Ngoài ra, việc thể chế chọn một trường hợp đặc biệt

của bài toán thực tế (trường hợp bài toán luôn có PATU và PATU chỉ đạt tại một đỉnh duy nhất của đa giác nghiệm) để giới thiệu trong SGK đã làm hạn chế khả năng vận hành của kỹ thuật mô hình hóa trong giải toán. Như vậy, vấn đề mô hình hóa có được thể chế quan tâm nhưng không triệt để, HS không làm chủ được các bước của quá trình này, điều này gây khó khăn cho HS khiến việc giải các bài toán thực tế trở nên không đơn giản, HS không thấy được vai trò của toán học trong thực tế. Kết quả phân tích chương 2 đã giúp chúng tôi rút ra các kết luận và giả thuyết sau: