III. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
2.2.1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK toán lớp 10 hiện hành
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện đột ngột ở SGK toán lớp 10 hiện hành thông qua định nghĩa: “ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có một trong các dạng ax + by + c < 0, ax + by + c > 0, ax + by + c ≤ 0, ax + by + c ≥ 0, trong đó a, b và c là những số cho trước sao cho a2
+ b2≠ 0; x, y là các ẩn.
Mỗi cặp số (x0;y0) sao cho ax0 + by0 + c < 0 gọi là một nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.
Nghiệm của các bất phương trình dạng ax + by + c > 0, ax + by + c ≤ 0,
ax + by + c ≥0 được định nghĩa tương tự.”
Từ định nghĩa này, SGK rút ra nhận xét: “Như vậy trong mặt phẳng tọa độ, mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình”. Với cách định nghĩa này, chúng tôi nhận thấy, SGK đã đề cập đến đồ thị khi diễn tả tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai
ẩn và đây cũng là điểm bắt đầu cho KTHH trong việc giải quyết các KNV liên quan đến tri thức này có cơ hội nảy sinh và phát triển.
Thật vậy, ngay sau khi kết thúc các định nghĩa cơ bản liên quan đến tri thức bất phương trình bậc nhất hai ẩn, SGK giới thiệu định lý “Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d): ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + by + c > 0, nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + by + c < 0.”. Định lý này chỉ được SGK nêu ra và yêu cầu HS chấp nhận ngoài ra không có bất kỳ một gợi ý chứng minh nào, có lẽ phần chứng minh đó vượt quá tri thức phổ thông hoặc không cần thiết.
Sử dụng định lý trên, SGK tiếp tục đưa ra nhận xét “Nếu (x0;y0) là một nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0 (hay ax + by + c < 0) thì nửa mặt
phẳng(không kể bờ (d)) chứa điểm M(x0;y0) chính là miền nghiệm của bất phương
trình ấy.”. Nhận xét này là công nghệ để giải thích cho kỹ thuật giải các KNV liên quan đến bất phương trình bậc nhất hai ẩn và điều này cũng chứng tỏ rằng những điều kiện bảo đảm cho sự vận hành của KTHH đã xuất hiện ngay từ trong lý thuyết mà chưa có một sự giải thích nào.
Các tổ chức toán học gắn với bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
Kiểu nhiệm vụ TNbpt: “Xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn”.
Ví dụ: ví dụ 1 SGK trang 129
“ Xác định miền nghiệm của bất phương trình 3x + y ≤ 0
Giải : Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d): 3x + y = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Chọn một điểm bất kỳ không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm M(0;1). Ta thấy (0;1) không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần
tìm là nửa mặt phẳng bờ (d) không chứa điểm M(0;1). (Trên hình 4.5, miền nghiệm là nửa mặt phẳng không bị gạch).”
Hình 4.5
Kỹ thuật τNbpt: -Vẽ đường thẳng (d): ax + by + c = 0; - Xét một điểm M(x0;y0) không thuộc (d).
Nếu ax0 + by0 + c < 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M
là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.
Nếu ax0 + by0 + c > 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.
Với các bất phương trình dạng ax + by + c ≤0 hoặc ax + by + c ≥ 0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ.
Công nghệ θNbpt:
- Định lý “Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d): ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + by + c > 0, nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình
ax + by + c < 0.”
- Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax + by + c ≤0 hoặc ax + by + c ≥
0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ.
SGV đưa ra nhận xét: “Cơ sở quan trọng để xác định miền nghiệm của bất
lý không khó, nhưng việc vận dụng định lý vào các bài toán cụ thể cũng đòi hỏi HS phải luyện tập nhiều mới có thể thành thạo” [5, tr.178]. Như vậy, việc vận dụng định lý không phải là dễ, chúng tôi cho rằng định lý chứa đựng một thông điệp: để xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta phảibiểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn trước, lý do là gì không được CT và SGK
giải thích. Kiểu nhiệm vụ TNbpt là KNV duy nhất mà SGK lẫn sách bài tập đề cập
đến. KNV này đưa ra có đầy đủ kỹ thuật giải và công nghệ giải thích cho kỹ thuật
ấy. Tuy nhiên, SGK chỉ nói đến KTHH mà không đề cập đến KTĐS2 được nhắc
đến. Tìm sự giải thích cho lựa chọn này của thể chế, chúng tôi thấy một một lý do được đưa ra như sau: “Ta có thể giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chẳng hạn 2x – y > 3, như sau: 2x – y > 3⇔ y < 2x – 3. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
{( ; ) |x y x∈;y<2x 3− }. Nhưng cách giải này không mấy ý nghĩa và khó áp dụng để giải một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó, người ta quan tâm nhiều hơn đến cách biểu diễn tập nghiệm (hay xác định miền nghiệm) của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ như SGK đã trình bày.” [13, tr.206]. “Ý nghĩa” trong giải thích trên cụ thể là gì không được nói rõ.
Từ sự giải thích này, chúng tôi cho rằng, kỹ thuật giải hệ bất phương trình
bậc nhất hai ẩn cũng là KTHH và không còn một sự giải thích nào khác cho sự lựa
chọn ấy của thể chế. Chúng tôi tiếp tục phân tích SGK đối với hệ bất phương trình
bậc nhất hai ẩn để chứng minh cho nhận xét của mình.