III. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
2.2.2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK toán lớp 10 hiện hành
SGK Đại số 10 nâng cao không đưa ra định nghĩa chính thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (nhưng có thể hiểu được định nghĩa thông qua ví dụ) mà chỉ đưa ra khái niệm về miền nghiệm của hệ: “Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ” [10,
tr.130]. Thông qua định nghĩa miền nghiệm của hệ, SGK đã đề cập đến KTHH trong việc giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Điều này được khẳng định lại một lần nữa khi phương pháp biểu diễn hình học (cách xác định miền nghiệm) của hệ bất phương trình bậc nhất được nêu ra. Tiếp theo, đúng như thể chế mong đợi, SGK đề cập đến một ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong thực tế vì: “Vấn đề tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất có liên quan chặc chẽ đến
Quy hoạch tuyến tính. Đó là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế” .
Các tổ chức toán học gắn với hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
Kiểu nhiệm vụ TNhbpt: “Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”.
Ví dụ: ví dụ 2 SGK trang 130
“Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình:
3x y 3 0 2x 3y 6 0 2x y 4 0 − + > − + − < + + >
Giải: Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: (d1): 3x – y + 3 = 0;
(d2): -2x + 3y – 6 = 0; (d3): 2x + y + 4 = 0.
Thử trực tiếp ta thấy (0;0) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa là gốc tọa độ thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình của hệ (I). Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch trên hình 4.6 (không kể biên) là miền nghiệm của hệ (I).
Kỹ thuật τNhbpt:
- Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó
và gạch bỏ miền còn lại
- Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Công nghệ θNhbpt:Định nghĩa miền nghiệm của hệ.
Kiểu nhiệm vụ TPATU: “Tìm phương án tối ưu cho bài toán thực tế”.
Ví dụ: Bài toán trang 131 SGK.
“Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140 kg chất A và 9 kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng, có thể chiết xuất được 20 kg chất A và 0,6 kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng,
có thể chiết xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B. Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn
nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất, biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II?
Phân tích bài toán: Nếu sử dụng x tấn nguyên liệu loại I và y tấn nguyên liệu loại II thì theo giả thiết, có thể chiết xuất được (20x + 10y) kg chất A và (0,6x + 1,5y) kg chất B. Theo giả thiết, x và y phải thỏa mãn các điều kiện: 0 ≤ x ≤ 10 và 0 ≤ y ≤ 9;
20x + 10y ≥ 140, hay 2x + y ≥ 14; 0,6x + 1,5y ≥ 9, hay 2x + 5y ≥ 30.
Tổng số tiền mua nguyên liệu là T(x;y) = 4x + 3y.
Bài toán trở thành: Tìm các số x và y thỏa mãn hệ bất phương trình (II) 0 x 10 0 y 9 2x y 14 2x 5y 30, ≤ ≤ ≤ ≤ + ≥ + ≥
sao cho T(x,y) = 4x + 3y có giá trị nhỏ nhất. Bài toán này dẫn đến hai bài toán nhỏ sau:
Bài toán 1: Xác định tập hợp (S) các điểm có tọa độ (x;y) thỏa mãn hệ (II).
Bài toán 2: Trong tất cả các điểm thuộc (S), tìm điểm (x;y) sao cho T(x;y) có giá trị lớn nhất.
• Việc giải bài toán 1 chính là việc xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình
(II) mà ta đã lập được.
• Để giải bài toán 2, ta thừa nhận rằng biểu thức T(x;y) có giá trị nhỏ nhất và giá
trị ấy đạt được tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD. Bằng cách tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D rồi so sánh các giá trị tương ứng của T(x;y), ta được
T(5;4) = 32 là giá trị nhỏ nhất.
Vậy để chi phí nguyên liệu ít nhất, cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II (khi đó, chi phí tổng cộng là 32 triệu đồng).”
Với sự gợi ý cách giải bài toán 1 trong bài giải trên, chúng tôi cho rằng không có sự thay đổi về kỹ thuật trong việc giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Tuy nhiên, sự gợi ý cách giải bài toán 2 làm chúng tôi khó nhận ra kỹ thuật nào đã được sử dụng để tìm tọa độ các đỉnh của miền nghiệm nhưng trong công trình
nghiên cứu về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, tác giả Trần Thị Mỹ Dung đã rút ra một nhận định như sau: “…Các kỹ thuật được sử dụng chủ yếu là các kỹ thuật đại số. Kỹ thuật cộng và thế (vết của kỹ thuật Gauss) luôn được lựa chọn vì ngôn ngữ hệ đã có từ trước và cũng dễ dàng đưa vào. Kỹ thuật định thức cũng là một sự lựa chọn bổ sung hợp lý, giúp giải các hệ phương trình phức tạp, có tham số. Tuy nhiên, nó cũng bị hạn chế vì ngôn ngữ ma trận không được phép đưa vào. Việc dùng máy tính bỏ túi để giải hệ lần đầu tiên được tận dụng vì tính hiệu quả của nó. Kỹ thuật này giữ vị trí độc tôn khi tính nghiệm gần đúng của hệ. Tuy nhiên, phạm vi hợp thức của nó đã không được nêu ra tường minh. Hệ (2,2) có thể giải bằng cách khai thác ngôn ngữ biểu đạt hình học (vẽ hai đường thẳng, …) nhưng tuyệt nhiên không
được GKNC, GKCB đề cập…”, chúng tôi đồng ý với nhận định này đồng thời, kết
hợp với yêu cầu về tính chính xác của tọa độ các đỉnh mà thể chế ngầm ẩn đưa ra (tọa độ đỉnh này dùng để tính giá trị hàm mục tiêu), chúng tôi cho rằng, HS sẽ sử dụng KTĐS hoặc máy tính bỏ túi để giải hệ phương trình tương ứng, từ đó tìm được tọa độ các đỉnh của miền nghiệm. Như vậy, để tìm tọa độ đỉnh HS phải giải hệ phương trình tương ứng, điều đó đồng nghĩa với việc giải hệ phương trình và giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có sự liên hệ lẫn nhau, có thể HS bước đầu đã nhận dạng được nhưng do thể chế không giải thích rõ yếu tố công nghệ cho kỹ thuật giải của các KNV nên HS chưa thực sự nắm chắc mối quan hệ đó.
Ngoài ra, kiểu nhiệm vụ TPATU là một KNV ngoài toán học, đòi hỏi trong kỹ
thuật giải phải có mặt các bước của quá trình mô hình hóa. Quan sát phần lời giải
trên, chúng tôi nhận thấy SGK đã cố gắng thực hiện bước của mô hình này như yêu
cầu CT đưa ra. Chúng tôi tiến hành phân tích quá trình mô hình hóa thông qua các bài toán thực tiễn này bằng việc phân tích các TCTH có mặt trong chúng.
Kiểu nhiệm vụ Ttcs: “Tìm cặp số (x,y) thỏa mãn một hệ điều kiện ràng buộc”
Kỹ thuật τtcs:
- Gọi (x, y) là cặp số cần tìm.
- Lập biểu thức T(x,y) (hàm mục tiêu) cần tìm GTNN (GTLN)
- Giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để xác định miền nghiệm (hệ các điều kiện ràng buộc)
- Tính giá trị biểu thức T(x,y) tại các đỉnh của miền nghiệm
- Chọn GTNN (GTLN) trong các giá trị vừa tìm được làm giá trị cần tìm. Khi đó tìm được (x, y)
Công nghệ θtcs: Ngầm ẩn trong kỹ thuật.
Từ đó, quá trình mô hình hóa được SGK tính đến như sau:
Bước 1:Xây dựng mô hình phỏng thực tiễnhầu như không xuất hiện. Việc xem các nguyên liệu cần thiết như là các số x, y. Các điều kiện ràng buộc về số lượng nguyên liệu, số lượng sản phẩm tạo ra là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chi phí mua nguyên liệu là giá trị của biểu thức theo hai ẩn T(x,y). Vấn đề là tìm số lượng nguyên liệu cần thiết cho mỗi loại sao cho biểu thức T(x,y) đạt giá trị nhỏ nhất trong các điều kiện ràng buộc của x, y như là cách chuyển bài toán thực tế về bài toán toán học theo một mô hình đã có sẵn (ẩn thường là các đối tượng cần tìm). Điều này thể hiện, Bước 2: xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét đã xuất hiện.
Bước 3 thực chất là việc giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn từ đó xác định tọa độ các đỉnh của đa giác nghiệm và tính giá trị biểu thức T(x,y) tại các đỉnh này.
Bước 4:Liên hệ kết quả này với thực tế, chẳng hạn, nếu số lượng nguyên liệu mua được không bị giới hạn thì lời giải trên không phù hợp vì miền nghiệm không phải là một đa giác. Tuy nhiên điều này không được thể hiện. Đa số các đáp số tìm được trong bài toán toán học chính là đáp số của bài toán thực tế.
Tóm lại, vấn đề mô hình hóa đã thực sự tồn tại trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thông qua các bài toán thực tiễn. Việc giải quyết các bài toán
này giúp HS tiếp cận kỹ năng chuyển một tình huống ngoài toán học vào trong mô
hình toán học, đồng thời, HS sử dụng được các phương pháp, kỹ thuật giải của bài toán toán học để đưa ra đáp số cho bài toán thực tiễn từ đó trả lời được câu hỏi mà bài toán này đưa ra. Các bài toán thực tiễn đưa vào SGK cùng với các điều kiện ràng buộc của thể chế lên nó cho thấy kết quả mà bài toán toán học tìm được luôn thỏa mãn các yêu cầu của bài toán thực tiễn (mô hình luôn phù hợp)
Bảng 2.1. Thống kê các tổ chức toán học liên quan đến bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Kiểu nhiệm vụ Ví dụ và hoạt động BT SGK BT SBT Tổng cộng
TNbpt (Xác định miền nghiệm của bất phương trình) 2 4 4 10 (34,48%) TNhbpt (Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình) 2 5 8 15 (51,72%) TPATU
(Tìm phương án tối ưu cho bài toán phỏng thực tế)
1 2 1 4
(13,8%)
Nhận xét:Thông qua những gì đã ghi nhận được và bảng thống kê các KNV về bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được đề cập đến trong SGK toán lớp 10 nâng cao, chúng tôi nhận thấy rằng:
− KNV xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn chiếm một số lượng khá lớn (chiếm 51,72%), điều này cho thấy SGK thực sự quan tâm đến việc rèn luyện kỹ năng giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Tuy nhiên, CT cho rằng dùng KTHH để giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn giúp việc giải hệ được dễ dàng hơn, ngoài ra, SGK
không hề hé lộ một chi tiết nào để HS có thể thấy được sự tồn tại của
KTĐS trong việc giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Mối liên hệ giữa tri thức này đối với tri thức hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà
chúng tôi tìm thấy trong phân tích ở chương 1 có hiện diện nhưng rất mờ
nhạc
− Vấn đề mô hình hóa có được SGK đề cập (nhưng không đầy đủ các bước) thông qua việc giải các bài toán thực tiễn và số lượng các bài toán
này lại quá khiêm tốn (chỉ 13,8%) chứng tỏ rằng SGK không đặt sự quan tâm đặc biệt cho vấn đề này.
Tổng kết chương 2
Qua phân tích trên, chúng tôi rút ra ba TCTH liên quan đến bất phương trình
và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Cụ thể là có 3 KNV được đặt ra:
- KNV thứ nhất TNbpt: Xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất
hai ẩn.
- KNV thứ hai TNhbpt: Xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất
hai ẩn.
- KNV thứ ba TBttt: Giải bài toán thực tế.
Trong ba KNV trên, chúng tôi thực sự quan tâm đến KNV TNhbpt và TBttt vì:
Đối với KNV TNhbpt: SGK quan tâm nhiều nhất nhưng kỹ thuật giải của nó
chỉ duy nhất là KTHH mặc dù hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một đối tượng của đại số. Đồng thời, vấn đề tại sao sử dụng KTHH mà không sử dụng bất kỳ một yếu tố đại số không được SGK lý giải. Ngoài ra, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những tri thức quan trọng vừa đóng vai trò là đối tượng nghiên cứu vừa đóng vai trò là công cụ sử dụng
trong CT phổ thông. Các kỹ thuật giải của những KNV liên quan đến tri
thức này đã được HS tiếp cận từ trước và được rèn luyện thường xuyên nhưng CT và SGK không thể hiện tường minh mối liên hệ giữa tri thức hệ bất phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong khi thực tế là sự liên hệ này khá chặc chẽ. Điều này cho phép chúng tôi kết luận rằng: HS không biết đến KTĐS trong giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và mối liên hệ giữa hệ phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn chưa tồn tại rõ nét trong HS.
Đối với KNV TPATU: Chúng tôi quan tâm đến nó vì việc sử dụng bài toán
thực tiễn trong dạy học toán cho phép làm rõ vai trò, ý nghĩa thực tiễn của các tri thức toán học và chúng cũng cho phép tiếp cận dạy học mô hình hóa
nổi bật việc mô hình hóa toán học từ một bài toán thực tế” thế nhưng SGK chưa thực sự quan tâm vấn đề này một cách đầy đủ. Như vậy, vấn đề mô hình hóa có được đề cập đến thông qua các bài toán thực tế nhưng mang tính hình thức và chịu nhiều ràng buộc của thể chế. Tham chiếu với 4 bước của mô hình hóa, chúng tôi thấy rằng bước 1 và bước 4 không có cơ hội xuất hiện, bước 2 và bước 3 xuất hiện khá rõ nét.
Ngoài ra, việc thực hiện bước 3 trong quá trình mô hình hóa làm chúng tôi phân vân: kỹ thuật giải của bài toán toán học bao gồm cả KTHH và KTĐS. Thật vậy, đầu tiên để tìm miền nghiệm (miền phương án chấp nhận được) người ta dùng
KTHH để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (hệ các ràng buộc). Đáng lẽ ra,
bước tiếp theo, người ta phải dùng đường định mức để tìm PATU (đáp số của bài toán) như thế mới là hoàn chỉnh KTHH. Nhưng ở đây, SGK đã sử dụng phương pháp cải tiến hàm mục tiêu (ý tưởng chính của phương pháp đơn hình – thuộc KTĐS) để tìm PATU. Việc này đòi hỏi tọa độ các đỉnh của đa giác nghiệm phải
chính xác (nhằm tìm được chính xác PTU), điều này đưa chúng tôi đến giả thuyết
nghiên cứu thứ nhất như sau:
GT1: HS ít sử dụng KTHH mà chủ yếu sử dụng KTĐS hoặc máy tính bỏ túi để tìm tọa
độ các đỉnh của đa giác nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Hơn nữa những gì đã trình bày ở SGK về vấn đề mô hình hóa thông qua bài toán thực tế đặc biệt là sự kết hợp giữa KTHH và KTĐS trong việc tìm PATU còn cho phép chúng tôi đưa ra giả thuyết nghiên cứu thứ hai sau:
GT2: Cách tìm đáp án cho bài toán thực tế như SGK trình bày không đem lại cách hiểu
đúng cho HS về việc tìm PATU mà tổng quát là tìm một PA thỏa mãn yêu cầu của bài toán thực tế đặt ra.
Như vậy, việc hoàn thành nghiên cứu trong chương 2 đã giúp chúng tôi trả lời được câu hỏi CH2: Trong CT và SGK toán lớp 10, đối tượng O (hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn) tồn tại ra sao? Những kỹ thuật giải nào đã được lựa chọn để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn? Có sự giải thích nào được đưa ra cho sự lựa chọn đó? Vấn đề mô hình hóa có được thể chế đặt ra ? và mở ra động lực thúc