I. « Đường thẳng vuông góc Đường thẳng song song »
3.2. Sau khi đưa vào khái niệm định lý và chứng minh định lý Chương II “Tam giác”
“Tam giác”
Theo SGV HH7 T1, trong chương II, các định lý bắt đầu được chứng minh một cách tường minh. Đối với học sinh, không yêu cầu phải chứng minh lại định lý mà phải hiểu được chứng minh của định lý và biết vận dụng vào bài tập. Một trong những mục tiêu của chương được thể hiện trong SGV như sau: “HS vận dụng được các kiến thức đã học vào tính toán và chứng minh đơn giản, bước đầu biết trình bày một chứng minh hình học”
Chương II bao gồm ba chủ đề:
+ Một số tính chất của tam giác: các định lý về tổng ba góc của một tam giác, về góc ngoài của tam giác
+ Một số dạng tam giác đặc biệt: tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông , tam giác vuông cân. Với tam giác cân, SGK giới thiệu tính chất về góc ở đáy. Với tam giác vuông SGK giới thiệu định lý Py-ta-go.
+ Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác Được chia thành 9 bài:
§1. Tổng ba góc của một tam giác §2. Hai tam giác bằng nhau
§3. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c) §4. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh (c.g.c) §5. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (g.c.g)
§6. Tam giác cân §7. Định lý Pytago
§8. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông §9. Thực hành ngoài trời
Ôn tập
Ở bài học đầu tiên của chương (§1.Tổng ba góc của một tam giác) học sinh được tiếp cận với định lý về tổng ba góc của một tam giác thông qua các hoạt động thực nghiệm:
- Hoạt động đo đạc để tính tổng số đo ba góc của một tam giác
- Hoạt động ghép hình đặt ba góc của một tam giác vào vị trí kề nhau
- Từ đó rút ra dự đoán về tổng số đo ba góc của một tam giác, phát biểu và chứng minh định lý.
Hoạt động thực nghiệm như trên được tìm thấy một lần nữa đối với định lý Pytago -thông qua đo đạc trong một trường hợp đặc biệt tam giác vuông cạnh 3, 4 và ghép hình để đưa ra nhận xét về mối quan hệ giữa c2 và a2 + b2 trong tam giác vuông, từ đó phát biểu định lý (không chứng minh)
Một số định lý được trình bày theo cách: Từ hoạt động đo đạc trên một đối tượng hình vẽ cụ thể rút ra các định lý. Khác với ở lớp 6, trước khi phát biểu các định lý này, SGK đều viết: “Ta có thể chứng minh được định lý ...”, “ta thừa nhận tính chất cơ bản sau ...”. Các trường hợp bằng nhau của tam giác, định lý pitago đảo được trình bày theo cách này, cụ thể:
+ Ví dụ trường hợp bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh của tam giác
“1. Vẽ ba cạnh của tam giác
Bài toán: Vẽ tam giác ABC biết AB = 2cm, BC = 4cm, AC = 3cm. Giải: ....
2. Trường hợp bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh
Vẽ thêm tam giác A’B’C’ có: A’B’ = 2cm, B’C’ = 4cm, A’C’ = 3cm. Hãy đo và so sánh các góc tương ứng của tam giác ABC ở mục 1 và tam giác A’B’C’. Có nhận xét gì về hai tam giác trên. Ta thừa nhận tính chất cơ bản sau: Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau”
+ Cách trình bày định lý Pitago đảo:
“?4. Vẽ tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. Hãy dùng thước đo góc để xác định số đo góc BAC.
Ta có thể chứng minh được định lý Pitago đảo ....”
Một số định lý được chứng minh (thông qua một vài hoạt động được yêu cầu trong SGK) trước khi phát biểu: định lý “trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau”, định lý về tính chất góc ngoài của tam giác, định lý “trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau”, các hệ quả về các cạnh và các góc trong tam giác đều. Sau đây là một số trích dẫn:
+ Định lý “trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau”
SGK HH7 T1, tr.107: “?3. Cho tam giác ABC vuông tại A, tính tổng
B C+ . Ta có định lý
....”.
+ Định lý về tính chất góc ngoài của tam giác
SGK HH7 T1, tr.107: “?4. Hãy điền vào các chỗ trống rồi so sánh ACx với A B+ :
Tổng ba góc của tam giác ABC bằng 1800
nên 0
180 ....
A B+ = −
Góc ACx là góc ngoài của tam giác ABC nên 0
180 ...
ACx= −
Ta có định lý về tính chất góc ngoài của tam giác …”
+ Định lý “trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau”
SGK HH7 T1, tr.126: “?2. Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Hãy so sánh ABD và ACD.
Ta có định lý 1: ...”.
+ Các hệ quả về các cạnh và các góc trong tam giác đều
SGK HH7 T1, tr.126: “?4. Vẽ tam giác đều ABC. a) Vi sao
,
B=C C =A
b) Tính số đo mỗi góc của tam giác ABC. Từ các định lý 1 và 2 ta có các hệ quả: ....”
Các định lý, hệ quả còn lại được phát biểu trực tiếp (5/15, trong đó có một định lý được chứng minh đầy đủ với giả thiết, kết luận và chứng minh), ví dụ trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh góc vuông SGK HH7 T1 viết: “Nhờ
định lý Pitago ta dễ dàng chứng minh được một trường hợp bằng nhau nữa của hai tam giác vuông. ....”
Như vậy sau khi đưa vào khái niệm định lý và chứng minh định lý, các tính chất được trình bày theo một trong các cách sau:
Cách trình bày Số lượng %
Hoạt động thực nghiệm (đo đạc, gấp hình) – Dự đoán – Định lý
(có chứng minh hoặc không chứng minh) 2/15 13,3
Hoạt động đo đạc trên một đối tượng hình vẽ cụ thể - Định lý
(không chứng minh) 4/15 26,7
Hoạt động chứng minh – Định lý 4/15 26,7
Phát biểu trực tiếp các định lý
(có chứng minh hoặc không chứng minh) 5/15 33,3
Qua phân tích các bài tập chúng tôi thấy có thể phân chia như sau:
Bài tập Số lượng Phần trăm
Dạng 1
Vận dụng các định nghĩa, tính chất đã được phát biểu (định lý về tổng ba góc trong tam giác, tính chất phân giác, tính chất của các góc đồng vị, so le trong, định lý pitago,…) vào tính toán trên một hình vẽ với các số đo cho trên hình
10 15,1%
Dạng 2
Nhận dạng khái niệm (đọc tên các tam giác bằng nhau với các yếu tố cho trên hình vẽ; cho hai tam giác bằng nhau – đọc tên, số đo các cạnh và góc bằng nhau tương ứng; bổ sung điều kiện để hai tam giác bằng nhau; nhận dạng tam giác nhọn, tù, cân, đều, vuông với hình vẽ hoặc số đo ba cạnh cho trước, (giải thích vì sao) )
17 23,3%
Dạng 3
Xét tính đúng sai của một khẳng định 2 2,7%
So sánh độ dài hai đoạn thẳng, số đo hai góc Dạng 5
Điền vào chỗ trống hoặc sắp xếp các câu trong một đoạn văn theo một trình tự hợp lý để hoàn thành một chứng minh
3 9%
Dạng 6 Chứng minh hoặc giải thích vì sao (Có 3 bài tập dưới dạng câu hỏi mở)
21 28,7%
Dạng 7
Dựng hình (Vẽ tam giác với độ dài ba cạnh, hai cạnh và góc xen giữa, một cạnh và hai góc kề, tam giác cân với cạnh đáy và cạnh bên, tam giác đều có cạnh cho trước, vẽ tia phân giác của góc, vẽ một góc bằng góc cho trước)
5 6,8%
Dạng 8
Bài toán thực tế (sau khi toán học hóa nó trở thành bài toán dạng 1)
7 9,5%
Dạng 9 (dạng khác)
(Trong đó gấp giấy có 01 bài) 5 6,8%
Tổng 73
Qua bảng thống kê này có thể thấy, sau khi đưa vào khái niệm định lý và chứng minh định lý, yếu tố suy luận xuất hiện trong tất cả các bài tập (trừ một bài gấp giấy). Dạng toán vận dụng các tính chất, định nghĩa vào chứng minh chiếm tỉ lệ gần 30% (số bước suy luận chủ yếu là một và hai bước), các dạng toán còn lại hướng đến việc củng cố các định nghĩa và tính chất đã phát biểu.
KẾT LUẬN
Những phân tích ở trên cho thấy mối quan hệ thể chế với đối tượng suy luận và chứng minh được thiết lập qua hai giai đoạn:
Giai đoạn 1: trước khi đưa vào khái niệm định lý và chứng minh định lý.
Những yếu tố đầu tiên của suy luận xuất hiện trong hình học lớp 6, ngầm ẩn trong các bài tập liên quan đến việc tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc và trong các câu hỏi vì sao. Trong khi chương trình hình học lớp 6 vẫn được xây dựng theo phương pháp ghi nhận, theo chúng tôi, học sinh được ngầm ẩn yêu cầu dùng suy luận để giải quyết các câu hỏi vì sao và trong các bài tập yêu cầu tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc - không được dùng dụng cụ để đo, phải lí giải được vì sao có được kết quả đó.
Các phân tích cũng chỉ ra rằng dường như có một sự nhập nhằng trong SGK, khiến HS khó xác định tiêu chuẩn để một lời giải được xem là hợp thức. Chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng cho điều này.
Phần đầu của chương trình hình học lớp 7 (trước khi đưa vào khái niệm định lý và chứng minh định lý) chưa đặt ra yêu cầu chứng minh, chủ yếu học sinh được rèn luyện cách quan sát, dự đoán và tập suy luận có căn cứ. Có thể nói đây là một sự lựa chọn tốt cho việc thực hiện bước chuyển từ hình học ghi nhận sang hình học suy diễn, giúp không tạo ra một sự thay đổi đột ngột trong cách tiếp cận hình học của học sinh vì họ vẫn được sử dụng trực giác như đã làm trước đây để “dự đoán” các tính chất hình học, đồng thời cũng thể hiện các yếu tố phương pháp luận trong nghiên cứu hình học. Tuy nhiên, cũng còn một vài điểm chưa triệt để:
+ Hai trong tổng số sáu bài học có các pha: quan sát, dự đoán và suy luận. Tuy nhiên suy luận được thực hiện không nảy sinh từ chính nhu cầu của học sinh mà từ yêu cầu của SGK. Ở bài 1: “không đo, có thể suy ra được O 1=O3 hay
không?”. Ở bài 6: “Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song hãy suy ra a // b” ; “Vì sao” .
+ Các bài học còn lại hầu hết được tổ chức theo tiến trình: quan sát, gấp giấy, đo vẽ trên một đối tượng cụ thể - nêu tính chất. Nhiều bài tập cũng yêu cầu học sinh quan sát hình vẽ hoặc gấp giấy, từ đó nêu lên các kết luận hình học.
+ Không có tình huống nào cho thấy từ việc quan sát hình vẽ hay đo đạc có thể dẫn đến dự đoán sai
Theo chúng tôi, những điều này gây ra một số ảnh hưởng đến việc học của học sinh ở đầu lớp 7:
+ Học sinh thực hiện các suy luận hình học theo yêu cầu của SGK mà không hiểu được vì sao phải suy luận.
+ Họ cho rằng mọi quan sát trực quan hay đo đạc trên hình vẽ đều có thể phát biểu thành các tính chất hình học.
Giai đoạn 2: tính từ thời điểm đưa vào khái niệm định lý và chứng minh định lý đến hết chương trình hình học lớp 7
Hình học được giảng dạy trong giai đoạn này mang các đặc điểm của một khoa học suy diễn. Các tính chất đều được chứng minh một cách chặt chẽ. Hoạt động thực nghiệm có thể có hoặc không song hầu hết đều không thể hiện được tính bấp bênh của phỏng đoán (ngoại trừ bài tổng ba góc của một tam giác). Tất cả các bài tập đều hướng đến việc giúp học sinh biết vận dụng các tính chất hình học đã biết để chứng minh một khẳng định hình học và biết cách trình bày một chứng minh. Điều này quy định ngầm ẩn một hợp đồng mới: tính đúng đắn của một phát biểu hình học chỉ có thể được khẳng định bằng suy luận toán học.
Từ những nghiên cứu ở trên, chúng tôi thấy rằng, ở cấp Trung học cơ sở, chứng minh có cơ chế của một công cụ hợp thức hóa trong một cộng đồng và lấy nghĩa của thuyết phục làm rõ. Do đó, cần thiết phải bổ sung các hoạt động giúp học sinh thấy được rằng mọi quan sát trực quan hay đo đạc trên hình vẽ chỉ giúp đưa ra các phỏng đoán. Phỏng đoán này phải khác nhau giữa các nhóm học sinh, phải thể hiện được tính ”bấp bênh”, từ đó làm nảy sinh ở học sinh nhu cầu suy luận để kiểm tra tính đúng đắn của nó. Chúng tôi sẽ thực hiện điều này trong phần cuối của luận văn.
CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM