2. Mối quan hệ thể chế với đối tượng suy luận và chứng minh trong chương trình và
2.2. Những yếu tố đầu tiên của hoạt động suy luận
Suy luận được yêu cầu lần đầu tiên trong §5, SGK HH6 T1: Tia(Trang 112)
SGK viết: Các câu hỏi:
“Hai tia chung gốc Ox và Oy tạo thành đường thẳng xy (h.26) được gọi là hai tia đối nhau”
...“Lấy điểm B khác A thuộc tia Ax. Tia Ax còn có tên là tia AB. Trên hình 29, tia Ax và tia AB là hai tia trùng nhau”
“a) Trên đường thẳng xy lấy hai điểm A và B. Tại sao hai tia Ax và By không phải là hai tia đối nhau”,
“ b) Trên hình 30, hai tia Ox và Ax có trùng nhau không? Vì sao?”
“ c)Tại sao hai tia chung gốc Ox và Oy không đối nhau”
Phân tích:
Suy luận để trả lời cho các câu hỏi này dựa trên việc phân tích cấu trúc logic của một khái niệm.
SGV tr.150 viết “Hai tia đối nhau phải thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: chung gốc và cùng tạo thành một đường thẳng. Nếu vi phạm một trong hai yếu tố trên thì không phải là hai tia đối nhau”. Như vậy, câu trả lời cho câu a: hai tia Ax, By vi phạm điều kiện 1, do đó chúng không đối nhau. Câu trả lời cho câu c, hai tia Ox, Oy vi phạm điều kiện 2, do đó chúng không đối nhau.
· x A Hình 29 · B · y A · B x · x y O Hình 26 Hình 30 · · · x y O A B
Đối với nội dung hai tia trùng nhau, SGK chỉ trình bày một câu duy nhất “Trên hình 29, tia Ax và tia AB là hai tia trùng nhau”. Như vậy, không có căn cứ nào để giải thích cho câu b. Còn theo như SGV trang 150: “Cần nhấn mạnh ý: hai tia trùng nhau thì mọi điểm đều là điểm chung”. Do đó, hai tia Ox và Ax không trùng nhau được giải thích là vì O không phải điểm chung của chúng. Đây thực chất là một chứng minh bằng phản ví dụ.
Mục đích khi đưa ra những câu hỏi này, SGV viết: “Về việc giải bài tập, chỉ yêu cầu học sinh vẽ hình, quan sát, nhận xét rồi kết luận, tuy có chứa đựng ẩn tàng một số hoạt động logic. Chẳng hạn:
a) Hai tia đối nhau có hai tính chất. Nếu thiếu một trong hai tính chất thì chúng không đối nhau. Từ đó xây dựng các ví dụ để hiểu sâu sắc đặc trưng của hai tia đối nhau.
b) Tương tự, từ định nghĩa hai tia trùng nhau, ta phủ định để nhận biết hai tia không trùng nhau.
c) Các định nghĩa mô tả về tia, tương đương về mặt logic, được phát biểu dưới nhiều hình thức khác nhau...”
Qua đó, chúng tôi thấy các câu hỏi nói trên được đặt ra với mục đích đưa ra các trường hợp khác nhau giúp học sinh nhận biết được các tia đối nhau, trùng nhau trên hình vẽ, chứ chưa nhằm mục đích rèn luyện tư duy. SGV tr.150 viết: “SGK nêu hai ví dụ về hai tia không đồng thời thỏa mãn hai điều kiện trên. Ở hình 28 SGK: Hai tia Ax và By không chung gốc. Ở hình 30 SGK: Hai tia không tạo thành một đường thẳng” Những suy luận kiểu này, sau đó cũng không xuất hiện trong bất cứ bài học nào khác.
Các tổ chức toán học liên quan đến dối tượng suy luận và chứng minh
Kiểu nhiệm vụ T1: Tính độ dài một trong các đoạn thẳng xác định bởi các điểm thẳng hàng
Ví dụ, tr.120, SGK HH6 T1
Cho M là điểm nằm giữa A và B. Biết AM = 3cm, AB = 8cm. Tính MB
Giải: Vì M nằm giữa A và B nên AM + MB = AB
Thay AM = 3cm, AB = 8cm, ta có 3 + MB = 8 MB = 8 – 3 Vậy MB = 5cm
Kỹ thuật τ1:
- Viết hệ thức tương ứng của 3 điểm thẳng hàng trong bài toán
- Thay các đại lượng đã biết vào và giải phương trình để tính các đại lượng chưa biết.
Công nghệ θ1: Tính chất “Nếu M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB”
Nhận xét: Trong tất cả các bài tập thuộc T1, yếu tố độ dài được cho luôn là các số cụ thể và bé. Học sinh có thể vẽ hình, đo và cho kết quả của bài toán. Chính vì vậy họ không thấy được ý nghĩa của suy luận. Đồng thời, chúng tôi cũng đặt ra câu hỏi: “yếu tố nào trong bài toán cho biết cần phải suy luận mà không được vẽ hình và đo” Kiểu nhiệm vụ T2 : Xác định thứ tự của 3 điểm thẳng hàng và giải thích vì sao
Bài tập 51, tr.122, SGK HH6 T1:Trên một đường thẳng, hãy vẽ ba điểm V, A, T sao cho TA = 1cm, VA = 2cm, VT
= 3cm. Hỏi điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
Bài tập 59, tr.124, SGK HH6 T1: Trên tia Ox, cho ba
điểm M, N, P biết OM = 2, ON = 3, OP = 3,5. Hỏi trong ba điểm M, N, P điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì
sao?
Giải: Trên tia Ox:
OM < ON nên M nằm giữa O và N. Suy ra MN = ON – OM = 1cm
OM < OP nên M nằm giữa O và P. Suy ra MP = OP – OM = 1,5 cm Trên tia Mx: MN < MP nên điểm N nằm
giữa hai điểm M và P
BT26, tr.113, SGK HH6 T1: Vẽ tia AB, lấy điểm M thuộc tia AB. b) Hỏi điểm M nằm giữa hai điểm A và B hay
điểm B nằm giữa hai điểm A và M
SGV viết “Học sinh quan sát rồi trả lời, không yêu cầu nêu lí do”.
BT28, tr.113, SGK HH6 T1: Vẽ đường thẳng xy. Lấy SGV viết “Học sinh quan sát rồi trả
điểm O trên đường thẳng xy. Lấy điểm M thuộc tia Oy, lấy điểm N thuộc tia Ox. b) Trong ba điểm M, O, N thì
điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
lời, không yêu cầu nêu lí do”.
BT29, tr.113, SGK HH6 T1: Cho hai tia đối nhau AB và AC.
a) Gọi M là điểm thuộc tia AB. Trong ba điểm M, A, C thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
b) Gọi N là điểm thuộc tia AC. Trong ba điểm N, A, C thì
điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
SGV viết “Học sinh quan sát rồi trả lời, không yêu cầu nêu lí do”.
Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này có các kỹ thuật và công nghệ tương ứng như sau:
+ Kỹ thuật τ21: Tính toán và kiểm tra xem độ dài 3 đoạn thẳng (được lập từ 3 điểm cần xác định thứ tự) có thỏa mãn hệ thức nào không
Công nghệ θ21: Tính chất: “Nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B”.
+ Kỹ thuật τ22:
Tính toán và so sánh độ dài hai đoạn thẳng có chung một đầu mút, hai đầu mút còn lại cùng nằm trên tia có gốc là đầu mút chung.
Công nghệ θ22: Tính chất: “Trên tia Ox, OM = a, ON = b. Nếu 0 < a < b thì điểm M nằm giữa hai điểm O và N”
Nhận xét:Để đưa vào hai kĩ thuật τ22, SGK đã cho học sinh quan sát hình vẽ và rút ra tính chất. Khiếm khuyết là ở chỗ: các ví dụ và bài tập sau đó, SGK đều cho các yếu tố độ dài cụ thể và bé. Điều này khiến học sinh không thấy được ý nghĩa của suy luận, họ vẫn vẽ hình và nêu kết luận giống như họ đã làm trước đó, và không hiểu vì sao phải dùng tính chất trên để giải thích khi mà nhìn vào hình vẽ họ có thể kết luận được điểm nào nằm giữa hai điểm nào.
+ Kỹ thuật τ23: Sử dụng các tính chất:
“Nếu hai điểm B và C lần lượt nằm trên hai tia đối nhau Ax và Ay thì A nằm giữa B và C”
“Nếu điểm M thuộc tia AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B”
Công nghệ θ23: Định lý 14 của hình học Ơclid: “Một điểm O của đường thẳng a chia tất cả các điểm còn lại của đường thẳng đó ra làm hai lớp không rỗng sao cho bất cứ hai điểm nào thuộc cùng một lớp thì ở cùng phía với O và bất cứ hai điểm nào khác lớp thì ở khác phía đối với O”
Nhận xét: Hai tính chất “Nếu hai điểm B và C lần lượt nằm trên hai tia đối nhau Ax và Ay thì A nằm giữa B và C” và “Nếu điểm M thuộc tia AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B” không được phát biểu tường minh trong SGK. Trong các trường hợp này, SGK cho học sinh quan sát hình vẽ và trả lời. Nếu phải giải thích thì theo như SGV, giải thích như sau: “Điểm A là gốc chung của hai tia đối nhau Ax và Ay. Điểm B nằm trên tia Ax, điểm C nằm trên tia Ay nên điểmA nằm giữa hai điểm B và C”.Cách giải thích này không dựa trên một tính chất nào đã được phát biểu trước đó. Và đối với học sinh nó dường như chỉ là một sự diễn tả lại những điều quan sát được trên hình vẽ. Kiểu nhiệm vụ T3 :Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng
Ví dụ, tr.125, SGK HH6 T1
Đoạn thẳng AB có độ dài bằng 5cm. Hãy vẽ
trung điểm của đoạn thẳng ấy
Giải: Ta có MA + MB = AB ; MA = MB
Suy ra MA = MB = AB/2 = 2,5 cm. Cách 1: Trên AB, vẽ điểm M sao cho AM = 2,5 cm
Cách 2: gấp giấy. Vẽ đoạn thẳng AB trên giấy trong. Gấp giấy sao cho điểm B trùng vào điểm A. Nếp gấp cắt đoạn thẳng AB tại trung điểm M cần xác định”
+ Kỹ thuật τ31:
- Dùng tính chất trung điểm để tính khoảng cách từ trung điểm đến một trong hai đầu mút của đoạn thẳng
- Vẽ trung điểm M thỏa mãn độ dài vừa tính + Kỹ thuật τ32: Gấp giấy
Vẽ đoạn thẳng AB trên giấy trong. Gấp giấy sao cho điểm B trùng với điểm A. Nếp gấp cắt đoạn thẳng AB tại trung điểm M cần xác định
Công nghệ θ3: Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng
Kiểu nhiệm vụ T4 : Giải thích vì sao một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng
Bài tập 64, trang 126, SGK HH6 T1
Cho đoạn thẳng AB dài 6cm. Gọi C là trung điểm của AB. Lấy D và E là hai điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AD = BE = 2cm. Vì sao C là trung điểm của DE?
Giải:
Vì C là trung điểm AB nên CA = CB = AB/2 = 3cm
Trên tia AB, vì AD < AC nên D nằm giữa hai điểm A và C, suy ra DC = 1cm.
Trên tia BA, vì BE < BC nên E nằm giữa hai điểm B và C, suy ra CE = 1cm
Điểm C nằm giữa hai điểm D và E (do vẽ hình
chính xác nên quan sát thấy như vậy, không cần chứng minh ý này) và CD = CE = 1. Vậy C là
trung điểm của DE.
+ Kỹ thuật τ41:
- Nêu lý do vì sao điểm cần chứng minh là trung điểm nằm giữa hai điểm còn lại
- Tính và so sánh khoảng cách từ điểm đó đến hai đầu mút của đoạn thẳng
Công nghệ θ42: Các tính chất liên quan đến điểm nằm giữa hai điểm, định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng.
+ Kỹ thuật τ42:
- Tính khoảng cách từ điểm cần chứng minh là trung điểm đến hai đầu mút của đoạn thẳng. So sánh độ dài hai đoạn thẳng đó với nhau và với một nửa độ dài đoạn thẳng.
Công nghệ θ42: Các tính chất liên quan đến điểm nằm giữa hai điểm, tính chất: “M là trung điểm của AB
2
AB MA MB
⇔ = = ”
Kiểu nhiệm vụ T5: Tính số đo góc
Bài tập 18, 19, 20, tr.82, SGK HH6 T2:
Hình 25 cho biết tia OA nằm giữa hai tia OB và
OC, 0 0
45 , 32
BOA= AOC= . Tính BOC
0 0 0
45 32 . 77
BOA AOC BOC
BOC Suy ra BOC
+ =
+ = =
.
. . . .
Hình 26 cho biết hai góc kề bù xOy và yOy’,
0
120 .
xOy= Tính yOy'
Hình 27 cho biết tia OI nằm giữa hai tia OA và
OB, 0 1
60
4 ;
AOB= BOI = AOB. Tính BOI AOI ,
Hình 25 Hình 26 Hình 27 0 0 0 0 ' 180 120 ' 180 . ' 60 xOy yOy
yOy Suy ra yOy
+ = + = = 0 0 0 0 1 15 4 60 15 45 BOI AOB
AOI IOB AOB
AOI AOB IOB
=
=
+ =
= − = − =
Bài tập 23, tr.83, SGK HH6 T2:
Hình 31 cho biết hai tia AM và AN đối nhau,
0 0
58
33 ;
MAP= NAQ= , tia AQ nằm giữa hai tia AN và AP. Hãy tính số đo x của PAQ.
Hình 31
Hai tia AM, AN đối nhau nên 0
180
MAN=
Hai góc MAP và NAP kề bù nên
0 0 0
180 33 147
NAP= − =
Vì tia AQ nằm giữa hai tia AN và AP nên
0 0 0
147 58 89
x=PAQ= − =
Bài tập 27, tr.85, SGK HH6 T2:
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, vẽ
hai tia OB, OC sao cho 0 0
145 ; 55 BOA= COA= . Tính số đo góc BOC. 0 0 0 145 55 90 BOC= − = Bài tập 29, tr.85, SGK HH6 T2:
Gọi Ot và Ot’ là hai tia nằm trên cùng một mặt phẳng bờ là đường thẳng xy đi qua O. Biết
0 0
30 ; ' 60
xOt= yOt = . Tính số đo các góc yOt, tOt’.
0 0 0
180 30 150
yOt= − = (vì hai góc xOt và yOt kề bù) 0 0 0 ' 150 60 90 tOt = − = (vì 0 0 ' (60 150 )
yOt < yOt < nên tia Ot’ nằm giữa hai tia Ot và Oy.
Bài tập 33, tr.87, SGK HH6 T2:
Vẽ hai góc kề bù xOy, yOx’, biết góc xOy bằng 1300
. Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy. Tính góc x’Ot.
0 0 0 ' 180 130 50 x Oy= − = (tính chất hai góc kề bù) O C. A. B. O x y’ y 1200 O A. I. B. 600 M . A N . 330 Q . P . 580
O z n y m Lại có: 0 0 130 65 2 xOt=tOy= = (Vì Ot là tia phân giác của góc xOy)
Vậy 0 0 0 0 ' 180 180 65 115 x Ot= −xOt= − = ( Có thể suy ra 0 0 0 ' ' 50 65 115 x Ot=x Oy tOy+ = + = .
Không yêu cầu chứng minh tia Oy nằm giữa
hai tia Ox’ và Ot)
Bài tập 37, tr.87, SGK HH6 T2:
Cho hai tia Oy, Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox. Biết
0 0
30 ; 120
xOy= xOz= . a) Tính số đo góc yOz
b) Vẽ tia phân giác Om của góc xOy, tia phân giác On của góc xOz. Tính số đo góc mOn.
a) 0
90
yOz=xOz−xOy=
b) 0 0 30 15 2 xOm=mOy= = 0 0 120 60 2 xOn=nOz= = 0 45
mOn=xOn−xOm=
Chú ý: Chỉ yêu cầu học sinh giải thích vì sao một tia nằm giữa hai tia còn lại trong những trường hợp đơn giản như ở bài 29, 30.
Bài tập 35, tr.87, SGK HH6 T2:
Vẽ góc bẹt xOy. Vẽ tia phân giác Om của góc đó. Vẽ tia phân giác Oa của góc xOm. Vẽ tia phân giác Ob của góc mOy. Tính số đo góc aOb.
SGV chỉ ghi kết quả 0
90
aOb=
Kỹ thuật τ5:
- Viết hệ thức liên hệ giữa các góc
- Thay các đại lượng đã biết vào và giải phương trình để tính các đại lượng chưa biết.
Công nghệ θ5: - Định nghĩa hai góc kề nhau, phụ nhau, bù nhau, kề bù
- Tính chất “Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì xOy+yOz=xOz và ngược lại ” x O x x' y t
- Định nghĩa và tính chất của tia phân giác của góc
Nhận xét: Trong tất cả các bài tập thuộc T5, số đo các góc luôn được cho là các số