D K= M thì PAC PBC
2.2.2Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
* Một số gợi ý để chứng minh hai góc bằng nhau - Góc tạo bởi hai đường thẳng bằng 90 .0
- Tính chất của hai đường phân giác của góc kề bù.
- Định nghĩa, tính chất của đường cao, đường trung trực, đường phân giác trong tam giác.
- Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
- Tính chất của tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, hình thoi, hình vuông.
- Định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông.
- Tính chất của góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì nó vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
- Tính chất một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.
- Tính chất của đường tròn đi qua trung điểm một dây cung hoặc đi qua điểm chính giữa của một cung.
- Tính chất hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm ở ngoài đường tròn thì đường thẳng đi qua điểm đó và tâm đường tròn vuông góc với dây cung nối hai tiếp điểm.
- Tính chất một tam giác có trung tuyến thuộc một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó vuông.
Bài toán 1: Cho đường tròn tâm O đường kính CD=2R. Cx và Dy là các tiếp tuyến của đường tròn. Lấy một điểm E trên đường tròn và một điểm M trên đường kính CD. Một đường thẳng vuông góc với EM, cắt Cx và Dy tại A và B. Chứng minh rằng ·AMB=900.
Tìm tòi lời giải: Để chứng minh ·AMB=900 ta đi chứng minh ∆MAB: ∆ECD (g- g). Và để ý rằng các tứ giác AEMC, EBDM nội tiếp đường tròn.
Lời giải: Theo giả thiết ta có hai tứ giác nội tiếp AEMC và EBDM. Do đó
· · ¼ · · ¼ 1 ( d ) 2 1 ( d ) 2 EAM ECM s EM MAB ECD EBM EDM s EM = = ⇒ ∆ ∆ = = : .
Do tam giác ECD vuông tại E nên tam giác MAB vuông tại M hay ·AMB=900.
x y B A C D E M
Khai thác bài toán
Nhận xét 1: Ta có thể phát biểu bài toán theo cách khác để được bài toán mới.
Bài toán 1.1: Cho hình thang vuông ABDC (µ µ 0 90
C D= = ). Gọi E là giao điểm của AB với đường tròn đường kính CD . Từ E kẻ đường vuông góc với AB cắt CD tại M. Chứng minh rằng tam giác MAB là tam giác vuông. Tìm vị trí điểm E để tam giác MAB vuông cân.
Nhận xét 2: Bài toán góc đã chỉ ra tam giác MAB vuông tại M, mặt khác tam giác MAB có đường cao ME. Theo tính chất của đường cao trong tam gác
vuông ta có 2 2 2
1 1 1