D K= M thì PAC PBC
2.2.5. Chứng minh hai đường thẳng song song
* Một số gợi ý chứng minh hai đường thẳng song song
- Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song
- Xét vị trí các cặp góc tạo bởi hai đường thẳng định chứng minh song song với đường thẳng thứ ba (góc đồng vị, góc so le,…)
- Áp dụng các tính chất của hình bình hành.
- Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.
- Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác, của hình thang, hình bình hành.
- Áp dụng định lí Talet.
* Ví dụ minh họa
Bài toán: Cho tam giác ABN cân tại A. Gọi E là trung điểm của AN. Trên tia đối của tia NA lấy điểm C sao cho AN=EC. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của BC và AE. Chứng minh rằng PQ song song với đường phân giác của góc BAN.
Tìm tòi lời giải: Gọi AI là đường phân giác của góc BAN, khi đó I là trung điểm của BN. Như vậy có IP//AE, nếu chứng minh được AI//EP thì tứ giác AEPI là hình bình hành. Ngược lại nếu tứ giác AEPI là hình bình hành thì AI//EP. Từ đó ta có gợi ý đi chứng minh tứ giác AEPI là hình bình hành.
Lời giải: Gọi I là trung điểm của BN. Do tam giác ABN cân tại A nên AI là đường phân giác của góc BAN. Theo giả thiết P cũng là trung điểm của BC nên
1/ / / /
2
IP = NC. Mặt khác AN=EC nên AE=NC, mà Q là trung điểm của AE nên
1/ / / /
2
AQ = NC. Như vậy IP//=AQ hay tứ giác AQPI là hình bình hành tức AI//PQ.
Khai thác bài toán
Nhận xét: Dựa vào hình vẽ nhưng thay đổi cách phát biểu bài toán ta được đề toán phức tạp hơn bài toán ban đầu
Bài toán: Cho tam giác ABC có AB<AC, trên cạnh AC lấy E sao cho EC=AB. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, AE. Chứng minh rằng PQ song song với đường phân giác của góc BAC.
* Hệ thống bài tập
Bài tập 1: Chứng minh rằng:
a. Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của hai đường chéo và trung điểm cạnh còn lại.
b. Trung điểm hai cạnh bên và trung điểm hai đường chéo hình thang là 4 điểm nằm trên một đường thẳng song song với hai đáy.
Lời giải d F E N M A B D C
a. Giả sử đường thẳng d đi qua trung điểm M của AD và d song song với AB. Gọi N là giao điểm của d và AC, E là giao điểm của D và BC. Do MN song song với DC, theo định lí Talet ta có: AM AN AN 1 AN ND
MD = ND→ ND = → = hay N là trung điểm của AC. Tương tự ta cũng có: E, F là trung điểm của BD và BC. trung điểm của AC. Tương tự ta cũng có: E, F là trung điểm của BD và BC. b. Theo chứng minh trên 4 điểm M, N E, F thuộc d và d song song với AB, DC.
Bài tập 2: Gọi AD, BE và CF là ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Vẽ tia Fx//BE và tia Ey//BF. Hai tia Fx và Ey cắt nhau tại G. Chứng minh rằng AD song song với CG.
Lời giải: Rõ ràng tia Ey nằm trên đường ED. Theo giả thiết BF//EG, FG//BE nên tứ giác BEGF là hình bình hành. Do đó EG=BF=1
2AB, mà ED=1
2AB nên E là trung điểm của DG.
Theo giả thiết E cũng là trung điểm của AC. Suy ra tứ giác ADCG là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) hay AD//GC.
Bài tập 3: Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F, G, H thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho EG không song song với AD. Cho biết diện tích tứ giác EFGH bằng nửa diện tích hình bình hành. Chứng minh rằng HF song song với CD.
Lời giải: Trước hết ta đi chứng minh bài toán ngược tức nếu HF//CD thì
EF 1 1 2 GH ABCD S = S . Thật vậy, ta có EF EF FG 1 2 1 2 1 1 1 1 . . .( ) . 2 2 2 2 1 . ( ) 2 1 2 GH H H ABCD S S S FH h FH h FH h h FH h CD h Do CD FH S = + = + = + = = = =
Trở lại bài toán ban đầu, ta đi chứng minh bằng phương pháp phản chứng, tức ta giả sử FH không song song với CD.
Từ H hẻ đường thẳng song song với CD cắt BC tại F', theo chứng minh trên ta có EF'