Để chứng minh các hình bằng nhau, ta thường quy về chứng minh các đoạn thẳng, các góc bằng nhau.
2.2.1.1. Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau
- Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba - Hai đoạn thẳng có cùng số đo
- Là hai cạnh tương ứng của tam giác.
- Hai đoạn thẳng bằng nhau được suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giác đều, tam giác đều, tam giác vuông,…
- Hai đoạn thẳng bằng nhau được suy ra từ tính chất của thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông,…
- Tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang. - Tính chất của các tỉ số bằng nhau
- Tính chất của dây cung, cung bằng nhau trong đường tròn.
- Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa trung tuyến của tam giác, định nghĩa phân giác của một góc.
- Tính chất của các phép dời hình: Tịnh tiến, quay, đối xứng tâm, đối xứng trục.
* Ví dụ minh họa
Bài toán: Trong tam giác ABC lấy điểm P sao cho·PAC PBC=· . Từ điểm P dựng
PM ⊥BC, PK ⊥CA. Gọi D là trung điểm của AB, chứng minh rằng DK =DM.
Tìm tòi lời giải: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta đi chứng minh hai tam giác bằng nhau. Mục đích ta phải vẽ thêm hình phụ để có hai tam giác lần lượt nhân DK, DM làm cạnh và chúng bằng nhau. Để ý rằng D là trung điểm của AB, muốn áp dụng triệt để tính chất này lấy I, J lần lượt là trung điểm của AP, BP. Kết hợp với tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông dự đoán ∆IDK = ∆JMD.
Lời giải : Gọi I,J là trung điểm của AP, BP. Dễ thấy tứ giác DIPJ là hình bình hành. Ta có 1
2
DI = BP, 1
2
J I D K M A B C P Mà 1 2 MJ = BP, 1 2
IK = AP (theo tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông). Do đó DI=MJ, IK=DJ (1) Mặt khác · · · · · · · · · · 2 2
DIK DIP PIK DIP PACDJM DJP PJM DJP PBC