Sau khi giải xong bài toán, chúng ta cần nhìn lại bài toán và lời giải. Đầu tiên phải kiển tra lại kết quả và toàn bộ quá trình giải toán. Việc kiểm tra lại lời giải sẽ giúp ta sửa chữa được những sai sót đáng tiếc xảy ra. Khi giải một bài toán, hầu hết sinh viên chỉ dừng đến đây. Nhưng đối với một số ít những sinh viên giỏi, yêu thích toán hình, các em còn đi tìm lời giải khác cho bài toán, đề xuất những bài toán mới,…Hay gọi chung là các em đi khai thác bài toán.
Việc khai thác bài toán là một phần cần thiết và bổ ích mà trên thực tế ít người giải toán thực hiện nó. Ta có thể khai thác bài toán trên nhiều phương diện khác nhau như: Tìm những lời giải khác cho bài toán; áp dụng phương pháp giải của bài toán cho những bài toán khác; áp dụng kết quả của bài toán để giải quyết bài toán khác; đề xuất những bài toán mới nhờ tương tự, tổng quát hóa,…
Ví dụ: Cho tam giác ABC, gọi D, E là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho DB=CE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, DE, đường thẳng MN cắt AB tại P, AC tại Q. Chứng minh rằng MPB MQC· =· .
Lời giải: Gọi O là trung điểm của BE. Ta có NO//BP nên MPB MNO· =· (đồng vị)(1). Tương tự, có OM//AC nên MQC· =·NMO (so le ) (2)
Xét tam giác ONM có
12 2 1 2 ( ) ON BD OM CE OM ON BD CE gt = = ⇒ = =
hay tam giác ONM cân.
Suy ra ·NMO=·MNO (3)
Từ (1), (2), (3) ta được MPB MQC· =· .
Khai thác bài toán
Nhận xét 1: Nhìn lại việc chứng minh bài toán ta thấy, nếu từ MPB MQC· =· cùng với các giả thiết còn lại ta cũng suy ra được BD=CE. Từ đó ta nghĩ đến
việc thiết lập bài toán mới bằng cách giữ nguyên các giả thiết chỉ thay giả thiết BD=CE bởi giả thiết MPB MQC· =· , còn kết luận MPB MQC· =· bởi kết luận BD=CE.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, gọi D, E là hai điểm lần lượt thuộc các
cạnh AB, AC. Gọi M, N là trung điểm của BC, DE. Đường thẳng MN cắt AB, AC theo thứ tự P, Q. Chứng minh rằng nếu MPB MQC· =· thì BD=CE.
Nhận xét 2: Theo phần chứng minh trên ta có thể kết luận tam giác APQ
cân. Mặt khác ·BAC là góc ngoài của tam giác APQ nên · 1·
2
MPB= BAC. Từ đó ta
suy ra phân giác trong của góc A song song với MN. Ta có thêm bài toán mới.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC, gọi D, E là hai điểm lần lượt thuộc các
cạnh AB, AC sao cho BD=CE. Gọi M, N là trung điểm của BC, DE. Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc BAC· song song với MN.
Nhận xét 3: Dựa vào hình vẽ ta có thể phát biểu bài toán theo cách khác
để được bài toán mới.
Bài toán 3: Cho tứ giác lồi BDEC có BD=CE. Gọi A là giao của BD với
CE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, DE. Đường thẳng MN cắt BD, CE theo thứ tự P, Q. Gọi A là giao của BD với CE. Chứng minh tam giác APQ cân.
Bài toán 4: Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm B, D; trên tia Oy lấy
hai điểm C, E thỏa mãn D nằm giữa O và D; E nằm giữa O và C, BD=CE. Gọi M, N là trung diểm của BC và CE. Đường thẳng MN cắt BD tại P, cắt Oy tại CE. Chứng minh rằng tam giác OPQ cân. Với điều kiện nào của góc xOy thì tam giác OPQ đều?