Ta đã biết phân phối Bernoulli μB,0 chính là phân phối Haar μHaar. Nhƣng phân phối μHaar không phải là một độ đo trên Zp. Vì thế không phải mọi phân phối Bernoulli nào cũng là độ đo. Có một phƣơng pháp chuẩn, gọi là sự chính quy hóa (regularizations) để đƣa phân phối Bernoulli trở thành độ đo.
Chúng ta đƣa ra một số kí hiệu đƣợc dùng trong mục này: Với α Zp ta kí hiệu { α }N là số nguyên thỏa
3.3.1. Định nghĩa.
Giải sử α ≠ 1 là một số nguyên bất kỳ không chia hết cho p. Ta định nghĩa ánh xạ μB,k,a (viết tắt là μk,a) nhƣ sau
3.3.2. Nhận xét.
Ta đã biết μBk là một phân phối trên Zp nên μk,a cũng là một phân phối trên Zp. Hơn thế nữa, ta sẽ chứng minh μk,a là một độ đo. Trƣớc tiên ta xét một vài trƣờng hợp cụ thể.
• Với k=0 ta có
• Với k=1 ta có
Từ đó, ta có thể chứng minh trực tiếp μ1, α là một độ đo trên Zp. 3.3.3. Mệnh đề.
với mọi tập mở compact U ⊂ Zp . Chứng minh.
Theo nhận xét 3.3.2, ta có
trong đó
do đó
Mặt khác, với mọi tập mở compact U ⊂ Zp đều là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii, U = ∪ Ii .Từ đó suy ra
Từ mệnh đề 3.3.3 ta thấy μ1, α là một độ đo trên Zp. Độ đo μ1, α đóng vai trò nhƣ "dx" trong tích phân trên trƣờng số thực. Tiếp theo chúng ta đƣa ra mối quan hệ giữa μ1, α và μk, α đƣợc thể hiện trong định lý 3.3.4 sau đây. Để dễ hình dung cách chứng minh định lý chúng ta xét một thí dụ cụ thể, giả sử chúng ta cần tính tích phân ∫ ( √ ) trong trƣờng số thực R. Phƣơng pháp đơn giản là đổi biến số x ⟼ xk để thu đƣợc tích phân đơn giản hơn ∫ , trong đó
Thực ra, chúng ta có thể hiểu d(xk) nhƣ là "độ đo" μk trên đƣờng thẳng thực đƣợc định nghĩa bởi μk ([a,b]) = bk - ak . Khi đó, μ1 là khái niệm độ dài thông thƣờng.
Vì vậy, trong tổng Riemann trong giới hạn khi tất cả các Ii trở nên nhỏ chúng ta có thể thay μk(Ii) bởi kxk-1μ1( Ii)và ta nhận đƣợc
Thực sƣ, việc chứng minh
là dùng khai triển nhị thức (a + h)k trong đó h=b-a cụ thể là (a + h)k=ak +khak-1+...
tƣơng tự trƣờng hợp số p-adic, khi chúng ta chỉ ra rằng μk,α(I) ~ kak-1, nếu I là một khoảng nhỏ chứa a, chúng ta cũng dùng khai triển nhị thức. Vì vậy, định lý 3.3.4 đƣợc hiểu tƣơng tự với định lý mà (d/ dx) (xk) = kxk-1 từ tính toán trên trƣờng số thực. cần lƣu ý rằng khi chia dk hai vế của đồng dƣ thức trong định lý 3.3.4 chúng ta phải thay thế pN bởi
, trong đó ordpdk là một hằng số mà không có ý nghĩa khi N đủ lớn. 3.3.4. Định lý.
Giả sử dk là mẫu số chung nhỏ nhất của các hệ số của đa thức Bernoulli Bk(x). Khi đó,
(mod pN) trong đó hai vế của đồng dư thức nằm trong Zp.
Chứng minh.
Theo mệnh đề 2.4.3, ta có
Lƣu ý rằng: αa ≡ { αa }( mod pN ) và {αa }N pN = αa pN - [ ] nên ta có đồng nhất thức sau
Mệnh đề sau là một hệ quả trực tiếp của định lý. Mệnh đề khẳng định μk,a là độ đo trên Zp.
3.3.5. Mệnh đề.
Phân phối μk,a là một độ đo với k {1,2,3,...} và α Z, α ≠ 1, α ∉ pZ. Chứng minh.
Thật vậy, theo định lý 3.3.4 ta có phƣơng trình đồng dƣ sau
Điều này có nghĩa là
do đó hay Vì và dk cố định nên bị chặn.
Sau đây là một ví dụ cụ thể về tích phân ứng với độ đo Bernoulli. 3.3.6.Ví dụ. 1. Nếu p > 2,f(x) = 1 x và α = 1 + p thì (mod p). 2. Nếu p = 2, a = 5 và f(x) = 1 x thì (mod 4). Chứng minh. Theo nhận xét 3.3.2, ta có 1. Nếu p > 2, α = 1 + p thì
Với mọi x Z*p giả sử khai triển p -adic của x có dạng x = a0 + a1p +... + aNpN + ...
Do x Z*p nên a0 ≠ 0. Khi đó, đặt g(x) = 1
suy ra
Ta đã biết với mọi tập mở compact U trong Zp* , ta luôn có
do đó
điều này có nghĩa là
Mặt khác, ta viết Zp* dƣới dạng và nếu x Zp* thì tồn tại a
{1,2,..., p-1} sao cho x a +(p) hay x ≡ a (mod p), do đó g(x) = 1 a .
Vậy ta có thể viết hàm g dƣới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trƣng
Từ đó ta tính đƣợc tích phân cụ thể là
x = a0 + a12 + a222 + ... Đặt do suy ra Tƣơng tự nhƣ trong (1), ta cũng có Ta viết Z*2 dƣới dạng: và với x Z*2 , ta luôn có x ≡ a (mod 22 ) suy ra Khi đó, ta có 3.3.7. Mệnh đề.
Giả sử f: Zp → Zp là hàm số xác định bởi f(x) = xk-1, trong đó k là một số nguyên dương cố định và giả sử X là tập mở compact của Zp. Khi đó,
Chứng minh.
Từ định lý 3.3.4, ta có
do đó
suy ra
Do đó, theo định nghĩa tích phân ta nhận đƣợc
Nếu ta chọn / là hàm xk'-1 thỏa (mod (p -1)pN) thì ta có (mod pN)
Theo hệ quả 3.1.10, ta đƣợc
Từ đó, ta có thể kết luận rằng: bất kỳ s0 cố định,s0 {0,1,2,.., p-2} và nếu ta đặt
thì ta có thể mở rộng hàm của k đƣợc cho bởi tới một hàm liên tục của số nguyên p-adic
Vậy
Nếu thay vào biểu thức thì ta có mối quan hệ
giữa tích phân . Tứ đó ta có công thức sau
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
[1]. Đặng Đình Áng (1997), Lý thuyết tích phân, NXBGD. [2]. Nguyễn Xuân Liêm (1994), Độ đo và tích phân, NXBGD.
Tiếng Anh
[3]. A. J. Baker (2003), An Introduction to p-adic Numbers andp - adỉc Analysis.
[4]. Z. I. Borevich and I. R. Shafarevich (1966), Number Theory, Academic Press.
[5]. Neal Koblitz (1984), p - adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta - Functions, Springer. [6]. Neaỉ Koblitz (1980), p-adic Anaỉỵsis: a Short Course on Recent Work, Cambridge
University Press.
[7]. Walter Rudin (1976), Frinciples of Mathematical Analysis, Me Graw - Hill Company. [8]. Manin Yu.I. (1973), Periods of cusp forms and p-adic 92 (1973) 349 - 401, In Russian.