Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của phân phối p- adic.
2.2.1. Định nghĩa.
Một phân phối p-adic trên X là ánh xạ cộng tính từ tập tất cả các tập mở compact trong X vào Qp. Nghĩa là, nếu U ⊂ X và U = ⋃ là hợp của các tập mở compact rời nhau: U1, U2,..., Un thì μ(U) = ∑ .
2.2.2. Mệnh đề.
Cho μ là một phân phối p-adic trên X và với mọi tập mở compact U trong X. Nếu ta đặt μ ( = μ (U) thì μ là một Qp - phiếm hàm tuyến tính từ Qp- không gian véctơ của các hàm hằng địa phƣơng trên X đến Qp . Ngƣợc lại, cho μ là một Qp -phiếm hàm tuyến tính từ Qp -không gian véctơ của các hàm hằng địa phƣơng trên X đến Qp và với mọi tập mở compact U trong X, nếu đặt μ (U) = μ( thì μ là một phân phối p-adic trên X.
Chứng minh.
• Giả sử μ là một phân phối p-adic trên X. Ta cần chứng minh:
X, A1 ∩ A2 = ∅ và với mọi α Qp thì
Thật vậy, ta đã biết μ ( ) = μ (A1) và μ ( ) = μ (A2) do đó
Chứng minh tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có: μ( ) = αμ( ).
Tổng quát: Nếu A1, A2, A3,..., Ak là các tập mở compact đôi một không giao nhau trong X thì
Do f và g là các hàm hằng địa phƣơng trên X nên ta có thể viết f, g dƣới dạng:
trong đó A1, A2,...,Am và B1, B2,...,Bn là các tập con mở compact trong X đôi một rời nhau
và Khi đó với α QP, ta có
Tiếp theo ta chứng minh μ (f + g) = μ(f) + μ(g). Ta có
do đó
và do tính chất cộng tính của μ, ta có
Lý luận tƣơng tự, ta cũng có
Vậy
• Ngƣợc lại, giả sử μ là một Qp -phiếm hàm tuyến tính từ Qp -không gian véctơ của các hàm hằng địa phƣơng trên X đến Qp và với mọi tập mở compact U trong X. Ta chứng minh μ là một phân phối trên X. Tức là, giả sử U ⊂ X và trong đó Ui là các tập con mở compact không giao nhau trong X.
Ta cần chứng minh
Hiển nhiên ta có do đó
Theo định nghĩa phân phối, để cho phân phối μ trên tập compact X ⊂ Zp ta cần phải cho giá trị μ (U) với mọi tập mở compact U ⊂ X. Tuy nhiên, thực tế ta chỉ cần biết giá trị μ( a+(pN)) là đủ. Cụ thể, ta có mệnh đề sau.
2.2.3. Mệnh đề.
Mọi ánh xạ μ từ tập các khoảng a +(pN) ⊂ X đến Qp thỏa
có thể thác triển một cách duy nhất đến một phân phối p-adic trên X.
nhau các khoảng Ii, U = ∪ Ii. Ta định nghĩa . Với định nghĩa này ta có thể kiểm tra μ (U) không phụ thuộc vào việc phân chia U thành các khoảng.
Thật vậy, giả sử U = ∪ Ii và U = ∪ .
Khi đó,
Lý luận tƣơng tự nhƣ trên, ta cũng có
Nếu Ii = a + (pN ) thì Iij =a’ +(pN) , trong đó N' là một số tự nhiên cố định N'> N và a’ ≡ a(mod pN
). Vì vậy, bằng việc áp dụng nhiều lần đẳng thức đƣợc cho trong mệnh đề, ta đƣợc
do đó
Mặt khác,
suy ra
Vậy
Để kết thúc chứng minh, ta cần phải chứng minh μ có tính chất cộng tính. Giả sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ui, chúng ta viết Ui là hợp rời nhau của các khoảng con Iij, nghĩa là và