Trong phần này, trƣớc tiên chúng tôi trình bày định nghĩa số Bernoulli Bk và đa thức Bernoulli Bk (x). Trên cơ sở đó chúng ta thấy đƣợc mối quan hệ giữa đa thức Bernoulli và số Bernoulli. Sau đó chúng tôi định nghĩa phân phối Bernoulli μB,k, từ đó tính đƣợc μB,k(Zp) và μB,k (Z*p) để làm cơ sở cho chƣơng sau.
2.4.1. Định nghĩa số Bernoulli.
Số Bernoulli thứ k, kí hiệu là Bk được định nghĩa bằng k! lần hệ số thứ k trong khai triển Taylor của hàm một biến
Một vài số Bernoulli Bk đầu tiên là:
B0=1, B1 = -1/2, B2=1/6, B3=0, B4= -1/30, B5=0, B6=1/4,... 2.4.2. Định nghĩa đa thức Bernoulli.
Đa thức Bernoulli Bk(x) bằng kỉ lần hệ số của tk
trong khai triển Taylor của hàm hai biến
Một vài đa thức Bernoulli đầu tiên là
Mối quan hệ giữa số Bernoulli Bk và đa thức Bernoulli Bk (x) đƣợc thể hiện trong mệnh đề dƣới đây.
2.4.3. Mệnh đề.
Cho Bk (x) là đa thức Bernoulli. Khi đó,
Chứng minh.
hệ số của tk trong biểu thức trên ở vế phải là
trong đó 0 ≤ i, j ≤ k
Do đó
Ta có
suy ra
So sánh hệ số của tk ở hai vế của đẳng thức trên ta đƣợc
Ta có đồng nhất thức
suy ra
Lấy vi phân hai vế biểu thức trên ta đƣợc
hay
do đó
So sánh hệ số của tk-1 ở hai vế của biểu thức trên ta đƣợc
Cố định một số nguyên dƣơng k. Ta định nghĩa ánh xạ μ B,K trên khoảng a + (pN) nhƣ sau
Khi đó, μ B,K đƣợc thác triển tới một phân phối trên Zp. Đó là nội dung của mệnh đề 2.4.4 dƣới đây.
2.4.4. Mệnh đề.
Ánh xạ μ B,K trên khoảng a + (pN) ⊂ Zp được thác triển tới một phân phối trên Zp .
Chứng minh.
Theo mệnh đề 2.2.3, ta chỉ cần chứng minh
Điều này tƣơng đƣơng với việc chứng minh
Nhân hai vế của đẳng thức cần chứng minh với p-N(k-1) và đặt bất đẳng α = a
pN+1 ,thức cần chứng minh tƣơng đƣơng với
Do đó k! lần hệ số của tk
trong biểu thức trên là
Đây là điều cần chứng minh. 2.4.5. Định nghĩa.
Phân phối μB,k trong mệnh đề 2.4.4 được gọi là phân phối Bernoulli thứ k.
Sau đây chúng tôi đƣa ra một vài phân phối Bernoulli μB,k đầu tiên cho chúng ta các phân phối đã biết:
2.4.6. Áp dụng tính μB,k (Zp) và μB,k (Z*p). Ta đã biết
với mọi khoảng a + (pN) ⊂ Zp Mặt khác, ta có do đó, và Để tính μB,k (Z*p) ta lƣu ý rằng Zp = pZp∪ Z*p, trong đó pZp∪ Z*p = ∅. Từ tính chất cộng tính của μ B,k, ta có suy ra
CHƢƠNG 3: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P-ADIC
Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo p-adic, từ đó chúng tôi định nghĩa tích phân cho hàm liên tục nhƣ là giới hạn của tổng Riemann p-adic. Nhƣ là một áp dụng chúng tôi tính các tích phân của các hàm cụ thể ứng với các độ đo cụ thể. Sau đó chúng tôi mở rộng khái niệm tích phân cho một số lớp các phân phối rộng hơn độ đo.
Cuối cùng, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo Bernoulli hiệu chỉnh hay gọi tắt là độ đo Bernoulli, từ đó chúng tôi xét một số tích phân ứng với độ đo này.
Trong chƣơng này, chúng tôi giả sử X là tập mở compact trong Qp nhƣ là Zp hoặc ZP* , một cách đơn giản giả sử X ⊂ Zp.