Trong mục này, chúng tôi trình bày một số phân phối p-adic thƣờng dùng nhƣ: Phân phối Haar, phân phối Dirac và phân phối Mazur.
2.3.1. Phân phối Haar μHaar.
Cho (a + (pN)) là một khoảng bất kỳ trong Zp. Ta định nghĩa ánh xạ μHaar nhƣ sau: μHaar = (a + (pN)) = 1
pN . Khi đó, μHaar đƣợc thác triển tới một phân phối trên ZP vì
Ánh xạ μHaar đƣợc gọi là phân phối Haar. 2.3.2. Phân phối Dirac μα .
Với a Zp cố định, ta định nghĩa ánh xạ μα trên tập mở compact U ⊂ Zp nhƣ sau:
Ta thấy μα có tính chất cộng tính, do đó μα là một phân phối và đƣợc gọi là phân phối Dirac.
2.3.3. Phân phối Mazur μMazur.
Cho (a + (pN)) là một khoảng bất kỳ trong Zp. Ta định nghĩa ánh xạ μMazur nhƣ sau:
Khi đó μMazur có tính chất cộng tính trong mệnh đề 2.2.3 vì
Vậy μMazur là một phân phối và dƣợc gọi là phân phối μMazur .
Sau đây chúng ta sẽ dùng mệnh đề 2.2.3 để khẳng định ánh xạ μ trong mệnh đề 2.3.4 dƣới đây lầ một phân phối trên Zp.
2.3.4. Mệnh đề.
nghĩa hàm μ trên khoảng a + (pN) như sau
trong các trường hợp còn lại. Khi đó, μ là một phân phối p-adic trên Zp.
Chứng minh.
Để chứng minh μ thác triển tới một phân phối p-adic trên Zp, theo mệnh đề 2.2.3 ta cần chỉ ra:
Xét hai khả năng sau:
Khả năng 1. Tồn tại ak ≠ 0 trong [N/2] hệ số đầu tiên trong khai triển p-adic của a ứng với p mũ lẻ. Theo dịnh nghĩa μ, ta có
do đó,
Khả năng 2. Trong khai triển p-adic của a các hệ số Ta xét hai trƣờng hợp sau.
• Trƣờng hợp 1. Xét N là số chẩn, giả sử N = 2M . Khi đó, khai triển p-adic của a có dạng:
Từ giả thiết của mệnh đề ta có: và
Do [N+1
2 ] = M và ta thấy trong khai triển p-adic của a + bp N
có M hệ số đầu tiên ứng với p mũ lẻ triệt tiêu, vì vậy theo định nghĩa μ ta có
do đó,
Vậy
• Trƣờng hợp 2. Xét N là số lẻ, giả sử N = 2M + 1. Khi đó, khai triển p-adic của a có dạng:
trong đó có M số ak đầu tiên triệt tiêu với k-lẻ. Do đó:
Ta tiếp tục tính Ta có và * Nếu a2M+l = 0 thì Vậy * Nếu a2M+1
của a + bpN bằng 0. Vậy
Với p- a2M+1 < b ≤ p-1, ta có a2M+1 + b > p. Giả sử a2M+1 + b= pq +r, trong đó 0 ≤ r < p. Nếu r = 0 thì a2M+1 + b chia hết cho p, suy ra a2M+1 + b =0 hoặc a2M+1 + b =p. Điều này vô lý , vì a2M+1 + b >p. Vậy hệ số của p2M+1 trong khai triển p-adic của a +bpN là r ≠ 0 với mọi b thỏa p -a2M+1 < b ≤ p-1.
Do đó
Vậy