Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm hàm hằng địa phƣơng trên không gian tô pô bất kỳ. Khái niệm hàm hằng địa phƣơng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết độ đo và tích phân trên trƣờng số p-adic.
2.1.1. Định nghĩa.
Cho X và Y là các không gian tôpô. Ánh xạ f: X → Y được gọi là hàm hằng địa phương nếu với mỗi x X thì tồn tại một lân cận U của x sao cho f(U) là một một điểm của Y.
Từ định nghĩa hàm hằng địa phƣơng chúng ta rút ra đƣợc nhận xét sau. 2.1.2. Nhận xét.
1. Nếu f là hàm hằng địa phƣơng thì f là hàm số liên tục. Điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa hàm hằng địa phƣơng.
2. Nếu Y là T1 không gian và f: R → Y là hàm hằng địa phƣơng thì f là hàm hằng trên R.
Thật vậy, lấy a f(R). Ta chứng minh f-1(a) là tập mở trong R.
Lấy x f-1 (a) suy ra f(x) = a. Do f là hàm hằng địa phƣơng nên tồn tại lân cận Ux của x sao cho f(Ux) = {a}, do đó Ux⊂ f-1 (a). Vậy f-1(a) là tập mở. Mặt khác, do Y là T1 không gian và f là hàm số liên tục nên f-1 (a) là tập đóng. Ta có ∅ =f-1 (a) ⊂ R suy ra f-1 (a) = R. Vậy f là hàm hằng trên R.
Từ nhận xét 2.1.2 ta thấy trên R không có hàm hằng địa phƣơng, nếu có thì nó là hàm hằng nhƣ chúng ta đã biết. Tuy nhiên trên trƣờng số P-adic Qp thì có rất nhiều thí dụ về hàm hằng địa phƣơng. Sau đây là một thí dụ.
2 1.3 Ví dụ.
Cho U là tập mở compact của Zp và f : Zp → Qp là hàm đặc trưng được định nghĩa bởi
Chứng minh.
Lấy x X nếu f(x) = 1 thì x U. Ta chọn Ux = U, khi đó f(Ux) ={1}.
Nếu f(x) = thì x X\U. Đặt Ux = X \U. Ta thấy Ux là một lân cận mở của x và f-1 (Ux) = {0}. Vậy f là hằng địa phƣơng.
Từ ví dụ 2.1.3 ta thấy hàm đặc trƣng của tập mở compact U ⊂ Zp là hàm hằng địa phƣong. Dựa vào các hàm đặc trƣng này, ta có thể mô tả tất cả các hàm hằng địa phƣơng trên Zp. Cụ thể ta có mệnh đề sau.
2.1.4. Mệnh đề.
Giả sử X là một tập mở compact của Qp. Khi đó f : X → Qp là hàm hằng địa phương nếu và chỉ nếu f là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở compact trong X.
Chứng minh.
• Chiều thuận, giả sử f là hàm hằng địa phƣơng. Khi đó, với mọi x X ta chọn Ux là một lân cận của x sao cho f(Ux) là tập chỉ gồm một điểm. Ta thấy X = ⋃ .Mặt khác, do X là tập compact nên ta có thể viết X dƣới dạng hợp hữu hạn của các Ux . Do đó f(X) là tập hữu hạn.
Giả sử f(X) = {a1, a2,..., an), trong đó ai Qp và ai ≠ aj nếu i ≠ j.
Đặt Ui = f-1(ai) với mọi i = ̅̅̅̅̅. Do f là hàm số liên tục nên Ui là tập mở compact với mọi i = ̅̅̅̅̅ và Ui ∩ Uj = ∅ nếu i ≠ j.
Ta cần chứng minh
Thật vậy, với mọi x X thì tồn tại duy nhất k {1,2,...,n} sao cho x Uk và x ∉ Ui với mọi i ≠ k.
Khi đó,
Vậy với mọi x X
Ngƣợc lại, giả sử f là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trƣng của các tập mở compact trong X ,
Với mọi x X, nếu x ∉ Ui, với mọi i {1, 2,..., n} thì
Chọn lân cận của x là , khi đó f(Ux) = {0}.
Nếu tồn tại i sao cho x Ui thì không mất tính tổng quát ta giả sử {1,2,..,n} = I ∩ J sao cho x Ui với i I và x ∉ Ui với i J. Do đó x ∉ ⋂ .
Đặt U’ = X \ ⋂ , khi đó U’ là tập mở. Chọn lân cận của x là Ux = U’ ∩ Ui với i I. Ta thấy
Vậy f là hàm hằng địa phƣơng.