3.2.1. Định nghĩa.
Một phân phối μ trên X được gọi là "boundedly increasing" nếu
3.2.2. Mệnh đề.
Giả sử μ là một phân phối "boundedly increasing" trên X và f là hàm từ X đến Qp thỏa điều kiện Lipshitz, tức là với mọi x,y X thì tồn tại A R sao cho
Khí đó, tổng Riemann
hội tụ đến một giới hạn trong Qp khi N → ∞ mà nó không phụ thuộc vào việc chọn điểm xa,N thuộc khoảng a+(pN).
Chứng minh.
Với mọi M >N chúng ta ƣớc lƣợng
trong đó ̅ ≡ a(mod pN ) và 0 ≤ ̅ < pN . Ta có
Do f thỏa điều kiện Lipshitz nên tồn tại A R sao cho
Mặt khác,
nên
Vậy
Điều này có nghĩa là tổng Riemann có duy nhất một giới hạn. Hơn thế nữa, giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn {xa,N}.
Thật vậy, lý luận tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có
Sau đây là một ví dụ về phân phối "boudedly increasing" và tích phân ứng với phân phối này.
3.2.3. Ví dụ.
Giả sử μ là phần phối trong mệnh đề 2.3.4. Khi đó, μ là phân phối "boudedly increasing" và nếu hàm f :Zp → Zp được cho bởi f(x) = x với mọi x Zp thì
Chứng minh.
• Giả sử khai triển p-adic của a có dạng a = a0 + a1p +... + akpk +... Để chứng minh
ta chỉ cần xét trƣờng hợp trong khai triển p-adic của a có [N/2] hệ số đầu tiên ứng với p mũ lẻ triệt tiêu. Khi đó, với N = 2M hoặc N = 2M +1 ta luôn có
nghĩa là,
Vậy μ là phân phối "boudedly increasing".
• Ta chỉ cần xét trƣờng hợp N chẩn, N = 2M và khai triển p-adic của a mà trong [N/2] hệ số đầu tiên ứng với p mũ lẻ có ít nhất một số khác 0. Theo định nghĩa tích phân, ta có
3.2.4. Định nghĩa hàm kiểu r.
3.2.5. Nhận xét.
Nếu f là hàm kiểu r thì f là hàm liên tục đều và nếu r ≥ 1 thì f thỏa điều kiện Lipshitz. Thật vậy, với mọi ɛ > 0 và mọi x,y Zp . Do f là hàm kiểu r nên tồn tại A R sao cho
Nếu chúng ta chọn thì với mọi x,y Zp :|x -y|p < δ ta luôn có
Vậy f là hàm liên tục đều.
Bây giờ, ta chứng minh nếu r ≥ 1 thì f thỏa điều kiện Lipshitz. Do f là hàm kiểu r nên
Mặt khác, vì x,y Zp suy ra | x -y|p ≤ 1 do đó với r ≥ 1 ta luôn có
Vậy f thỏa điều kiện Lipshitz. 3.2.6. Mệnh đề.
Giả sử μ là một phân phối trên Zp thỏa với s là số thực dƣơng thì
và f là hàm kiểu r (r ≥ s) Khi đó, tổng Riemann
hội tụ đến một giới hạn trong Qp khi N → ∞ mà nó không phụ thuộc vào việc chọn điểm xa,N thuộc khoảng a + (pN).
Chứng minh.
Khi đó, với mọi M > N, dùng tính chất cộng tính của μ ta viết lại tổng Riemann { }(f) nhƣ sau:
trong đó
Do đó, ta có
Mặt khác, do f là hàm kiểu r nên tồn tại A R sao cho nhƣng vì
hay
Do đó
Vậy với mọi số thực dƣơng s < r, ta luôn có
Từ đó, ta đƣợc
Vậy tổng Riemann có duy nhất một giới hạn. Hơn thế nữa, giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn {xa,N}. Thật vậy, bằng cách lý luận tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có