song
Trong Chương 1, chúng ta đã giới thiệu thuật toán chiếu - điểm gần kề đề xuất trong [64] để giải phương trình A(x) = 0 với toán tử đơn điệu A. Thuật toán đó là kết hợp luân phiên giữa phép lặp điểm gần kề
A(yn) +µn(yn−xn) = 0 và phép chiếu trực giao lên hai nửa không gian xác định bởi các siêu phẳng tách nghiệm gần đúng xn với tập nghiệm. Trong chương này, chúng ta sẽ phát triển phương pháp trên cho hệN ≥ 1phương trình toán tử đơn điệu (3.1). Ý tưởng chính ở đây là lựa chọn 1trong số N
nửa không gian tương ứng với N phương trình của hệ (3.1) để thực hiện phép chiếu, sao cho
• Việc giải N phương trình của hệ (3.1) bằng phương pháp điểm gần kề là độc lập lẫn nhau nên có thể thực hiện đồng thời trên N bộ xử lý.
• Khối lượng tính toán bổ sung để chọn nửa không gian chiếu là không đáng kể.
• Sử dụng được kết quả tính toán có trong [64].
Vì đảm bảo được các yếu tố trên nên hầu hết kỹ thuật còn lại của thuật toán chiếu - điểm gần kề song song PPPXPM trong chương này tương tự với phương pháp đề xuất trong [64]. Tuy nhiên để tiện theo dõi, chúng tôi sẽ trình bày một cách đầy đủ các kỹ thuật xây dựng và chứng minh cho phương pháp PPPXPM giải hệ phương trình (3.1).
Ký hiệu tập nghiệm của hệ (3.1) là S := {z ∈ H : Ai(z) = 0, i = 1, N} và giả sử việc giải hệ được thực hiện trên N bộ xử lý song song, ta có thuật toán sau đây.
Thuật toán 3.1. Cho x0 ∈ H là xấp xỉ ban đầu bất kỳ, µ > 0 và σ ∈ [0,1).
• Giả thiết tại bước lặp thứ k ≥ 0, đã biết xk, ta tính (đồng thời trên N
bộ xử lý) nghiệm yki của các phương trình
Ai(yki) +µik(yki −xk) +eik = 0, i = 1, N , (3.3)
trong đó các tham số µik ∈ (0, µ), và sai số cho phép thỏa ước lượng
keikk ≤ σmaxkAi(yki)k, µikkxk−ykik .
• Xác định (đồng thời) các hình chiếu của xk lên các nửa không gian
Hki = z ∈ Hhz −yik, Ai(yki)i ≤ 0
rồi xác định chỉ số tối ưu jk (1 ≤jk ≤ N) theo nghĩa
kxk−PHjk k (xk)k = max i=1,N {kxk −PHi k(xk)k}. • Tính xk+1 = PHjk k ∩Wk(x0), (3.4) trong đó Wk = z ∈ Hhz −xk, x0 −xki ≤ 0 .
Để chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 3.1, chúng ta sử dụng lại một số kết quả trong [64].
Bổ đề 3.1 ( [64]). Cho A : H →H là một toán tử đơn điệu, x ∈ H, µ > 0,
σ ∈ [0,1) và giả thiết rằng y ∈ H thỏa mãn hệ thức
A(y) +µ(y −x) +e = 0,
với kek ≤ σmax{kA(y)k, µkx−yk}. Khi đó
hx−y, A(y)i ≥ σmax{µkx−yk2,kA(y)k2/µ} ≥ (1−σ)kA(y)kkx−yk.
(3.5)
Xét nửa không gian Hy := z ∈ Hhz−y, A(y)i ≤ 0 . Khi đó các kết luận sau là tương đương:
i) x ∈ Hy; ii) y = x; iii) A(y) = 0; iv)A(x) = 0.
Hơn nữa,
kPHy(x)−xk ≥ (1−σ)max{kx−yk,kA(y)k/µ}. (3.6) Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng các kỹ thuật trong [64] để chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 3.1.
Bổ đề 3.2. Nếu Thuật toán 3.1 kết thúc sau k+ 1 bước lặp, thì xk là một nghiệm của hệ (3.1).
Chứng minh. Nếu Thuật toán 3.1 kết thúc tại bước thứ k + 1, ta có
xk+1 = PHjk
k ∩Wk(x0) ≡xk.
Điều này kéo theo xk ∈ Hkjk, và do đó kxk −PHjk k
(xk)k = 0. Từ cách xác định jk, ta có kxk−PHi
k(xk)k= 0 với mọi i = 1, N. Áp dụng Bổ đề 3.1 cho từng phương trình Ai(yki) + µik(yki −xk) + eik = 0 tương ứng với x = xk,
y = yki, với mọi i = 1, N ta có
Do đó, kxk −ykik = 0 và kAi(yki)k = 0, hay Ai(yki) = 0 và yki ≡ xk với mọi
i = 1, N. Như vậy xk là một nghiệm của hệ (3.1).
Trong phần sau, chúng ta giả thiết Thuật toán 3.1 tạo ra dãy vô hạn
xk. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng với xấp xỉ thứ k là xk đã biết, ta có thể xác định xấp xỉ tiếp theo xk+1. Chọn xấp xỉ ban đầu x0 ∈ H, ta xét tập hợp
U(x0) ={x ∈ H ∀z ∈ S, hz−x, x0 −xi ≤ 0}. (3.7) như trong [64]. Rõ ràng, x0 ∈ U(x0).
Bổ đề 3.3. Giả sử tại bước thứ k của thuật toán ta có xk ∈ U(x0), lúc đó
i) S ⊂ (∩N
i=1Hki)∩Wk ⊂Hjk
k ∩Wk.
ii) xk+1 trong công thức (3.4) được xác định duy nhất và xk+1 ∈ U(x0).
iii) kxk+1 −x0k ≤ kPS(x0)−x0k với mọi k ∈ N, tức là dãy {xk} bị chặn.
Chứng minh. Từ tính đơn điệu của Ai, với z ∈ S bất kỳ ta có
hAi(yki), z −ynii = −hAi(yki)−Ai(z), yni −zi ≤ 0, i = 1, N . Cho nên z ∈ (∩N i=1Hki), và do đó ta có S ⊂ (∩N i=1Hki). Do xk ∈ U(x0), ta suy ra hz−xk, x0 −xki ≤ 0 ∀z ∈ S. Vì vậy, z ∈ Wk và S ⊂ Wk. Vậy, S ⊂ (∩N i=1Hki)∩ Wk ⊂ Hkjk ∩Wk, và giả thiết S 6= ∅ kéo theo Hkjk∩Wk 6= ∅. Hơn nữa hiển nhiên Hkjk∩Wk lồi đóng. Do đó xk+1 = PHjk
k ∩Wk(x0) được xác định duy nhất.
Do xk+1 là hình chiếu của x0 lên Hkjk ∩ Wk, từ (1.1), Bổ đề 1.1, ta có
hz−xk+1, x0−xk+1i ≤ 0với mọi z ∈ Hkjk∩Wk. Bao hàm thức S ⊂ Hkjk∩Wk
và bất đẳng thức cuối suy ra rằng hz−xk+1, x0−xk+1i ≤ 0 với mọi z ∈ S, vì vậy xk+1 ∈ U(x0).
Từ xk+1 = PHjk
k ∩Wk(x0), ta cũng có
kxk+1 −x0k ≤ kz −x0k
với mọi z ∈ Hkjk ∩Wk. Vì S ⊂ Hkjk ∩Wk, nên ∀z ∈ S, ta có kxk+1 −x0k ≤ kz −x0k, tức là, kxk+1 −x0k ≤ kPS(x0)−x0k. Từ đó suy ra tính bị chặn
Theo Bổ đề 3.3, xuất phát từ x0 ∈ U(x0), ta có xk ∈ U(x0) với mọi
k = 0,1,2, . . .
Bổ đề 3.4. Giả sử Thuật toán 3.1 đạt đến bước lặp thứ k + 1, ta có
kxk+1 −x0k2 ≥ kxk −x0k2 +kxk+1 −xkk2, (3.8)
kxk+1−xkk ≥ (1−σ)max
i=1,N
{kyki −xkk,kAi(yki)k/µik}. (3.9) Chứng minh. Từ định nghĩa Wk, ta suy ra xk = PWk(x0). Áp dụng (1.2), Bổ đề 1.1, cho C = Wk, x = xk+1 và y = x0, ta có
kPWk(xk+1)−PWk(x0)k2 ≤ kxk+1−x0k2−kxk+1−PWk(xk+1)− x0−PWk(x0)k2.
Hiển nhiên PWk(xk+1) = xk+1, do xk+1 ∈ Wk và PWk(x0) =xk, thay vào hệ thức trên ta được kxk+1 −xkk2 ≤ kxk+1−x0k2 − kxk −x0k2. Mặt khác, do xk+1 ∈ Hkjk, ta suy ra kxk−xk+1k ≥ kxk −PHjk k (xk)k ≥ max i=1,N kxk −PHi k(xk)k.
Với mỗi i = 1,2, . . . , N, áp dụng (3.6) ứng với Hy := Hki, A := Ai, x := x0,
µ:= µik và y := yki, ta có kxk −PHi k(xk)k ≥ (1−σ)max{kyik−xkk,kAi(yki)k/µik}. Vì vậy kxk+1 −xkk ≥ (1−σ)max i=1,N {kyki −xkk,kAi(yik)k/µik}.
Từ các tính chất trên ta có kết quả sau về sự hội tụ của Thuật toán 3.1. Định lý 3.1. Cho {xk} là dãy lặp vô hạn của Thuật toán 3.1, ta có
lim
Chứng minh. Áp dụng (3.8) liên tiếp, ta có kxk+1−x0k2 ≥ kxk −x0k2 +kxk+1−xkk2 ≥ k−1 X l=0 kxl+1−xlk2. (3.11) Từ kết luận (iii) của Bổ đề 3.3 ta có kxk+1−x0k ≤ kPS(x0)−x0k với mọi
k, vì vậy lim supk→∞kxk −x0k ≤ kPS(x0) − x0k. Do đó, cho k → ∞ ta thu được
∞
P
l=0
kxl+1 −xlk2 ≤ kPS(x0)−x0k2 < ∞. Hệ thức cuối kéo theo lim k→∞kxk+1−xkk = 0. Áp dụng (3.9) và sử dụng giả thiết µik ≤ µ, chúng ta cũng có lim k→∞kyki −xkk = 0, (3.12) lim k→∞kAi(yki)k = 0 (3.13) với mọi i = 1,2, . . . , N.
Giả sử {xkm} là một dãy con hội tụ yếu của dãy bị chặn {xk} trong không gian Hilbert H và xkm * x˜ khi m → ∞. Từ (3.12) ta suy ra
ykmi * x˜ khi m → ∞. Bởi tính đơn điệu của Ai, với mỗi i = 1,2, ..., N và
z ∈ H bất kỳ, ta có
0≤ hz −ykmi , Ai(z)−Ai(ykmi )i = hz −yikm, Ai(z)i − hz−ykmi , Ai(yikm)i.
Qua giới hạn khim → ∞, chú ý rằng yik
m * x˜và Ai(yki
m) →0, ta thu được
hz −x, A˜ i(z)i ≥ 0 ∀z ∈ H, i = 1,2, . . . , N.
Từ giả thiết Ai đơn điệu cực đại, theo Bổ đề Minty ta có Ai(˜x) = 0,
i = 1, N, tức x˜ là nghiệm của hệ (3.1): x˜∈ S.
Sử dụng hệ thức kxk −x0k ≤ kPS(x0)−x0k với mọi k, ta có
kxkm −PS(x0)k2 = kxkm −x0 −(PS(x0)−x0)k2
= kxkm −x0k2 +kPS(x0)−x0k2 −2hxkm −x0, PS(x0)−x0i ≤ 2kPS(x0)−x0k2 −2hxkm −x0, PS(x0)−x0i.
Do đó, lim m→∞supkxkm−PS(x0)k2 ≤ 2 kPS(x0)−x0k2 −2hx˜−x0, PS(x0)−x0i . (3.14) Áp dụng (1.1), Bổ đề 1.1, tương ứng với C := S, x = x0 và z := ˜x ∈ S, ta có hx0 −PS(x0),x˜−PS(x0)i = kx0 −PS(x0)k2 − hx˜−x0, PS(x0)−x0i ≤ 0.
Kết hợp bất đẳng thức này với (3.14), ta thu được lim
m→∞kxkm−PS(x0)k = 0 hay xkm → PS(x0) khi m → ∞. Hơn nữa, ta cũng có x˜ ≡ PS(x0). Vậy,
PS(x0) là điểm tụ yếu duy nhất của dãy {xk}. Rõ ràng, do dãy {xkm} là dãy con hội tụ yếu bất kỳ, nên mọi dãy con hội tụ yếu của {xk} đều hội tụ mạnh tới PS(x0), vì vậy xk → PS(x0) khi k → ∞.
Nhận xét 3.1. Vì Ai là đơn điệu, liên tục và µik > 0, nên mỗi bài toán thành phần (3.3) là đặt chỉnh, và do đó có nghiệm duy nhất yki. Hơn nữa, việc giải các phương trình đó là độc lập với nhau, cho nên ta có thể thực hiện đồng thời trên N bộ xử lý.
Nhận xét 3.2. Tại mỗi bước lặp thứ k, nếu xk ∈ Hki thì PHi
k(xk) =xk và khoảng cách kxk −PHi k(xk)k= 0. Ngược lại, ta có PHi k(xk) = xk− hAi(y i k), xk −ykii kAi(yki)k2 Ai(yki) và kxk−PHi k(xk)k = hAi(yki), xk−ykii kAi(yki)k .
Rõ ràng, giá tính toán cho việc tìm chỉ số tối ưu jk tại mỗi bước lặp k
trong Thuật toán 3.1 là không đáng kể.
Nhận xét 3.3. Việc tìm xấp xỉ tiếp theo xk+1 theo công thức (3.4) hoàn toàn tương tự như thuật toán chiếu - điểm gần kề trình bày trong [64]. Ta xét các trường hợp
• Nếu PHjk k (x0) ∈ Wk thì dễ thấy xk+1 = PHjk k ∩Wk(x0) =PHjk k (x0).
• Ngược lại, từ định nghĩa của Hkjk, Wk và công thức của phép chiếu, ta có xk+1 = x0 +λ1Ai(ykjk) +λ2(x0 −xk), trong đó λ1, λ2 là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
λ1kAi(yjkk )k2 +λ2hAi(ykjk), x0 −xki =− hAi(yjkk ), x0 −ykjki
λ1hAi(ykjk), x0 −xki+ λ2kx0 −xkk2 =− kx0 −xkk2.
(3.15)
Nhận xét 3.4. Phương trình (3.3) tương đương với
rikAi(yki) + (yki −xk) +rikeik = 0,
trong đó rki := 1
µik. Vì trong không gian Hilbert J
µ
Ai := (I + µAi)−1, nên ta có thể viết lại (3.3) như sau yik = Jrki
Ai(xk − rkieik). Ở đây eik là sai số mắc phải khi giải gần đúng phương trình rkiAi(yki) + (yki −xk) = 0 trong phương pháp điểm gần kề. Từ tính không giãn tương đối của Jrki
Ai, ta có kp−Jrki Ai(xk)k ≤ kp−xkk với mọi p ∈ S ⊂ F(Jrik Ai) - là tập điểm bất động của Jr i k Ai. Do đó Jr i k
Ai(xk) là "gần" tập nghiệm S hơn xk và nếu chọn điểm
zki nằm trên đoạn thẳng nối xk với Jrii k
(xk), và zki 6= xk, thì zki cũng "gần" tập nghiệm S hơn xk. Vì vậy, có thể căn cứ theo zki để xác định siêu phẳng chiếu. Trong [56], thay cho xác định yk như trong [64], các tác giả đã sử dụng công thức yk = αkxk + (1−αk)JAr(xk) (xét trong trường hợp không gian Hilbert), với 0 ≤ αk < 1. Dễ thấy ở đây yk nằm trên đoạn thẳng nối
xk với JAr(xk).
Phần tiếp theo trình bày các phương pháp song song tìm điểm bất động chung của họ N toán tử không giãn tương đối. Như đã nói phần đầu chương, phương pháp này có thể áp dụng để tìm nghiệm chung của hệ N