pháp hiệu chỉnh Chúng ta nhắc lại bài toán
và khái niệm đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard cho bài toán dạng F(x) =f: Tồn tại nghiệm xf ứng với f ∈ H; Nghiệm xf là duy nhất với mỗi f; xf
phụ thuộc liên tục vào f. Khi ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, bài toán được gọi là đặt không chỉnh.
Trong luận án này ta sẽ nghiên cứu các bài toán đặt không chỉnh do nghiệm không duy nhất và không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Giả sử thay cho F và f, ta chỉ biết các đại lượng gần đúng là Fh và fδ thỏa mãn
kFh(x)−F(x)k ≤ hg(kxk) ∀x ∈ Dom(F);
kfδ −fk ≤ δ,
trong đó δ, h > 0 là các hằng số; g : R+ → R+ là một hàm không âm, không giảm trên [0,+∞). Lúc đó, do tính không phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu, phương trình Fh(x) = fδ có thể vô nghiệm hoặc có nghiệm khác xa nghiệm bài toán ban đầu.
Như đã nói ở phần Mở đầu, ta có thể hiệu chỉnh bài toán trên bằng phương pháp Tikhonov, tức là thay (1.13) bằng một họ các bài toán cực tiểu hóa
kFh(x)−fδk2Y +αΩ(x) →minx (α > 0).
Thay cho bài toán tối ưu không ràng buộc trên, M. M. Lavrentiev đã đưa ra kỹ thuật hiệu chỉnh dựa vào giải phương trình xấp xỉ. Trong trường hợp
F tuyến tính, xác định không âm, thì phương trình xấp xỉ có dạng
F x−f +αx = 0 (α > 0).
F. Browder đã mở rộng phương pháp này cho trường hợp F là toán tử đơn điệu phi tuyến xác định trong không gian Banach. Phương trình xấp xỉ lúc này có dạng
F(x) +αM(x) = f,
với M là toán tử h−liên tục, d−đơn điệu với d(t) → +∞ khi t → +∞. Trong trường hợp không gian Hilbert, ta thường dùng phương trình xấp xỉ
F(x) +α(x−x0) = f, với x0 ∈ H là phần tử cố định và α > 0 là tham số hiệu chỉnh.
Phương pháp hiệu chỉnh trong không gian Hilbert như trên được gọi là hiệu chỉnh Lavrentiev. Trong trường hợp tổng quát hơn, F : X → X∗ với
X là không gian Banach, ta thường dùng M là toán tử đối ngẫu. Lúc đó phương pháp được gọi là hiệu chỉnh Tikhonov-Browder.
Trong luận án này, nếu không nói gì thêm, ta coi x0 = 0, đặt A(x) :=
F(x) −f và giả thiết phương trình A(x) = 0 có nghiệm, tức là tập S :=
{x ∈ H : A(x) = 0} 6= ∅, hơn nữa, 0 ∈/ S. Xét dãy tham số hiệu chỉnh
αn > 0, lúc đó phương trình hiệu chỉnh trở thành
A(x) +αnx = F(x)−f + αnx = 0. (1.14) Ta có kết quả sau (xem [1, 2, 4, 9, 79]).
Định lý 1.1. Giả sử F là toán tử đơn điệu, h−liên tục và Dom(F) =H. Lúc đó
i) Với mỗi αn > 0, phương trình (1.14) có nghiệm duy nhất x∗n.
ii) Nếu αn → 0 khi n →+∞, thì x∗n → x† := argminz∈Skzk.
iii) Với mọi n, m ∈ N, ta có các đánh giá sau
kx∗nk ≤ kx†k; (1.15)
kx∗n−x∗mk ≤ |αn −αm|
αn kx†k. (1.16)
Với giả thiết trong định lý trên, toán tử F là đơn điệu cực đại, do đó tập nghiệm S là lồi đóng và vì vậy tồn tại duy nhất phần tử x†, gọi là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất (MNS - minimum norm solution). Trong trường hợp chỉ biết các dữ liệu Fhn và fδn thỏa mãn
kFhn(x)−F(x)k ≤ hng(kxk) và kfδn −fk ≤ δn hn, δn > 0,
ta xét phương trình hiệu chỉnh
An(x) +αnx = Fhn(x)−fδn +αnx = 0. (1.17) Ta có kết quả sau (xem [4, 9, 79]).
i) Với mỗi αn > 0, phương trình (1.17) có nghiệm duy nhất x˜n.
ii) Nếu hn +δn
αn → 0 và αn → 0 khi n → +∞, thì dãy x˜n bị chặn đều và
˜
xn →x†.
Tiếp theo, chúng ta nêu một số kết quả về phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử dạng (1.11) Ai(x) = Fi(x) − fi = 0, i = 1, N. Trong [25], với giả thiết các toán tử Fi là c−1−ngược đơn điệu mạnh, các tác giả đã nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh
A(x) +αnx =
N
X
i=1
Fi(x)−fi+αnx = 0. (1.18) Định lý 1.2(xem [25]). Giả sử hệ(1.11)có nghiệm, Fi là toán tử c−1−ngược đơn điệu mạnh và Dom(Fi) =H. Lúc đó
i) Với mỗi αn > 0, phương trình (1.18) có nghiệm duy nhất x∗n.
ii) Nếu αn → 0 khi n →+∞, thì
x∗n →x† := argmin{kzk: z ∈ H;Fi(z)−fi = 0, i = 1, N}.
iii) Với mọi n, m ∈ N, ta có các đánh giá sau
kx∗nk ≤ kx†k;
kx∗n −x∗mk ≤ |αn−αm|
αn kx†k;
kAi(x∗n)k2 = kFi(xn∗)−fik2 ≤ 2cαnkx†k2. (1.19) Với giả thiết hệ (1.11) có nghiệm và Fi là ngược đơn điệu mạnh, theo Bổ đề 1.11, hệ (1.11) tương đương với phương trình (1.12). Do đó, áp dụng Định lý 1.1 và Bổ đề 1.11, ta sẽ thu được Định lý 1.2.
Các kết quả trên chỉ cho ta sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh x∗n về x†. Trong trường hợp tổng quát, sự hội tụ này có thể chậm tùy ý. Trong [9,79], các tác giả có đánh giá sau.
Bổ đề 1.16. Giả sử phương trình (1.13) có tập nghiệm S 6= ∅ và 0 ∈/ S, toán tử F là đơn điệu, h−liên tục. Gọi xα là nghiệm phương trình hiệu chỉnh F(x) −f +αx = 0 với tham số α > 0. Lúc đó tồn tại hằng số
C > 0 sao cho
kxα−x†k ≥ Cα.
Để xác định tốc độ hội tụ xα → x†, ta thường cần một số điều kiện bổ sung. Một dạng điều kiện như vậy được thiết lập dựa trên tính "trơn" của nghiệm, gọi là điều kiện nguồn (source condition).
Trước hết ta nhắc lại một số kết quả về phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev khi vế phải có nhiễu fδ và toán tử F khả vi theo Fréchet.
Bổ đề 1.17 (xem [69]). Giả sử x† là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của phương trình F(x) = f và toán tử F là đơn điệu, khả vi Fréchet trong hình cầu B(x†, r) với bán kính r = kx†k + δ/α. Khi đó phương trình hiệu chỉnh
F(x)−fδ +αx = 0
có duy nhất nghiệm xδα ∈ B(x†, r).
Một dạng điều kiện nguồn thường được sử dụng cho trường hợp toán tử đơn điệu là tồn tại phần tử w ∈ H sao cho
x† = F0(x†)w. (1.20)
Ta có kết quả sau (xem [9, 79]).
Định lý 1.3. Giả sử toán tử F hai lần khả vi Fréchet trong hình cầu
B(x†, r) với bán kính r ≥ kx†k. Hơn nữa, giả sử kF”(x)k ≤ N với mọi
x ∈ B(x†, r) và tồn tại phần tử w ∈ H thỏa mãn (1.20) với kwkN ≤2. Lúc đó nghiệmxα của phương trình hiệu chỉnh F(x)−f+αx = 0 thỏa mãn
Trong định lý trên, điều kiện đạo hàm cấp haiF”bị chặn có thể thay bởi điều kiện đạo hàm cấp một F0 liên tục Lipschitz, tức là kF0(x)−F0(˜x)k ≤
Lkx−x˜k ∀x,x˜ ∈ B(x†, r).
Trong [69], tác giả đã sử dụng điều kiện này và chỉ ra rằng ràng buộc
kwkN ≤2 trong định lý trên là không cần thiết.
Định lý 1.4(xem [69]). Giả sử toán tử F khả vi Fréchet và đạo hàm của nó liên tục Lipschitz trên hình cầuB(x†, r), r ≥ kx†k, tức là kF0(x)−F0(˜x)k ≤
Lkx−x˜k ∀x,x˜ ∈ B(x†, r). Khi đó, nếu tồn tại phần tử w ∈ H thỏa mãn
(1.20) thì nghiệm xα thỏa mãn kxα −x†k ≤ kwk 1 + L 2kwk
α.
Để đơn giản, trong Chương 4 của luận án này chúng ta giả thiết đạo hàm cấp hai F” của toán tử bị chặn địa phương. Tuy nhiên, các kết quả này hoàn toàn có thể được thiết lập cho toán tử với đạo hàm cấp mộtF0 liên tục Lipschitz địa phương.
Trong trường hợp toán tử F : H → H khả vi nhưng không đơn điệu, điều kiện nguồn thường phức tạp hơn. Trong các phương pháp như Landwe- ber phi tuyến, dốc gradient, chỉnh lặp Gauss-Newton, Newton-Gradient liên hợp .v.v. (xem [13, 35, 37, 38, 47]), người ta thường sử dụng điều kiện nguồn dạng
x† = F0(x†)∗F0(x†)µv với v ∈ Ker F0(x†)⊥, µ ∈ (0,1].
Điều kiện về tính Lipschitz địa phương của đạo hàm (hay tính bị chặn địa phương của đạo hàm cấp hai) cũng được thay thế bởi điều kiện nón tiếp tuyến (tangential cone condition):
kF(v)−F(u)−F0(u)(v−u)k ≤ ηkF(v)−F(u)k η <1;∀u, v ∈ B(x†, r).
Trong [13], các tác giả đã chỉ ra rằng điều kiện về tính liên tục Lipschitz của đạo hàm không chặt hơn điều kiện nón tiếp tuyến nói trên.