nmax T OL(×10−3) RT OL(%) RAT(×10−2) 500 7.759 1.5518 3.6801 1000 4.431 0.8862 2.1305 2500 3.253 0.6506 1.7310 5000 2.966 0.5532 1.7309 10000 2.734 0.5468 1.7310 KẾT LUẬN CHƯƠNG
Chúng ta đã nghiên cứu phương pháp Newton hiệu chỉnh song song (PRNM) trong cả hai trường hợp dữ liệu chính xác và có nhiễu. Trong trường hợp có thêm các điều kiện nguồn, ta có thể thiết lập được tốc độ hội tụ của phương pháp. Chú ý rằng trong phương pháp PRNM ta đã giải phương trình thành phần của phương pháp chỉnh lặp ẩn PIIRM bằng 01 bước lặp Newton-Kantorovich. Vì vậy nếu các điều kiện nguồn trong Bổ đề 4.1 được thỏa mãn, thì ta cũng có thể thiết lập được tốc độ hội tụ cho phương pháp PIIRM.
Các kết quả thử nghiệm số trong mục 4.2 là phù hợp với những kết quả lý thuyết trong mục 4.1.
Kết luận
Luận án đề xuất một số phương pháp song song giải các bài toán đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu.
Các kết quả chính mà luận án thu được bao gồm:
(1) Phương pháp chỉnh lặp song song ẩn (PIIRM) và phương pháp chỉnh lặp song song hiện (PEIRM) giải hệ phương trình toán tử Ai(x) = 0, (i = 1, N), trong đó Ai : H → H là các toán tử ngược đơn điệu mạnh, H là không gian Hilbert. Phương pháp PIIRM cũng là một phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh song song.
(2) Phương pháp chiếu - điểm gần kề song song (PPPXPM) giải hệ phương trình toán tử Ai(x) = 0, (i = 1, N) trong đó Ai là các toán tử liên tục, đơn điệu cực đại.
(3) Các phương pháp CQ song song tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn toán tử không giãn tương đối trong không gian Banach lồi đều và trơn đều. Hai thuật toán cải biên tương ứng đã được đề xuất cho không gian Hilbert để việc tính toán các nghiệm xấp xỉ được dễ dàng hơn.
(4) Phương pháp Newton hiệu chỉnh song song (PRNM) giải phương trình
A(x) = 0 với toán tử A phân rã được thành tổng A(x) = PN
i=1Ai(x), trong đó Ai : H →H là các toán tử đơn điệu, khả vi Frechet.
(5) Các phương pháp trong (1), (2) và (4) đã được xét trong trường hợp dữ liệu chính xác và dữ liệu có nhiễu. Trong trường hợp dữ liệu có nhiễu, các quy tắc dừng hậu nghiệm đã được đề xuất cho phương pháp PIIRM và phương pháp PRNM.
(6) Khi toán tử thỏa mãn điều kiện nguồn, tốc độ hội tụ cho phương pháp PRNM và PIIRM đã được thiết lập.
(7) Mỗi phương pháp đề xuất trong luận án đều có những thử nghiệm số minh họa trên bó máy tính.
Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu: (i) Mở rộng các kết quả của luận án cho trường hợp phương trình với
toán tử accretive trong không gian Banach.
(ii) Nghiên cứu phương trình Hammerstein loại một (vế trái là hợp của các toán tử đơn điệu) hoặc phương trình với toán tử là hiệu của các toán tử đơn điệu.
(iii) Nghiên cứu các kỹ thuật phân rã khác để xây dựng các phương pháp song song mới.
Các kết quả chính của luận án đã được báo cáo tại:
• Seminar của bộ môn Toán học Tính toán - Khoa Toán Cơ Tin học - Trường ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội.
• Hội nghị khoa học - Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội năm 2010.
• The 4th International conference on High-Performance Scientific Com- puting, Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes, Hanoi, Vietnam, March 2-6, 2009.
• Second Workshop on Computer-Assisted Science, Cybermedia Center, Osaka Univ., Toyonaka, Japan, November 6, 2009.
• International conference on New directions in Analysis, Ha Noi, August 9-15, 2010.
• Hội nghị toàn quốc lần thứ 3 về Ứng dụng Toán học, Hà Nội, 23 - 25/12/2010.
• International conference on Analysis and Applied Mathematics, Saigon University, Ho Chi Minh City, March 14, 2011.
• The 5th International conference on High-Performance Scientific Com- puting, Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes, Hanoi, Vietnam, March 5-9, 2012.
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
[1 ] P. K. Anh, C. V. Chung (2009), "Parallel iterative regularization methods for solving systems of ill-posed equations", Applied Mathe- matics and Computation, 212, pp. 542 - 550.
[2 ] P. K. Anh, C. V. Chung and V. T. Dung (2011), "Cimmino meth- ods for regularizing nonlinear ill-posed problems", Proc. International Conference on Analysis and Applied Mathematics, Saigon Univ. HCM City, March 14 2011, pp. 67-86.
[3 ] P. K. Anh, C. V. Chung (2011), "Parallel regularized Newton method for nonlinear ill-posed equations", Numerical Algorithms, 58 (3), pp. 379–398.
[4 ] P. K. Anh, C. V. Chung (2011), "On strongly convergent parallel proximal point algorithms", Journal of Science, VNU, Hanoi, 27 (2), pp. 67-75.
[5 ] P. K. Anh, C. V. Chung (2012), "Parallel hybrid methods for a finite family of relatively nonexpansive mappings", (submited to Numerical Functional Analysis and Optimization).
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005),Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Bường (2001), Hiệu chỉnh bài toán bằng phương pháp toán tử đơn điệu, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] Alber Ya. I. (1996), "Metric and generalized projection operators in Banach spaces", in:A.G. Kartosatos (Ed.), Theory and Applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type, Marcel Dekker, New York, pp. 15-50.
[4] Alber Ya. I., Ryazantseva I. P. (2006), Nonlinear Ill-posed Problems of Monotone Type, Springer.
[5] P. K. Anh and V. T. Dung (2010), "Parallel iterative regularization algorithms for large overdetermined linear systems", Int. J. Comput. Methods, 7 (4), pp. 525-537.
[6] Asplund E. (1970), "A monotone convergence theorem for sequences of nonlinear mappings", Proc. Sympos. Pure Math., 18, pp. 1–9. [7] Asplund E., Rockafellar R. T. (1969), "Gradients of convex functions",
[8] Attouch H., Brice˜no-Arias L. M., and Combettes P. L. (2010), "A Parallel Splitting Method for Coupled Monotone Inclusions", SIAM J. Control Optim., 48, pp. 3246-3270.
[9] Bakusinskii A. B., Goncharskii A. V. (1994), Ill-posed Problems: The- ory and Applications, Kluwer, Dordrecht, 1994.
[10] Bakushinsky A. B., Smirnova A. B. (2005), "On application of general- ized discrepancy principle to iterative methods for nonlinear ill-posed problems", Numer. Funct. Anal. Optim., 26 (1), pp. 35-48.
[11] Bakunshinski A. B., Smirnova A. B. (2006), "A posteriori stopping rule for regularized fixed point iterations", Nonlinear Anal., 64 (6), pp. 1255-1261.
[12] Bakunshinski A. B., Smirnova A. B. (2007), "Iterative Regularization and Generalized Discrepancy Principle for Monotone Operator Equa- tions", Numer. Funct. Anal. Optim., 28 (1), pp. 13-25.
[13] Barbara K., Neubauer A., and Scherzer O. (2008), Iterative Regular- ization Methods for Nonlinear Ill-Posed Problems, Walter de Gruyter, Berlin - New York.
[14] Bauschke H. H., Borwein J. M. (1996), "On projection algorithms for solving convex feasibility problems", SIAM Rev., 38, pp. 367-426. [15] Bauschke H. H., Borwein J. M. and Lewis A. S. (1997), "The method
of cyclic projections for closed convex sets in Hilbert space",Contemp. Math., 204, pp. 1-38.
[16] Bauschke H. H., Borwein J. M. (1999), "Maximal monotonicity of dense type, local maximal monotonicity, and monotonicity of the con- jugate are all the same for continuous linear operators", Pacific J. Math., 189, pp. 1–20.
[17] Borwein J. M. (2010), "Fifty years of maximal monotonicity", Optim. Lett., 4, pp. 473–490.
[18] Browder F. E. (1966), "Nonlinear elliptic functional equations in non- reflexive Banach spaces", Bull. Amer. Math. Soc., 72, pp. 89-95.
[19] Browder F. E. (1968), "Semicontractive and semiaccretive nonlinear mappings in Banach spaces". Bull. Amer. Math. Soc., 74, pp. 660-665. [20] Browder F. E. , Hess P. (1972), "Nonlinear mappings of monotone
type in Banach spaces", J. Funct. Anal., 11, pp. 251–294.
[21] Browder F. E. (1983), "Fixed point theory and nonlinear problems",
Bull. Amer. Math. Soc., 9, pp. 1–39.
[22] N. Buong (2006), "Regularization for unconstrained vector optimiza- tion of convex functionals", Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 46 (3), pp. 372-378.
[23] N. Buong (2010), "Strong convergence theorem of an iterative method for variational inequalities and fixed point problems in hilbert spaces",
Appl. Math. Comput., 217 (1), pp. 322-329.
[24] N. Buong, N. D. Dung (2009), "Regularization for a common solution of a system of nonlinear ill-posed equations", Int. J. Math. Anal., 3 (34), pp. 1693-1699.
[25] N. Buong, P. V. Son (2008), "An explicit iteration method for convex feasibility problems in Hilbert spaces", Appl. Math. Sci. (Hikari), 2 (15), pp. 725-734.
[26] Burger M. and Kaltenbacher B. (2006), "Regularizing Newton- Kaczmarz methods for nonlinear ill-posed problems", SIAM Numer. Anal., 44, pp. 153-182.
[27] Censor Y. (2001), "On sequential and parallel projection algorithms for feasibility and optimization" (Keynote Paper) in:Visualization and Optimization Techniques (Editors: Censor Y. and Ding M.), Proceed- ings of SPIE(SPIE: The International Society for Optical Engineering, Bellingham, WA, USA), 4553, pp. 1-9.
[28] Censor Y., Gordon D. and Gordon R. (2001), "Component averaging: An efficient iterative parallel algorithm for large and sparse unstruc- tured problems", Parallel Comput., 27, pp. 777-808.
[29] Censor Y., Gordon D. and Gordon R. (2001), "BICAV: An inherently parallel algorithm for sparse systems with pixel-dependent weighting",
IEEE Trans. Medical Imaging, 20, pp. 1050-1060.
[30] Cioranescu I. (1990), Geometry of Banach spaces, in: Duality Map- pings and Nonlinear Problems, Kluwer, Dordrecht.
[31] Combettes P. L. (2004), "Solving monotone inclusions via compo- sitions of nonexpansive averaged operators", Optimization, 53, pp. 475–504.
[32] De Cezaro A., Haltmeier M., Leitão A., and Scherzer O. (2008), "On steepest-descent-Kaczmarz method for regularizing systems of nonlin- ear ill-posed equations", Appl. Math. Comput., 202, pp. 596-607. [33] Diniz-Ehrhardt M. A., Martinez J. M. (1993), "A parallel projection
method for overdetermined nonlinear systems of equations", Numer. Algorithms, 4, pp. 241-262.
[34] Diniz-Ehrhardt M. A., Martinez J. M. and Santos S. A. (1994), "Paral- lel projection methods and the resolution of ill-posed problems",Com- put. Math. Appl., 27, pp. 11-24.
[35] Engl H. W., Hanke M., and Neubauer A. (1996), Regularization of Inverse Problems, Kluwer, Dordrecht.
[36] Fitzpatrick S. (1988), "Representing monotone operators by convex functions", Proc. Centre Math. Appl. Austral. Nat. Univ., 20, pp. 59–65.
[37] Haltmeier M., Kowar R., Leitão A., and Scherzer O. (2007), "Kaczmarz methods for regularizing nonlinear ill-posed equations, I. Convergence analysis", Inverse Probl. Imaging, 1 (2), pp. 289-298.
[38] Haltmeier M., Kowar R., Leitão A., and Scherzer O. (2007), "Kacz- marz methods for regularizing nonlinear ill-posed equations, II. Appli- cations", Inverse Probl. Imaging, 1 (3), pp. 507-523.
[39] Dinh Nho Hao (1994), "A mollification method for ill-posed problems",
[40] Dinh Nho Hao (1996), "A Mollification Method for a Noncharacteristic Cauchy Problem for a Parabolic Equation",J. Math. Anal. Appl., 199, pp. 873 - 909.
[41] Hein T. (2008), "Convergence rates for multi-parameter regularization in Banach spaces", Int. J. Pure Appl. Math, 43 (4), pp. 593-614. [42] N. S. Hoang, Ramm A. G. (2008), "An iterative scheme for solving
nonlinear equations with monotone operators", BIT., 48 (4), pp. 725- 741.
[43] N. S. Hoang, Ramm A. G. (2009), "Dynamical systems gradient meth- ods for solving nonlinear equations with monotone operators", BIT., 50 (4), pp. 751–780.
[44] N. S. Hoang, Ramm A. G. (2010), "Dynamical systems method for solving nonlinear equations with monotone operators", Math. Comp., 79, pp. 239-258.
[45] Kamimura S. and Takahashi W. (2002), "Strong convergence of a proximal-type algorithm in a Banach space", SIAM J. Optim. 13, pp. 938-945.
[46] Kenderov P. S. (1975), "Semi-continuity of set-valued monotone map- pings", Fund. Math., 88, pp. 61–69.
[47] Kowar R. and Scherzer O. (2002), "Convergence analysis of a Landweber-Kaczmarz method for solving nonlinear ill-posed prob- lems", Ill-posed and inverse problems (book series), 23, pp. 69-90. [48] Krein S. G. et al (1972),Functional Analysis, Wolters-Noordhoff Pub-
lishing, Groningen, The Netherlands.
[49] Lavrentiev M. M. (1967), Some improperly posed problems in mathe- matical physics, Springer, New-York.
[50] Liskovets O. A. (1982), "Theory and methods of solving ill-posed prob- lems" (English transl.), Mathematical analysis, Itogi Nauki i Tekhniki, VINITI Moskow, 20, pp. 116-178.
[51] Liskovets O. A. (1982), "Regularization of problem with discontinuous and monotone, arbitrarily perturbative operators" (English transl.),
Dokl. Akad. Nauk SSSR Math., 271, pp. 30-34.
[52] Liskovets O. A. (1984), "On the solution of nonlinear monotone equa- tions with arbitrary perturbations" (English transl.),Dokl. Akad. Nauk Beloruss Math., 276 (5), pp. 1033-1035.
[53] Liu F., Nashed M. Z. (1998), "Regularization of nonlinear ill-posed variational inequalities and convergence rates", Set-Valued Analysis, 6, pp. 313-344.
[54] Liu X. F. (2011), "Strong convergence theorems for a finite family of relatively nonexpansive mappings",Vietnam J. Math.39 (1), pp.63-69. [55] Lu T. , Neittaanm¨aki P. , and Tai X.-C. (1992), "A parallel splitting up method for partial differential equations and its application to Navier- Stokes equations", RAIRO Math. Model. Numer. Anal., 26 (6), pp. 673-708.
[56] Matsushita S. and Takahashi W. (2005), "A strong convergence the- orem for relatively nonexpansive mappings in a Banach space", J. Approx. Theory, 134, pp. 257-266.
[57] Mann W. R. (1953), "Mean value methods in iteration", Proc. Amer. Math. Soc. 4, pp. 506–510.
[58] Minty G. J. (1962), "Monotone (nonlinear) operators in Hilbert space",
Duke Math. J., 29, pp. 341–346.
[59] Phelps R. R. (1989), Convex Functions, Monotone Operators and Dif- ferentiability. Lecture Notes in Mathematics, 1364, Springer, Berlin (Second edition 1993).
[60] Plubtieng S. and Ungchittrakool K. (2007), "Strong convergence the- orems for a common fixed point of two relatively nonexpansive map- pings in a Banach space", J. Approx. Theory, 149, pp. 104-115.
[61] Plubtieng S. and Ungchittrakool K. (2010), "Approximation of com- mon fixed points for a countable family of relatively nonexpansive
mappings in a Banach space and applications", Nonlinear Anal., 72, pp. 2896-2908.
[62] Rockafellar R. T. (1976), "Monotone operators and proimal point al- gorithm", SIAM J. Control Optim., 14, pp. 877-897.
[63] Simons S. (1998), Minimax and Monotonicity. Lecture Notes in Math- ematics, 1693. Springer, Berlin.
[64] Solodov M. V., Svaiter B. F. (2000), "Forcing strong convergence of proximal point iterations in Hilbert space", Math. Program., 87, pp. 189-202.
[65] Spingarn J. E. (1983), "Partial inverse of a monotone operator", Appl. Math. Optim., 10, pp. 247–265.
[66] Su Y. F., Wang Z. M. and Xu H. K. (2009), "Strong convergence theorems for a common fixed point of two hemi-relatively nonexpansive mappings", Nonlinear Anal., 71, pp. 5616-5628.
[67] Takahashi W. (2000), Nonlinear Fuctional Analysis, Yokohama- Publishers.
[68] Takahashi W. and Zembayashi K. (2009), "Strong and weak conver- gence theorems for equilibrium problems and relatively nonexpansive mappings in Banach spaces", Nonlinear Anal., 70, pp. 45–57.
[69] Tautenhahn U., "On the method of Lavrentiev regularization for non- linear ill-posed problems", Inverse Problems, 18, pp. 191-207.
[70] Tikhonov A. N. and Arsenin V. Y. (1977), Solution of Ill-Posed Prob- lems, John Wiley and Sons, New York.
[71] Wang Y. F., Yuan Y. X. (2005), "Convergence and regularity of trust region methods for nonlinear ill-posed inverse problems",Inverse Prob- lems, 21, pp. 821-838.
[72] Xu H. -K. (2004), "Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings", J. Math. Anal. Appl., 289 (1), pp. 279 - 291.
[73] Xu H. -K. (2006), "A Regularization Method for the Proximal Point Algorithm", J. Global Optim., 36, pp. 115–125.
[74] Zarantonello E. H. (1973), "Dense single-valuedness of monotone op- erators", Israel J. Math., 15, pp. 158–166.
[75] Zilli G. and Bergamaschi L. (1999), "Parallel Newton methods for sparse systems of nonlinear equations",Rend. Circ. Mat. Palermo (II), 58, pp. 247-257. Tiếng Nga [76] Альбер Я. И. (1975), "О решении нелинейных уравнений с монотонными операторами в банаховом пространстве", Сибирский матем. ж., 26 (1), C. 3-11. [77] Альбер Я. И., Рязанцева И. П. (1975), "Регуляризация нелинейных уравнений с монотонными операторами", Ж. вычисл. матем. и матем. физ.(CCCP), 15 (2), C. 283-289. [78] Альбер Я. И., Рязанцева И. П. (1978), "Принцип невязки при решении нелинейных задач с монотонными операторами - регуляризирующий алгоритм", Доклады Академии наук СССР, 239(5), C. 1017-1020. [79] Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. (1989),Некорректные задачи: Численные методы и приложения, Издательство Московского университета. [80] Лисковец О. А. (1981), Вариационные методы решения неустойчивых задач, Наука и техника, Минск. [81] Рязанцева И. П. (2002), "Регуляризованный проксимальный алгоритм для нелинейных уравнений монотонного типа в банаховом пространстве", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 42 (9), C. 1295- 1303.
[82] Тихонов А. Н. (1963), "O решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации", Доклады Академии наук СССP, 151 (3), C. 501-504. [83] Тихонов А. Н. (1963), "О регуляризации некорректных задач", Доклады Академии наук СССP, 153, C. 49-52. Tiếng Pháp
[84] Brézis H., Haraux A. (1976), "Image d0une somme d0operateurs mono- tones et applications (English summary)", Israel J. Math., 23, pp. 165–186.
[85] Gossez J. -P. (1971), "Opérateurs monotones non linaires dans les es- paces de Banach non réflexifs", J. Math. Anal. Appl., 34, pp. 371–376. [86] Hadamard J. (1932), Le probléme de Caushy et les équations aux
dérivées partielles linéaires hyperpoliques, Hermann, Paris.
[87] Mignot F. (1976), "Contrôle dans les inéquations variationelles ellip- tiques", J. Funct. Anal., 22, pp. 130–185.
Chỉ mục Điều kiện nón tiếp tuyến, 41, 124
Điều kiện nguồn, 12, 19, 40, 41, 113, 115, 131, 135 Bài toán Đặt chỉnh, 10, 37, 49, 54, 62, 115 Đặt không chỉnh, 10, 37, 47, 77, 115 Hệ phương trình toán tử, 8, 33, 34 Phương trình toán tử, 17, 33, 34 Tìm điểm bất động chung, 33, 82, 91, 95, 136 Bổ đề Minty, 9, 35, 88 Hiệu chỉnh Lavrentiev, 11, 37, 47, 115 Tikhonov, 10, 37 Tikhonov-Browder, 11, 37 Không gian
Không gian lồi, 20
Lồi đều, 20, 91, 94, 95, 98, 99 Lồi chặt, 20
Không gian trơn
Trơn đều, 91, 94, 95, 98, 99
Nửa không gian, 14, 22, 84, 90, 99–101, 104, 105, 108
Phản xạ, 20, 24, 33, 94, 98
Tính chất Kadec-Klee ( Efimov-Stechkin), 24, 95, 99
Khoảng cách suy rộng (Bregmann), 25, 92, 95–97, 99 Phương pháp CQ song song (PCQM), 82, 95, 100, 104, 108, 111, 136 PCQM3.2, 91 PCQM3.3, 95 PCQM3.4, 100, 111 PCQM3.5, 104, 111 CQ xoay vòng (CCQM), 15, 95, 112 Điểm gần kề, 13, 48 Điểm gần kề hiệu chỉnh, 14, 48
Điểm gần kề hiệu chỉnh song song (PRPXPM), 48, 53
Chỉnh lặp đơn, 11, 15, 17, 70, 71, 77 Chỉnh lặp ẩn song song (PIIRM), 19,
47, 49, 53, 81
Chỉnh lặp hiện song song (PEIRM), 19, 47, 70, 81
Chiếu - Điểm gần kề, 14, 85
Chiếu - Điểm gần kề song song (PP- PXPM), 82, 85, 108, 111, 136 Cimmino, 16, 17
Kaczmarz, 15 Landweber, 11, 15
Newton hiệu chỉnh, 11, 15
Newton hiệu chỉnh song song (PRNM), 19, 114, 117, 125
Phân rã song song, 17, 48, 114, 117 Quy tắc hậu nghiệm, 12, 56, 62, 65, 81 Quy tắc tiên nghiệm, 14, 56, 62, 80, 81
Toán tử
Đối ngẫu, 12
Đối ngẫu chuẩn tắc, 12, 24, 90, 91, 94, 96–98
Đồ thị của toán tử, 23 Đơn điệu, 8, 9, 29
Đơn điệu đều, 30
Đơn điệu cực đại, 9, 14, 19, 30, 33, 82, 88, 136
Đơn điệu mạnh, 17, 30
Ngược đơn điệu mạnh, 17, 19, 33, 35, 47, 62, 64, 68, 75, 76, 115, 116, 129, 131, 136 Đơn trị-Đa trị, 20, 25, 33, 83 Bán đóng, 23, 32, 35 Giải thức JAr, 33, 83, 90, 113 Không giãn, 14, 17, 23, 32, 45, 46, 111, 132
Không giãn tương đối, 14, 19, 31, 33, 90, 91, 94, 95, 98, 100, 103, 107, 111, 136 Khả vi
Công thức Newton - Leibnitz, 27, 116, 134 Công thức Taylor, 26, 118, 126 Khả vi Frechet, 15, 18, 26, 27, 29, 62, 114, 124, 129, 132, 134 Khả vi Gâteaux, 9, 18, 26 Liên tục h-liên tục, 22, 27, 35, 36
Liên tục đều theo chuẩn (uniformly norm-to-norm continuous), 25, 94, 98 Liên tục Lipschitz, 17, 22, 49, 62, 111, 130, 134 Phép chiếu metricP, 24, 84, 85, 87, 89, 90, 99, 100, 102, 104, 105, 108 Phép chiếu suy rộng Π, 25, 95, 99