không gian Hilbert
Trong mục này, chúng ta xét không gian Hilbert H và C ⊂ H là một tập lồi đóng, không rỗng. Tương tự như trường hợp không gian Banach, ta giả thiết Ti : C → C, i = 1, N là họ hữu hạn các toán tử không giãn tương đối với tập điểm bất động chungF = ∩N
i=1F(Ti) khác rỗng. Hơn nữa, ta giả thiết hình chiếu PC(x) tính được với mọi x ∈ H. Chúng ta cải biên các thuật toán trình bày trong mục trước để có thể tìm xấp xỉ tiếp theo
xk+1 bằng các công thức đơn giản.
Trước hết ta có phương pháp cải biên cho Thuật toán 3.2.
Thuật toán 3.4. Chọn xấp xỉ ban đầu x0 ∈ C bất kỳ; {αk} ⊂ [0,1) là một dãy số hội tụ về 0. Với k ≥ 0, xk đã biết, ta thực hiện
• Tìm zk := PC(xk). • Tính yki := αkzk+ (1−αk)Ti(zk), i = 1,2, ..., N. (3.20) • Tìm chỉ số ik := argmax i=1,2,...,N {kyki −xkk}. • Xác định các tập Ck := {v ∈ H : kv−ykikk ≤ kv −xkk}, và Qk := {u ∈ H : hx0 −xk, xk −ui ≥ 0}. (3.21) • Tìm hình chiếu xk+1 := PCk∩Qk(x0). (3.22)
Tại mỗi bước lặp k ≥ 0, dễ thấy Qk là nửa không gian hoặc Qk = H. Bên cạnh đó, hệ thức kv−yikk k ≤ kv−xkk tương đương với hv, xk−ykiki ≤
1 2 kxkk2 − kyik k k2 hay v − 1 2(xk +y ik k ), xk−ykik ≤ 0. (3.23) Do đó, với mọi k ≥ 0, tập Ck cũng là nửa không gian trong H hoặc
Ck = H. Vì vậy, nếu Ck ∩Qk 6= ∅ thì xk+1 trong (3.22) tính được dễ dàng bằng công thức tương tự như trong [64].
Ta có kết quả sau.
Bổ đề 3.7. Nếu Thuật toán 3.4 kết thúc tại bước thứ k ≥ 0 hữu hạn, thì
xk là một điểm bất động chung của họ toán tử Ti, i = 1, N.
Chứng minh. Từ điều kiện dừng xk = xk+1 ta có xk ∈ Ck. Từ cách xác định tập hợp Ck, ta có kxk−yik
k k ≤ kxk−xkk= 0. Kết hợp với định nghĩa của ik, ta có yki = xk với i = 1, N.
Vậy xk ∈ C, hay zk := PC(xk) = xk. Thay vào phương trình (3.20) ta có
xk = αkxk + (1−αk)Ti(xk), i = 1,2, ..., N.
Do αk < 1 nên ta suy ra xk = Ti(xk) với i = 1, N hay xk ∈ F.
Trong trường hợp ngược lại, định lý dưới đây cho thấy sự hội tụ mạnh của Thuật toán 3.4.
Định lý 3.4. Giả sử {xk} là dãy (vô hạn) tạo bởi Thuật toán 3.4, Ti là các toán tử liên tục với i = 1, N. Lúc đó xk →x† := PF(x0) khi k → ∞.
Chứng minh. Tương tự trường hợp không gian Banach, ta có F là tập lồi đóng khác rỗng, do đó tồn tại duy nhất phần tử x† = PF(x0). Hơn nữa, với mỗi k ≥ 0 và i = 1, N, yik ∈ C vì zk, Ti(zk) ∈ C.
Sử dụng tính lồi của phiếm hàm ϕ(x) := kxk2 trên C và hệ thức (1.2), với mọi p∈ F ⊂ C ta có
kp−yik
k k2 = kp− {αkzk + (1−αk)Tik(zk)}k2
+kαkzk + (1−αk)Tik(zk)k2 ≤ kpk2 −2αkhp, zki −2(1−αk)hp, Tik(zk)i +αkkzkk2 + (1−αk)kTik(zk)k2 = αkkp−zkk2 + (1−αk)kp−Tik(zk)k2 ≤ αkkp−zkk2 + (1−αk)kp−zkk2 = kPC(p)−PC(xk)k2 ≤ kp−xkk2.
Vì vậy, p ∈ Ck và do đó, F ⊂Ck với mọi k ≥ 0.
Dễ thấy, F ⊂ Q0 ≡ H. Giả thiết F ⊂ Qk−1 với k ≥ 1, ta sẽ chỉ ra rằng
F ⊂ Qk. Thật vậy, từ xk = PCk−1∩Qk−1(x0), ta suy ra hx0 −xk, xk −zi ≥ 0 với mọi z ∈ Ck−1 ∩ Qk−1. Do đó, với mọi z ∈ F ⊂ Ck−1 ∩ Qk−1 ta có
hx0 −xk, xk −zi ≥ 0. Từ định nghĩa của Qk, ta thấy F ⊂ Qk. Vậy, F ⊂ Ck ∩Qk với mọi k ≥ 0.
Thực hiện như trong Bổ đề 3.5, từF 6= ∅, ta đi đến kết luận nếu Thuật toán 3.4 đạt đến bước lặp thứ k ≥ 0, thì xk+1 là xác định duy nhất.
Từ định nghĩa của Qk, ta có xk = PQk(x0). Kết hợp tính chất đó với
xk+1 = PCk∩Qk(x0) ∈ Qk và F ⊂ Ck ∩ Qk với mọi k ≥ 0, sau đó lập luận như trong Định lý 3.2, ta thu được
kx0 −xkk ≤ kx0 −PF(x0)k, ∀k ≥ 0; (3.24)
kxk−xk+1k → 0 khi k → ∞;
kxk −ykik → 0 khi k → ∞ với i = 1,2, ..., N. (3.25) Dựa vào (3.24) và (3.25), ta thấy {xk} và {yik} là giới nội với i = 1, N. Hơn nữa, ta có kzk − ykik = kPC(xk) − PC(yki)k ≤ kxk −yikk. Do đó, từ (3.25) ta có kzk−ykik → 0 và
kzk−xkk ≤ kzk −ykik+kxk −ykik → 0 khi k → ∞, i = 1, N . (3.26) Điều này dẫn tới zk là giới nội. Từ (3.20) ta suy ra
kTi(zk)−ykik = kTi(zk)−
= αkkzk −Ti(zk)k, i = 1,2, ..., N.
Với mỗi p ∈ F cố định, ta có kzk − Ti(zk)k = kPC(xk) − PC(Ti(zk))k ≤ kxk−Ti(zk)k ≤ kxk−pk+kp−Ti(zk)k ≤ kx0−pk+kp−zkk với i = 1, N. Hệ thức cuối cho thấy kzk − Ti(zk)k là giới nội với i = 1, N. Vì vậy, dựa vào giả thiết limk→∞αk = 0, ta có
kTi(zk)−ykik → 0 khi k → ∞, (i = 1, N).
Kết hợp tính chất này với lim
k→∞kzk−ykik → 0 và kzk−Ti(zk)k ≤ kzk−ykik+
kTi(zk)−ykik, ta thấy lim
k→∞kzk −Ti(zk)k = 0, i = 1, N .
Do tính giới nội của {zk}, tồn tại dãy con {zkj} sao cho zkj * z˜ và limj→∞kzkj − Ti(zkj)k = 0. Tính không giãn tương đối của Ti dẫn tới ˜ z ∈ Fˆ(Ti) =F(Ti), i = 1, N. Vì vậy, z˜∈ F. Áp dụng (3.24), ta thấy kzkj −PF(x0)k2 = kPC(xkj)−PC(PF(x0))k2 ≤ kxkj −x0 −(PF(x0)−x0)k2 = kxkj −x0k2 +kx0 −PF(x0)k2 −2hxkj −x0, PF(x0)−x0i ≤2kx0 −PF(x0)k2 −2hxkj −x0, PF(x0)−x0i = 2 kx0 −PF(x0)k2 − hzkj −x0, PF(x0)−x0i +hzkj −xkj, PF(x0)−x0i . Do vậy, từ (3.26) và zkj * z˜suy ra lim j→∞supkzkj−PF(x0)k2 ≤ 2 kx0−PF(x0)k2−hz˜−x0, PF(x0)−x0i . (3.27) Từ z˜∈ F và tính lồi đóng của tập F, ta có kx0 −PF(x0)k2 − hz˜−x0, PF(x0)−x0i = hx0 −PF(x0),z˜−PF(x0)i ≤ 0.
Kết hợp bất đẳng thức cuối với (3.27), ta được lim
j→∞kzkj −PF(x0)k = 0 hay
Vậy, PF(x0) là điểm tụ yếu duy nhất của dãy {zk}. Mặt khác, mọi dãy con hội tụ yếu của {zk} đều hội tụ mạnh đến PF(x0), vì thế zk → PF(x0) khi
k → ∞. Từ lim
k→∞kzk −xkk = 0, ta có lim
k→∞xk = PF(x0).
Nhận xét 3.8. Ta xác định xk+1 từ (3.22) tương tự như trong [64]. Ta xét các trường hợp: • Nếu xk ∈ Ck thì chọn xk+1 ≡ xk. Chú ý nếu xk −yikk = 0 thì Ck ≡ H do đó xk ∈ Ck. Ngược lại: • Nếu PCk(x0) ∈ Qk thì ta chọn xk+1 = PCk(x0) = x0 − x0, xk−ykik−νk kxk−ykikk2 (xk −yikk ) với νk := kxkk2 − kykikk2 2 . • Các trường hợp còn lại, ta có xk+1 = x0 +λ1 xk −yik k +λ2(x0 −xk), trong đó {λ1, λ2} là nghiệm của hệ phương trình
hxk−yik k , x0 −xkiλ1 +kx0 −xkk2λ2 = −kx0 −xkk2, kxk −ykikk2λ1 +hx0 −xk, xk −ykikiλ2 = νk− hx0, xk −ykiki.
Tương tự, ta cũng có phương pháp cải biên từ Thuật toán 3.3 như sau. Thuật toán 3.5. Chọn xấp xỉ ban đầu x0 ∈ C bất kỳ và {αk} ⊂ [0,1) là một dãy số hội tụ về 0; hằng số > 0 là mức sai số cho phép. Với k ≥ 0,
xk đã biết, ta thực hiện • Tìm hình chiếu zk := PC(xk). • Tính yik := αkx0 + (1−αk)Ti(zk), i = 1,2, ..., N. (3.28) • Tìm chỉ số ik := argmax i=1,2,...,N {kyki −xkk}.
• Xác định các tập
Ck := {v ∈ H : kv−ykikk2 ≤ αkkv −x0k2 + (1−αk)kv −xkk2}, và
Qk := {u ∈ H : hx0 −xk, xk −ui ≥ 0}.
• Tìm xấp xỉ tiếp theo xk+1 := PCk∩Qk(x0).
• Kiểm tra kxk+1 −xkk < , nếu đúng kiểm tra kxk −Ti(xk)k < (i = 1, N). Nếu ít nhất một bước kiểm tra cho kết quả sai, gán k = k + 1
và lặp lại. Ngược lại, kết thúc.
Cũng như trong Thuật toán 3.4, ở đây Qk là một nửa không gian hoặc
Qk = H với mọi k ≥ 0. Mặt khác, hệ thức
kv −ykikk2 ≤ αkkv −x0k2 + (1−αk)kv −xkk2
tương đương với
hv, xk −Tik(zk)i ≤ 1
2(1−αk)
αkkx0k2 + (1−αk)kxkk2 − kykikk2 . (3.29) Do đó, với mọik ≥0, tậpCk cũng là nửa không gian trongH hoặcCk = H. Vậy cũng như thuật toán trước, ta có thể sử dụng công thức tương tự như trong [64] để tính hình chiếu PCk∩Qk(x0) nếu tập này khác rỗng.
Ta có kết quả sau về sự hội tụ của Thuật toán 3.5.
Định lý 3.5. Giả sử {xk} là dãy (vô hạn) tạo bởi Thuật toán 3.5, Ti là các toán tử liên tục với i = 1, N. Lúc đó xk →x† := PF(x0) khi k → ∞.
Chứng minh. Như trước đã chứng minh, ta có F là tập lồi đóng khác rỗng, và tồn tại duy nhất phần tử x† = PF(x0). Hơn nữa, với mỗi k ≥0 và
i = 1, N, thì yki ∈ C vì x0 và Ti(zk) ∈ C.
Lập luận như trong chứng minh trước, với mọi p∈ F ⊂ C ta có
kp−yik
k k2 = kp− {αkx0 + (1−αk)Tik(zk)}k2
= kpk2 −2hp, αkx0 + (1−αk)Tik(zk)i
≤ kpk2 −2αkhp, x0i −2(1−αk)hp, Tik(zk)i +αkkx0k2 + (1−αk)kTik(zk)k2 = αkkp−x0k2 + (1−αk)kp−Tik(zk)k2 ≤ αkkp−x0k2 + (1−αk)kp−zkk2 = αkkp−x0k2 + (1−αk)kPC(p)−PC(xk)k2 ≤ αkkp−x0k2 + (1−αk)kp−xkk2.
Vì vậy, p ∈ Ck và do đó, F ⊂Ck với mọi k ≥ 0.
Do tậpQkđược định nghĩa như trong thuật toán trước, nên bằng phương pháp quy nạp, ta cũng chứng minh được F ⊂ Qk với mọi k ≥ 0.
Vậy, F ⊂ Ck ∩ Qk với mọi k ≥ 0. Vì F 6= ∅, nên nếu Thuật toán 3.5 đạt đến bước lặp thứ k ≥0, thì xk+1 là xác định duy nhất.
Sử dụng các hệ thứcxk = PQk(x0), xk+1 = PCk∩Qk(x0) ∈ Qk vàF ⊂ Ck∩Qk
với mọi k ≥ 0, sau đó lập luận như trong Định lý 3.4, ta cũng đạt được các tính chất tương tự (3.24) và (3.25):
kx0 −xkk ≤ kx0 −PF(x0)k, ∀k ≥ 0;
kxk−xk+1k → 0 khi k → ∞;
kxk −ykik → 0 khi k → ∞ với i = 1,2, ..., N.
Tiếp tục lập luận như trong Định lý 3.4, với i = 1, N ta cũng có {xk},
{yik} là giới nội, kzk −yikk → 0 và kzk −xkk → 0 khi k → ∞, do đó zk là giới nội. Từ (3.28) ta suy ra
kTi(zk)−ykik = kTi(zk)−
αkx0 + (1−αk)Ti(zk) k
= αkkx0 −Ti(zk)k, i = 1,2, ..., N.
Với mỗi p ∈ F cố định, ta có kx0 −Ti(zk)k ≤ kx0 −pk+ kp−Ti(zk)k ≤ kx0 −pk+kp−zkk với i = 1, N. Hệ thức cuối cho thấy kx0 −Ti(zk)k là giới nội với i = 1, N. Vì vậy, dựa vào giả thiết limk→∞αk = 0, ta có
Kết hợp hệ thức này với lim
k→∞kzk−ykik → 0 và kzk−Ti(zk)k ≤ kzk−ykik+
kTi(zk)−ykik, ta thấy lim
k→∞kzk −Ti(zk)k = 0, i = 1, N .
Do tính giới nội của {zk}, tồn tại dãy con {zkj} sao cho zkj * z˜ và limj→∞kzkj − Ti(zkj)k = 0. Tính không giãn tương đối của Ti dẫn tới ˜
z ∈ Fˆ(Ti) =F(Ti), i = 1, N. Vì vậy, z˜∈ F.
Áp dụng kx0 −xkk ≤ kx0 −PF(x0)k, và thực hiện các đánh giá như trong Định lý 3.4, ta cũng có kzkj −PF(x0)k2 = 2 kx0 −PF(x0)k2 − hzkj −x0, PF(x0)−x0i +hzkj −xkj, PF(x0)−x0i . Do vậy, từ kzk −xkk → 0 và zkj * z˜ ta suy ra lim j→∞supkzkj−PF(x0)k2 ≤ 2 kx0−PF(x0)k2−hz˜−x0, PF(x0)−x0i . (3.30) Từ bao hàm thức z˜∈ F và tính lồi đóng của tập F, ta có
kx0 −PF(x0)k2 − hz˜−x0, PF(x0)−x0i = hx0 −PF(x0),z˜−PF(x0)i ≤ 0.
Kết hợp bất đẳng thức cuối với (3.30), ta được lim
j→∞kzkj −PF(x0)k = 0 hay
zkj → PF(x0) khi j → ∞. Hơn nữa, ta cũng có z˜≡ PF(x0).
Vậy, PF(x0) là điểm tụ yếu duy nhất của dãy {zk}. Mặt khác, mọi dãy con hội tụ yếu của {zk} đều hội tụ mạnh đến PF(x0), vì thế zk → PF(x0) khi
k → ∞. Từ lim
k→∞kzk −xkk = 0, ta có lim
k→∞xk = PF(x0).
Nhận xét 3.9. Tương tự như Thuật toán 3.4, ta xác địnhxk+1 := PCk∩Qk(x0) như sau:
• Nếu xk ∈ Ck thì chọn xk+1 ≡xk. Chú ý (3.29) tương đương với
hv, xk −Tik(zk)i ≤ 1
2(1−αk)
αkkx0k2 + (1−αk)kxkk2
Nếu xk = Tik(zk) thì vế phải luôn không âm vì tính lồi của phiếm hàm
ϕ(x) =kxk2. Do đó Ck ≡ H và vì vậy xk ∈ Ck.
• Ngược lại, nếu PCk(x0) ∈ Qk thì ta chọn xk+1 = PCk(x0). Chú ý rằng khi xk 6∈ Ck thì xk 6= Tik(zk), nên ta tính được
PCk(x0) = x0 − hx0, xk −Tik(zk)i −µk kxk −Tik(zk)k2 (xk −Tik(zk)) với µk := 1 2(1−αk) αkkx0k2 + (1−αk)kxkk2 − kykikk2 .
• Các trường hợp còn lại, tương tự như trong [64], ta có xk+1 = x0 +
λ1 xk −Tik(zk)+ λ2(x0 −xk), trong đó {λ1, λ2} là nghiệm duy nhất của hệ phương trình sau
hxk−Tik(zk), x0 −xkiλ1 +kx0 −xkk2λ2 = −kx0 −xkk2, kxk −Tik(zk)k2λ1 + hx0 −xk, xk −Tik(zk)iλ2 = µk − hx0, xk −Tik(zk)i. 3.4 Thử nghiệm số
Chúng ta chia các thử nghiệm số thành hai phần. Trong phần thứ nhất, ta sẽ so sánh phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh trong chương trước (PRPXPM) với phương pháp chiếu - điểm gần kề (PPPXPM). Phần thứ hai cho kết quả thực nghiệm và so sánh giữa các phương pháp CQ song song và chiếu - điểm gần kề. Ta ký hiệu PCQM-3.4 và PCQM-3.5 lần lượt là Thuật toán 3.4 và Thuật toán 3.5.
3.4.1 Giải hệ phương trình với toán tử ngược đơn
điệu mạnh
Để thử nghiệm và so sánh phương pháp PRPXPM trong Chương 2 với phương pháp PPPXPM, ta xét lại ví dụ về hệ phương trình tích phân tuyến tính (2.40) như trong Mục 2.3 - Chương 2.
Theo Chương 2, Ai là liên tục Lipschitz kAi(x)−Ai(y)k ≤ Lkx −yk
với mọi x, y ∈ H, và L ≥ max
i=1,N 1 R 0 1 R 0 Ki2(t, s)ds1/2 . Chọn q ∈ (0,1) cố định, ta lấy µik sao cho 0 < µ ≤µki ≤ µ, với µ thỏa mãn L/µ≤ q < 1.
Ta chọn xấp xỉ ban đầux0 ≡ 0, tham sốαn = 1
8(n+ 1)2/5,γn =
√
n+ 1 8 cho phương pháp PRPXPM và µik ≡ 3.5, σ = 0.5 cho Thuật toán 3.1. Các vế phải được chọn theo (2.46) và (2.47) tương ứng với nghiệm chính xác
xe1(t) =t và xe2(t) = sin(2πt), như thử nghiệm Chương 2.
Trước tiên ta xét các phương pháp sau một số lần lặp tương đối nhỏ và độ chính xác không cao. Bảng 3.1 dưới đây cho kết quả tương ứng.
Bảng 3.1: Kết quả với số bước lặp nhỏ
Vế phảifi M nmax PRPXPM PPPXPM i= 1,4 T T OL T T OL 500 0.98 0.00636 0.51 0.00147 128 750 1.42 0.00492 0.97 0.00115 (2.46) - 1500 2.77 0.00399 1.42 0.00098 xe(t) = t 256 500 4.50 0.00518 1.04 0.00192 1000 8.65 0.00311 2.10 0.00124 128 500 0.93 0.00651 0.48 0.00123 (2.47) - 1000 1.89 0.00519 1.01 0.00086 xe(t) = sin(2πt) 256 500 4.38 0.00557 0.99 0.00178 1000 8.61 0.00323 1.97 0.00107 Bảng 3.1 chỉ ra rằng khi số bước lặp nhỏ, để cùng đạt một độ chính xác phương pháp PRPXPM tốn nhiều thời gian hơn phương pháp PPPXPM. Với cùng số bước lặp, phương pháp PPPXPM cho kết quả tốt hơn phương pháp PRPXPM.
Tiếp theo, ta thực hiện các thử nghiệm để đạt được độ chính xác cao. Kết quả của các phương pháp với số bước lặp lớn được cho trong Bảng 3.2 dưới đây. Từ Bảng 3.2 ta thấy rằng phương pháp PRPXPM tốn nhiều thời gian hơn phương pháp PPPXPM, nhưng nó luôn ổn định và hội tụ. Mặt khác, do ảnh hưởng của quá trình rời rạc hóa và làm tròn dữ liệu, phương pháp PPPXPM có thể không ổn định khi số bước lặp lớn. Hơn
nữa, phương pháp này có thể cho kết quả không ổn định hoặc không hội tụ sau khi đạt tới sai số đủ bé.
Bảng 3.2: Kết quả với số bước lặp lớn, và xe2(t) = sin(2πt).
M PRPXPM PPPXPM T OL nmax T T OL nmax T 0.001051 15000 26.87 0.000475 15000 14.02 128 0.000835 50000 80.02 0.000397 50000 41.17 0.000759 100000 159.29 0.000401 100000 80.51 0.000285 553153 4701.12 0.000285 23427 45.87 256 0.000230 1173089 9969.18 0.000230 135311 265.09 0.000200 2798307 23781.01 0.000200 !NA !NA
3.4.2 Tìm điểm bất động chung của họ hữu hạn toán
tử không giãn tương đối
Xét hai toán tử tích phân trên H = L2[0,1] xác định bởi