Ta xét một số ví dụ cho bài toán đặt không chỉnh dạng phương trình với toán tử đơn điệu. Các ví dụ này sẽ được sử dụng trong các thử nghiệm số minh họa cho các phương pháp trong các chương tiếp theo.
Ví dụ 1.1. Phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại một
A(x)(t) := [F x−f](t) := b Z a K(t, s)x(s)ds−f(t) = 0.
Trong ví dụ này K(t, s) là các nhân tích phân liên tục, đối xứng và f(t) là các hàm liên tục cho trước trong không gian Hilbert thực H = L2[a, b]. Nếu [F x](t) =
b
R
a
K(t, s)x(s)ds xác định không âm thì A là toán tử ngược đơn điệu mạnh và hoàn toàn liên tục trong không gian L2[a, b]. Trong trường hợp này, bài toán tìm nghiệm phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại I là đặt không chỉnh.
Trong Chương 2, chúng ta sẽ thử nghiệm với hệ phương trình loại này, trong đó toán tử tuyến tính F x có thể biểu diễn dạng F = L∗L, với L là toán tử tuyến tính compact.
Ví dụ 1.2. Phương trình toán tử có dạng
A(x)(t) := [F(x)−g](t) = [x−T(x)−g](t) = 0,
với g ∈ L2[0,1] cho trước và T : C → C là toán tử không giãn, tập
Trong ví dụ này ta giả thiết phương trình có nghiệm. Do T không giãn, dễ dàng chỉ ra rằng toán tử F = I −T là đơn điệu. Xét trong trường hợp đơn giản, T là toán tử tuyến tính, g = 0 thì việc giải phương trình này tương đương với việc tìm vector riêng ứng với giá trị riêng λ = 1 trong không gian vô hạn chiều. Nói chung đây là bài toán đặt không chỉnh.
Các thử nghiệm số trong Chương 3 đã sử dụng các toán tử Hammerstein có dạng [T(x)](t) = R01K(t, s)f(x(s))ds, với nhân tích phân K(t, s) là liên tục, đối xứng và f(s) là hàm liên tục, giới nội trên R. Ta thấy toán tử T đã được đề cập trong Mục 1.1. Hơn nữa ta sẽ chọn nhân K và hàm
f để T khả vi và có đạo hàm bị chặn bởi hằng số κ ≤ 1 trên tập giới nội. Từ đó, toán tử T là không giãn trên tập giới nội này.
Ví dụ 1.3. Phương trình toán tử A(x) =F(x)−g(x) = 0. Ở đây
[F(x)](t) := [B(x) +f(x)](t) = Z 1
0
K(t, s)x(s)ds+ [f(x)](t)
với g ∈ L2[0,1] cho trước, nhân tích phân K đối xứng, liên tục trên [0,1]×
[0,1] và f(s) là hàm liên tục, tăng trên R.
Phương trình toán tử dạng này phát sinh từ lý thuyết lọc Wiener (Wiener-type filtering theory) trong xử lý tín hiệu. Các toán tử dạng này đã được nghiên cứu trong [4, 42–44].
Chương 4 sẽ trình bày một số kết quả thử nghiệm số với trường hợp
K(t, s) = e−λ|t−s|, λ > 0 và f(x) = [arctan(λx)]3. Tính đặt không chỉnh của phương trình A(x) = 0 trong trường hợp này, cũng như tính đơn điệu và khả vi của toán tử A đã được trình bày trong [42–44]. Ta cũng có thể chỉ ra tính khả vi hai lần theo Frechét của F và sự giới nội của đạo hàm cấp hai F00 trong hình cầu đóng bất kỳ thông qua kiểm tra trực tiếp các điều kiện trong Mục 1.1.
Chúng tôi đã giới thiệu một số khái niệm và kiến thức bổ trợ cần cho luận án. Trong các chương tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày các phương pháp song song giải phương trình với toán tử đơn điệu.
Chương 2
Phương pháp chỉnh lặp song song
Trong chương này chúng ta nghiên cứu phương pháp chỉnh lặp ẩn song song (Parallel implicit iterative regularization method - PIIRM) và chỉnh lặp hiện song song (Parallel explicit iterative regularization method - PEIRM) giải hệ phương trình toán tử trong không gian Hilbert thực H.
Ai(x) = 0, i = 1, N (2.1) trong đóAi : H →H (i = 1, N) đều là toán tử c−1−ngược đơn điệu mạnh. Trong toàn bộ chương này, chúng ta giả thiết hệ (2.1) có nghiệm, tức là
S := z ∈ H : Ai(z) = 0, i = 1, N 6= ∅.
Khi đó, S là tập lồi đóng, nên tồn tại duy nhất x† := argmin{kzk : z ∈
S}. Theo Bổ đề 1.11, trong trường hợp này hệ (2.1) tương đương với phương trình A(x) :=
N
P
i=1
Ai(x) = 0. Ngoài ra, phương trình này nói chung là bài toán đặt không chỉnh.
Ta xét phương trình hiệu chỉnh dạng Lavrentiev
A(x) +αx= 0, α >0. (2.2)
Theo Định lý 1.1, phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất x∗α và x∗α → x†
khi α → 0. Các phương pháp chỉnh lặp song song PIIRM và PEIRM được xây dựng dựa trên phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev và kỹ thuật phân rã song song. Như đã nói ở phần mở đầu, trong [4, 81], các tác giả cũng đã
kết hợp kỹ thuật hiệu chỉnh Lavrentiev với thuật toán điểm gần kề thành phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu áp dụng kỹ thuật phân rã song song cho phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh, ta cũng sẽ thu được phương pháp PIIRM.
Nội dung chương này được chia thành ba mục. Mục 2.1 trình bày phương pháp PIIRM và sự hội tụ của nó trong trường hợp dữ liệu chính xác hoặc có nhiễu. Bên cạnh đó, ta cũng chỉ ra mối liên hệ giữa phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh song song (PRPXPM) và phương pháp PIIRM. Trong mục 2.2, chúng ta nghiên cứu phương pháp chỉnh lặp hiện song song hai mức. Khi ta chỉ thực hiện một bước lặp mức trong và số phương trình
N = 1thì phép lặp hiện này trở thành phép lặp bậc không do Bakushinskii đề xuất trong [9]. Ở mục 2.3, chúng ta trình bày một số kết quả tính toán số minh họa.
Để chứng minh sự hội tụ của các phương pháp đề xuất trong chương này, chúng ta cần đến kết quả sau đây (xem [4] và [72]).
Bổ đề 2.1. Giả sử {an} là dãy số thực không âm, {bn} và {pn} là các dãy số thực dương thỏa mãn các điều kiện pn < 1,
∞ P n=0 pn = ∞, lim n→∞ bn pn = 0 và an+1 ≤(1−pn)an+ bn, ∀n ≥0. Khi đó limn→∞an = 0.
Các kết quả trong chương này được công bố trong [1,4], xem Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án. Dưới đây ta lần lượt nghiên cứu các phương pháp chỉnh lặp song song.