điệu mạnh
Để thử nghiệm và so sánh phương pháp PRPXPM trong Chương 2 với phương pháp PPPXPM, ta xét lại ví dụ về hệ phương trình tích phân tuyến tính (2.40) như trong Mục 2.3 - Chương 2.
Theo Chương 2, Ai là liên tục Lipschitz kAi(x)−Ai(y)k ≤ Lkx −yk
với mọi x, y ∈ H, và L ≥ max
i=1,N 1 R 0 1 R 0 Ki2(t, s)ds1/2 . Chọn q ∈ (0,1) cố định, ta lấy µik sao cho 0 < µ ≤µki ≤ µ, với µ thỏa mãn L/µ≤ q < 1.
Ta chọn xấp xỉ ban đầux0 ≡ 0, tham sốαn = 1
8(n+ 1)2/5,γn =
√
n+ 1 8 cho phương pháp PRPXPM và µik ≡ 3.5, σ = 0.5 cho Thuật toán 3.1. Các vế phải được chọn theo (2.46) và (2.47) tương ứng với nghiệm chính xác
xe1(t) =t và xe2(t) = sin(2πt), như thử nghiệm Chương 2.
Trước tiên ta xét các phương pháp sau một số lần lặp tương đối nhỏ và độ chính xác không cao. Bảng 3.1 dưới đây cho kết quả tương ứng.
Bảng 3.1: Kết quả với số bước lặp nhỏ
Vế phảifi M nmax PRPXPM PPPXPM i= 1,4 T T OL T T OL 500 0.98 0.00636 0.51 0.00147 128 750 1.42 0.00492 0.97 0.00115 (2.46) - 1500 2.77 0.00399 1.42 0.00098 xe(t) = t 256 500 4.50 0.00518 1.04 0.00192 1000 8.65 0.00311 2.10 0.00124 128 500 0.93 0.00651 0.48 0.00123 (2.47) - 1000 1.89 0.00519 1.01 0.00086 xe(t) = sin(2πt) 256 500 4.38 0.00557 0.99 0.00178 1000 8.61 0.00323 1.97 0.00107 Bảng 3.1 chỉ ra rằng khi số bước lặp nhỏ, để cùng đạt một độ chính xác phương pháp PRPXPM tốn nhiều thời gian hơn phương pháp PPPXPM. Với cùng số bước lặp, phương pháp PPPXPM cho kết quả tốt hơn phương pháp PRPXPM.
Tiếp theo, ta thực hiện các thử nghiệm để đạt được độ chính xác cao. Kết quả của các phương pháp với số bước lặp lớn được cho trong Bảng 3.2 dưới đây. Từ Bảng 3.2 ta thấy rằng phương pháp PRPXPM tốn nhiều thời gian hơn phương pháp PPPXPM, nhưng nó luôn ổn định và hội tụ. Mặt khác, do ảnh hưởng của quá trình rời rạc hóa và làm tròn dữ liệu, phương pháp PPPXPM có thể không ổn định khi số bước lặp lớn. Hơn
nữa, phương pháp này có thể cho kết quả không ổn định hoặc không hội tụ sau khi đạt tới sai số đủ bé.
Bảng 3.2: Kết quả với số bước lặp lớn, và xe2(t) = sin(2πt).
M PRPXPM PPPXPM T OL nmax T T OL nmax T 0.001051 15000 26.87 0.000475 15000 14.02 128 0.000835 50000 80.02 0.000397 50000 41.17 0.000759 100000 159.29 0.000401 100000 80.51 0.000285 553153 4701.12 0.000285 23427 45.87 256 0.000230 1173089 9969.18 0.000230 135311 265.09 0.000200 2798307 23781.01 0.000200 !NA !NA
3.4.2 Tìm điểm bất động chung của họ hữu hạn toán
tử không giãn tương đối
Xét hai toán tử tích phân trên H = L2[0,1] xác định bởi [Fi(x)](t) := 1 Z 0 Ki(t, s)fi(x(s))ds+ gi(t), i = 1,2, (3.31) trong đó K1(t, s) = √ 3 2 ts, K2(t, s) = √ 2et+s e2 −1, f1(x) = exp(−x2), f2(x) = sinx + cosx, g1(t) = − √ 3t 4 và g2(t) = − √ 2et e+ 1. Vì các đạo hàm f 0 i(x),
i = 1,2 thỏa mãn |f10(x)| ≤2|x| và |f20(x)| ≤√2, nên theo [48], các toán tử
Fi(x) khả vi Frechet với các đạo hàm xác định theo [F10(x)h](t) =−√3 1 Z 0 tsx(s)exp(−x2(s))h(s)ds [F20(x)h](t) = √ 2et e2 −1 1 Z 0 es cosx(s)−sinx(s)h(s)ds
với mọi x, h ∈ H.
ChoC := B[0,1] là hình cầu đơn vị đóng, với tâm tại gốc tọa độ. Tính toán trực tiếp, với mọi t ∈ [0,1] ta có
[F10(x)h](t) ≤√3t Z 1 0 s2ds 1/2 kxkkhk ≤ kxkkhk, [F20(x)h](t) ≤ 1 (e2 −1) √ 2et Z 1 0 (√ 2es)2ds 1/2 khk .
Từ đây suy ra kF10(x)hk ≤ kxkkhk và kF20(x)hk ≤ khk với mọi x, h ∈ H, do đó F1 và F2 là không giãn trên C. Rõ ràng, x = 0 là một điểm bất động chung của họ Fi, i = 1,2. Mặt khác, Fi ánh xạ từ C vào chính nó vì
kFi(x)k = kFi(x)−Fi(0)k ≤ kxkvới mọi x ∈ C. Hơn nữa, vìFi (i = 1,2)là toán tử không giãn trên tập lồi đóng trong không gian Hilbert với tập điểm bất động khác rỗng, nên theo Bổ đề 1.10, chúng là không giãn tương đối. Do đó Thuật toán 3.4 và 3.5 có thể áp dụng được.
Ngoài ra, doFi là không giãn, nên toán tử Ai(x) := x−Fi(x) là không giãn và đơn điệu, ánh xạ từ C vào chính nó. Vậy Thuật toán 3.1 cũng có thể áp dụng cho hệ phương trình toán tử Ai(x) = 0, i = 1,2.
Dễ thấy rằng, với mỗi k ≥ 0, hình chiếu metric zk của xk lên C được xác định: zk = xk nếu kxkk ≤ 1, và zk = xk/kxkk nếu ngược lại. Với ví dụ số này, việc xác định xk+1 cho phương pháp CCQM đề xuất trong [54], là tương tự với Thuật toán 3.5. Trong các thử nghiệm sau, ta chọn xấp xỉ ban đầu x0(t) ≡ 1 và tham số trong các phương pháp CQ là αk = 1/(k + 1). Tham số µ cho phương pháp PPPXPM vẫn được chọn như ví dụ trước. Các tích phân được tính theo công thức hình thang với bước lướiτ = 10−3. Trong thử nghiệm đầu tiên, chúng ta cố định số bước lặp và so sánh độ chính xác, thời gian thực hiện giữa các phương pháp. Kết quả được cho trong Bảng 3.3 dưới đây.
Kết quả trong Bảng 3.3 cho ta thấy với cùng số bước lặp cố định, phương pháp PCQM-3.4 và PCQM-3.5 trong chế độ song song tốn ít thời gian hơn phương pháp CCQM và PPPXPM. Tuy nhiên, PPPXPM có hiệu suất khi chạy song song cao hơn PCQM-3.4 và PCQM-3.5.
Bảng 3.3: Kết quả với số bước lặp cố định (T OL×10−3). kmax PPPXPM PCQM-3.4 PCQM-3.5 CCQM Tp Ts T OL Tp Ts T OL Tp Ts T OL Ts T OL 500 1.39 2.69 0.90 0.97 1.35 1.16 1.09 1.57 1.36 1.51 2.27 750 1.68 3.02 0.76 1.31 1.80 0.98 1.41 2.04 1.05 1.97 1.48 1000 2.05 3.93 0.68 1.93 2.55 0.89 2.03 3.01 0.94 2.95 1.26 2000 3.82 6.41 0.60 3.61 5.01 0.79 3.99 5.93 0.78 5.81 1.07 5000 10.97 20.13 0.52 8.95 12.98 0.72 9.61 14.18 0.67 13.47 0.90
Trong thử nghiệm thứ hai, chúng ta cố định sai số cần đạt được và so sánh số bước lặp cũng như thời gian thực hiện của các phương pháp.
Bảng 3.4: Kết quả với cùng độ chính xác (T OL×10−3).
T OL PPPXPM PCQM-3.4 PCQM-3.5 CCQM
Tp Ts kmax Tp Ts kmax Tp Ts kmax Ts kmax
1.35 0.80 1.50 337 0.75 1.05 356 1.09 1.59 527 2.54 879 1.25 0.91 1.76 365 0.84 1.13 415 1.17 1.83 609 3.02 1052 1.00 1.16 2.01 410 1.12 1.61 693 1.83 2.57 881 6.83 2433 0.75 1.70 3.09 761 6.23 9.95 4051 6.09 9.24 3155 33.12 12157 0.50 10.22 19.70 4520 25.21 34.84 14225 14.13 21.77 7513 !NA !NA
Từ Bảng 3.4 ta có thể thấy rằng, với sai số cho trước và đủ bé, các phương pháp PPPXPM, PCQM-3.4 và PCQM-3.5 tốn ít thời gian chạy hơn phương pháp CCQM. Nếu sai số quá bé, phương pháp CCQM có thể không ổn định. Khi chạy song song, phương pháp PPPXMP có hiệu suất cao hơn hai phương pháp PCQM-3.4 và PCQM-3.5 và tốn ít thời gian hơn khi sai số tính toán đủ bé. Ngoài ra, với số bước lặp lớn, kết quả của phương pháp PCQM-3.4 thay đổi chậm hơn PCQM-3.5.
KẾT LUẬN CHƯƠNG
Trong chương này chúng ta đã nghiên cứu các phương pháp chiếu lặp song song. Phương pháp chiếu - điểm gần kề song song PPPXPM là sự mở rộng phương pháp tuần tự tương ứng cho hệ N phương trình toán tử đơn điệu cực đại. Phương pháp PPPXPM trở thành phương pháp chiếu - điểm gần kề khi số phương trình N = 1.
Trong khi đó, các phương pháp CQ song song áp dụng cho việc tìm điểm bất động chung của họ N toán tử không giãn tương đối. Theo [56], nghiệm chung của hệ phương trình toán tử Ai(x) = 0, với Ai : X → X∗
đơn điệu cực đại (i = 1, N) chính là tập điểm bất động chung của họ toán tử không giãn tương đối JAr
i := (J+rAi)−1J, ∀r > 0. Do đó ta có thể áp dụng các phương pháp này để giải hệ phương trình với toán tử đơn điệu cực đại.
Thuật toán 3.2 trở thành thuật toán được đề xuất trong [56] khi N = 1. Còn Thuật toán 3.3 là cải biên của thuật toán xoay vòng được đề xuất trong [54]. Với bài toán trong không gian Hilbert, các phương pháp CQ cải biên cho phép tính xấp xỉ tiếp theo một cách hiệu quả hơn. Các bài toán thành phần ứng với mỗi phương trình trong hệ được xử lý một cách song song và do đó rút ngắn được thời gian thực hiện. Ngoài ra, khối lượng tính toán bổ sung so với các thuật toán nguyên thủy là không đáng kể.
Tất cả các phương pháp trình bày trong chương này đều đạt được sự hội tụ mạnh. Tuy nhiên, để xác định được tốc độ hội tụ, chúng ta cần thêm một số điều kiện đặt lên toán tử, thường gọi là điều kiện nguồn (source conditions) - như Chương 1 đã nhắc tới. Trong chương tiếp theo ta sẽ nghiên cứu phương pháp song song dạng Newton, và đánh giá tốc độ hội tụ của nó.
Chương 4
Phương pháp song song giải phương trình
với toán tử đơn điệu trơn Trong chương này chúng ta nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh song song dạng Newton (Parallel regularization Newton method - PRNM). Đây là sự kết hợp giữa phương pháp Newton - Kantorovich với hai kỹ thuật đã được giới thiệu trong chương trước là hiệu chỉnh Lavrentiev và phân rã song song. Nội dung của chương này được trình bày trong hai mục.
Mục 4.1 nghiên cứu phương pháp PRNM cho phương trình với toán tử phân rã thành tổng như trong (1.12):
A(x) :=
N
X
i=1
Ai(x) = 0, (4.1) trong đó Ai : H → H (i = 1, N) là các toán tử đơn điệu và hai lần khả vi Fréchet. Tương tự như các chương trước, ta giả thiết phương trình (4.1) có nghiệm, tức là S = {z ∈ H : A(z) = 0} 6= ∅.
Chúng ta sẽ đề xuất thuật toán và nghiên cứu sự hội tụ của nó trong các trường hợp dữ liệu chính xác hoặc có nhiễu. Đối với trường hợp nhiễu xuất hiện ở vế phải, một quy tắc dừng hậu nghiệm sẽ được đề xuất. Khi các toán tử Ai thỏa mãn thêm một số điều kiện bổ sung, gọi là điều kiện nguồn (source conditions), chúng ta sẽ đánh giá được tốc độ hội tụ của phương pháp PRNM.
Cũng trong mục này, một số kết quả tương tự sẽ được nêu cho hệ phương trình toán tử (2.1):
Ai(x) = 0, i = 1,2, . . . , N,
với Ai : H →H (i = 1, N) là các toán tử ngược đơn điệu mạnh và hai lần khả vi Fréchet.
Mục 4.2 trình bày các kết quả thử nghiệm số.
Nội dung chính chương này được công bố trong [2, 3], xem Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.