L [ạb] i sa normed linear space whose norm is deíined as folIo\vs:
2. Phương trình và điểu kiện biên
Thay (10) vào phưcms trình chuyên độns Lamé đối với chuvén địch [1]. t2
đirợc phương trình sau đối với ù(x. z, t ) :
(U -Ũ A H u - Ù .) 2 = p . ^ - z = h(y) (12) ct
Từ (10) dễ thấy rằng các thành phẩn khác khơnơ của tenxơ ứns suất lả:
G xy = Ị i .ủ x , gzỴ = LLÙ, (1 3 )
Gọi I , là véc tơ ửns suảt tại tiết diện cĩ véctơ pháp tuyến ri vả đi qua điếm M. Các thành phần của nĩ ưẻn ox.oỴoz ĩirơns ims lả: I X, I V, I Z. Từ (10) với chú
V n(n x .0. n ,), G „ = G = = ơ ^ = 0 và (13) ta cỏ:
- X + ơ u x*2 =0
I ; = ơ c .n x + 0 ^ = 0 0 4)
I v = G xỴ H x T Ơ . v i l . = U . ủ x J l , - f U . ủ z J l 2 = u . ủ .
Do vectơ I_ phải liên rục ưèr. L nén suy tz:
[ u . ủ j = 0 z = h(v) (15)
N2ồi ra ủ phải liên tục ưên L nên:
[ủ]=0 z=h(y) (16)
Vậv ủ phải thoả màn phương trình (12) và các điều kiện liên tục( 15), (16). Do Sỏn2SH đ iều hồ theo thời s ia n nên ta tim ủ dưới d ạ n s sau:
ủ = U (x.z,s).exp(-ịG ).t) (17)
Thay (17) vào (12). (15), (16) ta cĩ:
(ụUx) ^ P z) z ip.co: .Ư = 0 z ?= h(y) (18)
[u]=0, [p.uj=0 z = h(y) (19)
Bài tốn ( ỉ 8), (19) chính là bài tốn biên (1), (2) trong đĩ ơ được thay bời u ,
được thay bởi p.co2 và f (x ,z ) = 0.
Sự phán xạ. khúc xạ của sĩng Srỉ đơi với biên cĩ ổộ nhám cao 955
Một cách tuơns tự. dẻ dàng thàv rằD2 bài tốn 2 đln đèn bải tốn biên sau:
T ìm hàm U(x.z, s ) thoả màn phưcrns trình;
( u . . U x ) Ẫ + ( ^ . U Z) 2 - p _ . o r . U = 0 . 2 > h ( y ) (20)
Và điểu kiện biên: u , = 0 . z = h(v) (2 1 )
N h ư đả nĩi ờ ĩrèn, các bài tốn 1 và 2 đẫn đển các bải tốn biên (ỉ) . (2) và (?), (4) được nahiẻn cửu ư o n a phẩn n .
Theo các kết quả củ a phần IỊ tirơna ứng với bài tốn 1, ta cĩ bài tốn thuản nhắt sau:
Bài tốn 1°: T im u(x_z) sao cho:
uu t u=t K:.u = o. z>0
u s ( z ) . u v - ( ( . L i ) . u , ) z - {p).co: .u = 0 . - A < z < 0 (22)
UVT -r -i- K ^.u = 0 . z < - A u , ( |Ạ u z liẻn tục tại z =0, z =-A
tro n2 đĩ: K = Q . K_ = —-— . Ị _ = —^ . C -. = ——- (23) c;_ c:_ p. p. f/ y ; ( z ) - y , ( z ) l - [ y ; ( z ) - y , ( z ) ] ', ; u (z) = ; --- --- :— --- --- :--- : (24) l .u- .u- ) (u) = [y2 (z) - y, ( z ) Ị u . -r [l + y . (z) - y , ( z ) Ị u . (25) (p) = [ y , ( z ) - y 1(z)Ịpi +[l + y , ( z ) - y : (z)]p_ (26)
T ư ơ ns tự. tu ơ n s ứ n a với bài tốn 2 ta cĩ bài tốn thuần nhất 2° như sau: Bài tốn 2J: Tìm hàm u(x.z) thoả m àn phưcms trình sau:
UW TUC TK :.U = 0 z > 0 (27)
( H u z ) í = ° - A < z < ũ (28)
và các điều kiện biên: u , u z liê n tụ c tại z = 0 (2 9 )
u2 = 0 tại z =-A (30)
Khi đường c o n s L cĩ dạng hình rã n s cưa, các bài tốn thuãn nhât hố tương ứ n2 với các bài tốn 1, 2 là: