IV. cơ SỜ TỐN HỌC CỦA CƠNG THỨC XÁP xỉ MALISCHEVVSKY
51ar: (1 ơ \z\ ữ.,a„
/ ì a zi — -r — lana„ - a n J-r - - (55)
8 8 ơ 1^4 8 J 12 7 2 j
Thế (51). (54) vào (45) ta cĩ:
P(z) = Azz +(a0A-B)z + Ẩal- a oB + C (56)
Như trẽn đâ biết để tim vận tốc sĩns Rayỉeiơh ta phải tìm nehiệm thực lớn
hơn 1 cùa phươns trình bậc hai P(z)= 0 ưons miền su \ — 1 u {l}.
M
Theo (44) thì phương trình P{z) = 0 cĩ hai nshiệm là :
- I 1 . - B ĩ
“1 ơ < 1 A 4 0 ơ
Vì Z\<1 nên bị loạị
Thay A, B xác định bời (55) vào (57) ta cĩ:
(57)
ơ7 ,/2 + 1:: \aua lz+ ]- {ơ - iịa, -
1 (/^1/2 —/• l-*" ~ (^11^22 — ^1: ) vơ llơ 22 / / 0 = y - Jlogg(/)ế* = - \0{t)dt c c (58) trong đĩ: ơ ơ (59)
Cơne thức (58) chính là cơng thức để tính vận tốc sĩng Rayleieh trong mơi trường đàn hồi, đẳng hướnơ, nén được, cĩ biến d ạ n s trước.
5. Điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của sĩng Rayleigh
Ta sẽ chứng minh định lý về điều kiện cằn và đù đề tồn tại duy nhắt sĩns Rayleigh ưong mịi trường đàn hồi, đẳne hướng, nén được, cĩ biến dạne trước.
Định lý:
Già sứ ỵ. * 0 khi đĩ điểu kiện cần và đù để tồn tại duy nhắt sĩng Rayỉeigh trong
mơi tnrờng đàn hoi, đắng huớng, nén điỉực, cĩ biển dạng tncớc là Ẩ>0. Khi đĩ vận tĩc sĩng Ray leigh đicợc tinh bỏng cơng thức (58).
Chứng minh:
Từ nhừng kết quả ưên ta nhặn thấy:
(i) Sự tồn tại của sĩng Rayleiah trong mơi tnrờnơ đàn hồi đẳna hướnơ. nén được, cĩ biên dạng trước tương đương với A ^ 0 và z >1 ưong đĩ Zo được tính theo cơng thức (58).
(ii) Néu sĩns Ravleiơh tồn tại Ưons mơi trườnơ đàn hồi đẳng hướng, nén được, cĩ biến dạns trước thì nĩ duy nhất.
Cơng thức vận tĩc sĩng Raỵleigh trong mỏi trường đàn hồi 947
đắng hướng, nén được, cĩ biển dạng trước
Sử dụns: (55) và chú ý rằng ơ > 1 ta dễ dàne chứnơ minh được:
B - — >
ơ .2 lơ ơ) (60)
(i) Điểu kiện cần: Giả sử A>0, ta phải chim2 minh sĩr)2 Ravleish tồn tại duy nhất (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
hay Zo>l.
Vì hàm arcta biến thiên từ - Jt / 2 đến 71 / 2 nên theo (50):
< / < - — — (61)
° 2 2(7
Do đĩ từ (61) và chú ý đến A>0 ta suy ra:
ơ \ ơ
Theo (57) suy ra: z0 > 1 / ơ .
Vì hàm F(z) gián đoạn trong khoảng (l /ơ.l) nên phương trình (27) khơng cĩ
nghiệm trong khoảng (l / ơ , l ) , do đĩ z0 Ể ( l / ơ , l ) . Vì zo ( d o ỵ5* 0 ) nên từ đĩ
suy ra Zo>l.
(ii) Điều kiện đừ. Giả sử sĩng mặt Rayleigh tồn tại duy nhất trong mơi trường đàn
hồi đẳng hướng, nén được, cĩ biến dạng trước ta sẽ chứng minh A>0.
Theo nhận xét (i) sĩne Rayleigh tồn tại trons mơi trường đàn hồi đẳng hướng, nén được, cĩ biến dạng trước thi A * 0 và Zo >1.
948 Pham Chi Vinh, Nguy ên Thi Thu
B 1 1 1 1 B 1 T 1 1 T
---- — — o ---- —- I I
A ơ 2 2ơ ơ A ơ 2 2ơ
Mà I0 > -
k2 2 G. suy ra Z o< l, trải với giả thiết Z o> l, do đĩ A>0. Tài liệu tham khảo
[1]. D esữ ade M. (2003). "R ayleigh w aves in sym m etry planes o f crvstals: explicit
secular equarions and some explicit wave speeds". Mech. Materials, 35, 931-939.
[2 ]. M alischew sky p. G. (2000). HC om m ent to "A ne\v íorm ula for velocity o f R ay leish w aves" by D .N kem zi[W ave M otion 2 6 (1 9 9 7 ) 199-205]”. ÌVave Motion, 3 1 ,9 3 -9 6 [3]. M alischew sky p. (2004). "A note on R ayleigh w ave velocities as a íUnction o f the
m aterial param eters". Geo/ỉsica Iníem acionaỉ, 43, 587-509
[4]. M uskhelishvili, N . Ị (1953). Singiilar Integral Equaríons, X oordhoff-G roningen. [5]. X kem zi D. (1997). "A new íorm ula for ửie velocity o f R avleih w aves". IVave
M otion, 26, 199-205.
[6]. O sd e n R. w (1984). Non-linear elasĩic/orm ations, D over publications INC.
[7]. O eden R. w . and Pham , c , V. (2004). "O n R ayleieh vvaves in m com pressible orto ữ o p ic elastic solids". J. Acoust. Soc. Am., 115(2), 530-533.
[8]. P ham c . V. and O sd e n , R. \v . (2004). "O n íorm ulas for ứie R ayleieh w aves sp e ed ”,
ỈVaveMotion, 39, 191-197.
[9]. P ham c . v . and O sd e n R. w . (2004). "Fom ulas for ứie R ayleigh w ave speed in orthoừ opic elastic so lid s”. Ả c h .M e c h56(3), 247-265. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[10]. P ham C hi V inh (2004). "O n a íorm ula for ứie R a y le ish w ave speed in p re-sư essed elastic solids". Proc. 1 h Nat. Conf. on Mech. Def. Bodies, 1009-1018;
[11]. P ham c .V. and O s d e n R .w . (2005). "O n a general íorm ulas for ứie R ay leieh w ave speed in orthotropic elastic solids". Meccannica, 40, 147-161.
[12]. R ayleigh L. (1885). "O n w aves p ro p ae ate d alone ứie plane surface o f the an elastic solids". Proc. Roỵ Soc. London A , 17, 4-11.
[13]. R oxburơh o . G. and O sd e n R. w . (1994). "Stability and V irbration o f pv e-S ư essed com pressible elastic plates". Int. J. Engng. Scị 32, 427-454.
[14]. T ing, T .C .T . (2002). "A unified íorm alism for elastostatic or steady State m otion o f com pressible or m com pressible an iso m p ic elastic m aterials". Int. J. Solids and Structures 39, 5427-5445.
”0r H c n - c c m m e r c t a i rssearcr, a n d e ^ c a : j •or re p ro d u c tio n or d s t n b u t i o n or c o r n me r c r a
-ccĩT;T.erciaỉ re se a rch and e d u catỉon al U3ê in c iiid in g .7
‘ :o- ;r. Ị r s t r u c ĩlo n at yc j:* instUutlor*. ssr:d:
'CUĨ‘S :r-2ĩvcu knovv and provlding a ccp'; :c ,'C-Ú • -
a d r v r v : : “ 3 t o r
. • 0 :'0 n ’ s*.■’ ib J *.: c r -
■ r^rr in:r 5 ạ or iic-Drs'^7 . . . - - :■■■' • -í í- -rsc :
Siie c r e p o s i c o r y . 2- s prohioited. For e x c e p íio n s . 03." T.
ba so u q h t ỉor s u c n u s e througn E ls e v ie r s p-L-^-isĩ.
Available Online at www.sciencedirect.com
ScienceDirect MÌUũẢonúửí
ELSEV1ER L ltrasonics 45 (2tX)ĩ) 7"-xl