Số thực được chia ra làm hai loại, số có nghĩa và số vô nghĩa. Bạn có lẽ cũng sẽ thấy ngạc nhiên, số tại sao lại có sự phân chia ra loại có nghĩa và vô nghĩa nhỉ? Lại cũng giống như con người nói năng, làm việc có công bằng hay không, hợp lý hay không. Thế thì số vô nghĩa là gì, nó được phát hiện như thế nào, về vấn đề này còn có một câu chuyện rất thú vị!
Trong quá trình nhận thức của con người về số, trước tiên là con người tiếp xúc với số tự nhiên 1, 2, 3...., những số này được dùng để biểu thị các số. Nhưng trong cuộc sống thực tế, có những lúc không thể dùng cách đếm số đã tính lượng. Ví dụ như đo độ dài là không thể đếm được, mà khi đo phải lấy độ dài một đơn vi, so sánh giữa độ dài cần đo và độ dài đơn vị khi đó thì có thể sẽ xảy ra phân số. Chúng ta gọi các số chẵn và phân số là số có nghĩa. Nói chung một số có nghĩa được biểu thị bằng hình thức là p/q (q <0), đây còn là “linh cảm” xảy ra trong đo lường!
Vào thế kỷ 6 trư công nguyên, ở Hy Lạp có có một nhà toán học nổi tiếng là Pitago, ông thành lập trường phái Pitago có ảnh hưởng rất sâu rộng. Trường phái này tâm niệm rằng : “Vạn vật trong vũ trụ đều là số”, đương nhiên ở đây là nói tới số có nghĩa, tức là đều là những số được biểu thị dưới dạng p/q.
Một hôm, có người hỏi ông ta : đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1 thì có thể biểu thị bằng sự so sánh giữa số chẵn với số chẵn không?
Căn cứ theo định lý Pitago chúng ta đều biết độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1 là √2. Giả sử căn của 2 là số có nghĩa, tức là √2 có thể biểu thị theo công thức p/q, trong đó p, q hơn kém nhau một đơn vị, vì thế p/q = √2, bình phương hai bên ta có :
p2 = 2q2... (1).
Bởi vì p2 bằng hai lần của số nguyên q2 cho nên có thể thấy p2 phải là số chẵn, từ đó p cũng phải là số chẵn (bởi vì bình phương của số chẵn là số chẵn). Thay p = 2r vào trong công thức (1) ta có : 4r2 = 2q2 tức là 2r2 = q2.
Có thế thấy q2 cũng là một số chẵn, từ đó suy ra q cũng là số chẵn. Bởi vì p và q đều là số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết p và q là hai số hơn kém nhau một đơn vị. Vì thế giả thiết p/q là số có nghĩa không thể thành hiện thực, có nghĩa là √2 là một số vô nghĩa.
Sự xuất hiện của số vô nghĩa tức là số không thể viết được dưới dạng so sánh của số nguyên với số nguyên đã gây kinh ngạc và chấn động cho giới học giả, đây quá là một bước tiến mới trong nhận thức của con người về số.