AC=a SA=a nên 0
45
SCA= . Vậy, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450
.
1.3.7.2.Kỹ thuật 2
Goc Duong Mat
τ − :
Từ 1 điểm trên đường thẳng, tìm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc phụ với góc giữa đường thẳng đó và đường thẳng vuông góc vừa tìm được.
Dùng kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ Duong Duong Goc
T − để xác định góc.
Bài tập 8/SGK_126
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2 […] (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC
[…] e) Tính góc giữa đường thẳng AB và mp(P) Giải: SGV_tr137 J I H B1 H1 D1 C1 C B A D S
Vì AB//CD nên góc α giữa đường thẳng AB và mp(P) bằng góc giữa đường thẳng CD và mp(P). Mặt khác, SC ⊥ (P) nên α và góc SCD phụ nhau. Vậy 0 0 1 1 2 2 2 sin cos , 0 90 4 2 CD a SCD SC a α = = = = < <α
1.3.8. Kiểu nhiệm vụ Mat Mat Goc
T − : Xác định góc giữa hai mặt phẳng
1.3.8.1.Kỹ thuật 1
Goc Mat Mat
τ − :
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Tìm 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng
Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng vừa tìm được.
Dùng kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ Duong Duong Goc
T − để xác định góc.
Bài tập 9/SGK_tr136
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=a, BC=2a. Hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với mp(ABC) và nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng đó. Trên Bx, Cy lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho BB’=a, CC’=m.
[…]b) Khi ∆AB’C’ vuông tại B’, kẻ AH ⊥BC. Chứng minh B’C’H là tam giác vuông, tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’C’).
Giải: SGV_tr139 y x C' B' H B C K A I
[…]Gọi I là giao điểm của B’C’ và BC. Do BB’//CC’, BB’=a, CC’=2a nên BC=BI, B’C’=B’I. Ta có: AI=mp(ABC)∩mp(AB’C’)
Kẻ CK vuông góc với AI. Vì C’C ⊥ mp(ABC) nên C’K ⊥AI Vậy C KC' =ϕ. Ta có tan CC'
CK
ϕ= . Mặt khác CK.AI=IC.AH suy ra: CK IC AH. AI
=
Ta lại có 2 2 2 2 2 3 2
2 . .cos 3 16 2. 3.4 . 7
2
AI =AC +IC − AC AI ACI= a + a − a a = a .Nên AI=a 7 .
Vậy 3 4 . . 2 2 3 7 7 a a IC AH a CK AI a = = = . Từ đó tan 21 3 ϕ= .
1.3.8.2.Kỹ thuật 2
Goc Mat Mat
τ − :
Trường hợp mặt phẳng này chứa 1 đa giác là hình chiếu của đa giác trên mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là αđược tính bằng Sđagiácchiếu=Sđagiác. cosα
Bài tập 9/SGK_tr136
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=a, BC=2a. Hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với mp(ABC) và nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng đó. Trên Bx, Cy lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho BB’=a, CC’=m.
[…]
b) Khi ∆AB’C’ vuông tại B’, kẻ AH ⊥ BC. Chứng minh B’C’H là tam giác vuông, tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’C’).
Giải: SGV_tr139 y x C' B' H B C K A I […]
Tính góc giữa mặt phẳng (ABC) và (AB’C’) khi m=2a.
Xét phép chiếu lên mp(ABC). Ta có tam giác ABC là hình chiếu của tam giác AB’C’. Gọi ϕ là góc giữa mp(ABC) và mp(AB’C’) thì SABC =SAB C' '.cosϕ
Ta có: 2 2 ' ' 1 3 1 10 . ; '. ' ' 2 2 2 2 ABC AB C a a S = AB AC= S = AB B C = Từ đó: cos 22 3 30 10 10 a a ϕ= =
Vậy góc giữa mp(ABC) và mp(AB’C’) là ϕ được tính bởi cos 30 10
Kiểu nhiệm vụ Số lần Kỹ thuật Số lần
Duong Duong Goc
T − 4 τGoc Duong Duong1 − 2
2
Goc Duong Duong
τ − 2
Duong Mat Goc
T − 4 τGoc Duong Mat1 − 3
1
Goc Duong Mat
τ − 1
Mat Mat Goc
T − 3 τGoc Mat Mat1 − 2
2
Goc Mat Mat
τ − 1
1.3.9. Kiểu nhiệm vụ Diem Mat Kc
T − : khoảng cách điểm và mặt phẳng
1.3.9.1.Kỹ thuật 1
Kc Diem Mat
τ − :
Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng:
- Hướng 1: Tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng phù hợp trong mặt phẳng, chứng minh đó chính là hình chiếu của điểm lên mặt phẳng.
- Hướng 2: Giả sử đã tìm được hình chiếu của điểm lên mặt phẳng, xác định vị trí của hình chiếu đó
- Hướng 3: Tìm mặt phẳng chứa điểm và vuông góc mặt phẳng đã cho, tìm hình chiếu của điểm lên giao tuyến của 2 mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là độ dài đoạn thẳng nối từ điểm đến hình chiếu vừa tìm được
Dùng các tính chất, hệ thức lượng trong tam giác để tính khoảng cách.
Hướng 1:
Ví dụ 1/SGK_tr115
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=b,AA’=c a) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’)[…]
H D' C' A' B' B C D A
a) Kẻ BH vuông góc với AC, do BH ⊥ AA’ nên BH ⊥ (ACC’A’) Vậy d B ACC A( ;( ' '))=BH. Ta có BH.AC=BA.BC hay
2 2 ab BH a b = + Hướng 2: Bài tập 2/SGK_tr120
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a, ASB=120 ,0 BSC=60 ,0 CSA=900
a) Chứng tỏ rằng ABC là tam giác vuông b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) Giải: SGV_tr120 B H A C S
b) Kẻ SH ⊥ mp(ABC), do SA=SB=SC nên HA=HB=HC mà ∆ABC vuông tại C nên H là
trung điểm của AB. Ta có: 2 2 2 2 3 2 2
4 4 4 AB a a SH =SA − =a − = , tức là 2 a SH = Hướng 3: Ví dụ 1/SGK_tr115
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=b,AA’=c. […]
c) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’C) và (A’C’D) trong trường hợp a=b=c
Giải: I K' K H D' C' A' B' B C D A
c) Dễ thấy mp(AB’C) và (A’C’D) song song với nhau. Do a=b=c nên ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương. Khi đó, gọi K, K’ lần lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ thì mặt phẳng KK’D’D là mặt phẳng trung trực của A’C’. Từ đó suy ra KK’D’D vuông góc với mặt phẳng (DA’C’). Kẻ KI vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó thì KI
⊥ mp(A’C’D). Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’C’D) bằng KI. Ta có tam giác KK’D vuông tại K nên
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 ' 2 2 KI = KD +KK = a +a =a tức là 3 3 a KI= 1.3.9.2.Kỹ thuật 2 Kc Diem Mat τ − :
Xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là độ dài đường cao của hình chóp nào có đỉnh là điểm đó và đáy là mặt phẳng đã cho
Tìm độ dài đường cao bằng cách sử dụng các tính chất hình học.
Bài tập 32/SGK_tr117
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=AA’=a, AC’=2a. a) Tính khoảng cách từ điểm D đến mp(ACD’)
[…] Giải: SGV_tr115 I K' K H D' C' A' B' B C D A
Xét tứ diện DACD’ có DA, DC, DD’ đôi một vuông góc nên khoảng cách DH từ D đến mp(ACD’) được tính bởi hệ thức
( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 17 _ 3 _ ' bt chuong sgk DH = DA +DC +DD
Ta có: DC=a, DD’=a, AC’2=AC2+CC’2=DA2+DC2+CC’2. Hay 4a2=DA2+a2+a2, tức là DA2 =2a2. Vậy 1 2 52 2 DH = a do đó 10 5 a DH=
1.3.10.Kiểu nhiệm vụ Mat Mat Kc
T − : khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Kỹ thuật τKc Mat Mat− :
Tìm 1 điểm thuộc 1 trong 2 mặt phẳng
Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng còn lại
Bài tập 33/SGK_tr118
Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh đều bằng a. BAD =BAA'=DAA'=600. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A’B’C’D’).
Giải: SGV_tr116 H D' C' A' B' B C D A
Từ giả thiết suy ra các tam giác A’AD, BAD, A’AB là các tam giác cân cùng có góc ở đỉnh bằng 600 nên chúng là các tam giác đều. Như vậy tứ diện A’ABD có các cạnh cùng bằng a hay A’ABD là tứ diện đều.
Khi đó hình chiếu của A’ trên mp(ABCD) chính là trọng tâm H của tam giác đều ABD. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A’B’C’D’) chính là độ dài A’H.
Ta có 2 2 2 2 2 2 3 2 ' ' 3 3 a a A H AA AH a = − = − = . Vậy ' 6 3 a A H=
1.3.11.Kiểu nhiệm vụ Duong Duong Kc
T − : kc 2 đường thẳng chéo nhau
1.3.11.1. Kỹ thuật 1
Kc Duong Duong
τ − :
Tìm mặt phẳng chứa 1 trong 2 đường thẳng và song song với đường thẳng kia.
Chuyển khoảng cách 2 đường thẳng thành khoảng cách giữa mặt phẳng vừa tìm và đường thẳng không chứa trong mặt phẳng đó:
( ), ( ;( )),( ) và ( )
d a b =d a β β ⊃b β a
Dùng các kỹ thuật thuộc kiểu nhiệm vụ Duong Mat Kc
Ví dụ 1/SGK_tr115
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=b,AA’=c. […] b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’
[…] Giải: H D' C' A' B' B C D A
b) BB’ và AC’ chéo nhau mà BB’//(ACC’A’)
nên ( ) ( ( )) ( ( )) 2. 2 '; ' '; ' ' ; ' ' a b d BB AC d BB ACC A d B ACC A a b = = = + 1.3.11.2. Kỹ thuật 2 Kc Duong Duong τ − :
Dựng và chứng minh đoạn vuông góc chung
Kết luận khoảng cách
Dùng các tính chất hình học để tính độ dài của đoạn vuông góc chung.
Trong trường hợp 2 đường thẳng vuông góc và chéo nhau thì bước dựng và chứng minh đoạn vuông góc chung được thực hiện như sau:
− Tìm mặt phẳng chứa 1 trong 2 đường thẳng và vuông góc với đường thẳng còn lại.
− Tìm giao điểm của mặt phẳng vừa tìm và đường thẳng không chứa trong mặt phẳng.
− Tìm hình chiếu của giao điểm trên lên đường thẳng không chứa trong mặt phẳng trên
− Suy ra đoạn vuông góc chung là đoạn thẳng nối giao điểm và hình chiếu.
Ví dụ 2/SGK_tr116
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA ⊥ (ABCD) và SA=a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Giải: O I K H D C B A S a) Ta có AD ⊥ (SBA), kẻ AH ⊥ SB thì AH là đường vuông góc chung của SB và AD. Vậy d AD SB( ; )=AH. Vì AH là đường cao của tam giác
vuông cân SAB nên 2
2 a AH = . Từ đó ( ) 2 ; 2 a d AD SB = 1.3.11.3. Kỹ thuật 3 Kc Duong Duong τ − :
Tìm 2 mặt phẳng lần lượt chứa 2 đường thẳng sao cho 2 mặt phẳng đó song song, từ đó kết luận khoảng cách giữa hai đường thẳng là khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song đó.
Tính khoảng cách.
Bài tập 31/SGK_tr117
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’. Giải: SGV_tr114 G' G D' C' A' B' B C D A
Ta có CD’ nằm trong mp(ACD’) và BC’ nằm trong mp(A’BC’) mà mp(ACD’)//mp(A’BC’) và 2 đường thẳng CD’ và BC’ chéo nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’) bằng khoảng cách giữa CD’ và BC’
Mặt khác D’D cắt hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’) lần lượt tại G, G’ và DG=GG’=G’B’ (bài tập 37, chương 2, SGK). Đường thẳng D’D có hình chiếu trên mp(ABCD) là BD mà AC
⊥ DB nên theo định lí 3 đường vuông góc thì DB’⊥AC; cũng tương tự như trên ta có DB’ ⊥
AD’. Suy ra DB’ ⊥ (ACD’)
Vậy ( ) ' 3
'; '
3 3
DB a
Kiểu nhiệm vụ Số lần Các kỹ thuật Số lần
Diem Mat Kc
T − 6 τ1Kc Diem Mat− (tìm hình chiếu) 5
2 Kc Diem Mat τ − (độ cao hình chóp) 1 Mat Mat Kc T − 3 τKc Mat Mat− 3 Duong Mat Kc T − 1 τKc Duong Mat− 1 Duong Duong Kc T − 10 τ1Kc Duong Duong− 3 2 Kc Duong Duong
τ − (tìm đoạn vuông góc chung) 6
3
Kc Duong Duong
τ − 1
Tổng 20
− Kiểu nhiệm vụ Diem Mat Kc
T − : có 6 bài trong tổng số 20 bài thuộc nhóm kiểu nhiệm vụ Tính khoảng cách, chiếm 30%. Như vậy, đây là một trong những kiểu nhiệm vụ được thể chế quan tâm và kỹ thuật mà thể chế mong đợi hình thành ở HS là
1
Kc Diem Mat
τ − (dựa vào việc tìm hình chiếu), chiếm gần 90%. Bước tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng được xây dựng khá phong phú, tạo nhiều cơ hội lựa chọn cho HS. Tuy nhiên, HS cũng gặp không ít khó khăn. Ở hướng 1, dấu hiệu nào cho phép HS dự đoán được đường thẳng phù hợp (tức là đường thẳng mà hình chiếu của điểm lên nó cũng chính là hình chiếu của điểm lên mặt phẳng), nếu nghi ngờ đường thẳng nào đó là đường thẳng phù hợp thì làm cách nào để thử sai trước khi dùng suy luận chứng minh? Hướng 2 được thực hiện với việc giả sử đã có hình chiếu và công việc của HS là tìm xem hình chiếu đó nằm ở đâu trên hình. Vì quan hệ vuông góc không bảo toàn nên việc dựng hình chiếu trên chỉ mang tính tương đối, vì vậy việc xác định chính xác vị trí của điểm hình chiếu đòi hỏi HS suy luận nhiều, hình vẽ tĩnh không hỗ trợ được gì trong việc dự đoán vị trí cả. Còn hướng 3 dùng đến mặt phẳng phụ, vấn đề ở chỗ là chọn mặt phẳng nào để vừa vuông góc với mặt phẳng đã cho vừa thuận lợi trong việc tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ và mặt phẳng đã cho? − Kiểu nhiệm vụ Mat Mat
Kc
T − : tất cả các câu thuộc kiểu nhiệm vụ này đều được giải quyết bằng kỹ thuật τKc Mat Mat− , chuyển từ khái niệm khoảng cách giữa hai mặt phẳng thành khái niệm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Cũng tương tự như
trên HS sẽ gặp khó khăn do sự hạn chế của hình vẽ tĩnh. − Kiểu nhiệm vụ Duong Duong
Kc
T − : có 10 bài, chiếm 50% tổng số. Rõ ràng đây là một kiểu nhiệm vụ rất được chương trình quan tâm. Hơn nữa kỹ thuật 2
Kc Duong Duong
τ − (tìm
đoạn vuông góc chung) xuất hiện khá nhiều, đây là kỹ thuật duy nhất mang tính độc lập, không thông qua các kỹ thuật của các khoảng cách khác
1.2.Kết luận
− Trong quá trình dạy học tính chất, không có hoạt động nào yêu cầu HS tự vẽ hình để minh họa tính chất hoặc chứng minh tính chất, hình vẽ luôn được SGK cung cấp (cùng với một tính chất hoặc cùng phần chứng minh tính chất). Hình vẽ có sẵn của SGK mang tính chủ quan của người soạn (những yếu tố không theo quy tắc vẽ hình chẳng hạn như quan hệ vuông góc thì được vẽ sao cho thể hiện đúng với kết luận của tính chất). Nói cách khác, theo cách xây dựng của chương trình thì hình vẽ trong việc dạy học hình học không gian chỉ mang tính tượng trưng, minh họa ở cấp độ “nhìn hình”, “đọc hình”, chưa tạo được cơ hội cho HS phát triển kỹ năng dự đoán, tìm tòi. Vì vậy, khi sử dụng phần mềm Cabri 3D, việc đầu tiên GV nghĩ đến là khai thác tính động của phần mềm này, tận dụng khả năng minh họa chính xác của phần mềm để tạo môi trường hỗ trợ cho HS phát hiện, dự đoán, kiểm nghiệm và định hướng suy luận. Điều này đặt ra cho chúng tôi các nghi ngờ:
H: Cabri 3D với tính chất hình cầu kính được GV sử dụng chủ yếu như là một công cụ minh họa trong các tiến trình dạy học.
H: Những kết quả quan sát được từ Cabri 3D chỉ mang tính phỏng đoán và gợi hướng chứng minh.
− Kiểu nhiệm vụ Tìm thiết diện xuyên suốt chương trình hình học không gian lớp 11 với các kiểu nhiệm vụ con phong phú. Đa phần các bài toán tìm thiết diện gắn với các điểm cố định, những bài toán gắn với điểm di động thì kết quả có được của thiết diện đa số là xác định, tức là chỉ ra 1 trường hợp thiết diện. Điều này dẫn chúng tôi đến hợp đồng sau:
GV: có trách nhiệm đưa ra các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi 1 mặt phẳng mà chỉ có một nghiệm hình.
− Điều đó dẫn chúng tôi đến các nghi ngờ: Phần mềm Cabri 3D có thể hỗ trợ như thế nào cho việc dạy học của GV? HS sẽ là người cùng thao tác với GV hay đơn thuần chỉ là người quan sát (thay vì quan sát hình vẽ tĩnh thì bây giờ quan sát hình vẽ động)?
− Riêng với kiểu nhiệm vụ Tìm thiết diện, phần mềm Cabri 3D sẽ được dùng như