Định nghĩa 2.7. Cho V là một không gian Banach, U ⊆V là một tập mở, E : U → R là một hàm khả vi. Giả thiết V được nhúng liên tục trong không gian HilbertH.Khi đó,hệ gradient không autonom liên
kết với E là phương trình vi phân có dạng
˙
u+∇HE(u) = f, (2.5)
trong đó, f ∈ L2Loc(I;H), I ⊆ R là một khoảng (chỉ số dưới "Loc" có nghĩa f là bình phương khả tích trên mọi khoảng con compac của I). Ta gọi hệ gradient này là không autonom vì hàm f phụ thuộc một cách rõ ràng vào biến thời gian.
Nghiệm của hệ gradient (2.5) là một hàm đo được u : I → V sao cho
u ∈ WLoc1,2(I;H)∩L∞Loc(I;V), u(t) ∈ D(∇HE) với hầu hết t ∈ I,
và thỏa mãn đẳng thức (2.5) hầu khắp nơi trên I.
Định nghĩa này của nghiệm nhằm đạt được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm, và bởi bất đẳng thức năng lượng trong đó. Ta chỉ ra rằng các nghiệm theo nghĩa trên là các nghiệm có tính chính quy cực đại theo nghĩa nếu u là nghiệm thì hai số hạng ở vế trái của (2.5) có cùng tính chính qui (bình phương khả tích) như vế phải đã cho.
Từ các định lí nhúng Sobolev (Định lí 1.37), mọi nghiệm là liên tục với giá trị trong X nên giá trị ban đầu trong Định lí 2.5 có nghĩa. Nếu
V = H là hữu hạn chiều và nếu∇HE liên tục (nghĩa là, nếu E khả vi liên tục), thì mọi nghiệm theo nghĩa trên cũng là một nghiệm xác định như trong Mục 1.1.2. Ngược lại, nếu u là một nghiệm theo nghĩa của Mục 1.1.2, thì u là một nghiệm theo nghĩa trên. Điều này có được là do hàm
hợp ∇HE(u) bình phương khả tích (do tính liên tục) và với mọi s, t ∈ I, u(t)−u(s) + Z t s ∇HE(u(τ))dτ = Z t s f(τ)dτ
và từ Bổ đề 1.35. Như vậy, trong trường hợp hữu hạn chiều, cả hai khái niệm nghiệm trùng nhau.
Từ định nghĩa của gradient, u là một nghiệm của (2.5) nếu và chỉ nếu
u ∈ W1,2(I;H)∩L∞(I;V)
và hu, v˙ iH +E0(u)v = hf, viH, ∀v ∈ V và hầu hết t ∈ I. (2.6) Ta gọi (2.6) là dạng biến phân của hệ gradient (2.5).