Với mỗi hàm đo được f : Ω → X và 1 ≤ p≤ ∞, ta đặt ||f||Lp := ( Z Ω ||f||pdµ)1p. Ta cũng đặt ||f||L∞ := inf{C ≥ 0 : µ({||f|| ≥ C}) = 0}.
Với 1 ≤p ≤ ∞ ta định nghĩa
Lp(Ω;X) := {f : Ω → X đo được ||f||Lp < ∞}.
Tương tự như trong trường hợp hàm vô hướng ta có thể thấy rằng Lp(Ω;X) là không gian vec tơ và || · ||Lp đó là nửa chuẩn trên Lp(Ω;X). Nếu ta đặt
Np := {f ∈ Lp(Ω;X) : ||f||Lp = 0}
= {f ∈ Lp(Ω;X) : f = 0 h.k.n} thì không gian thương
Lp(Ω;X) := Lp(Ω;X)/Np := {f +Np : f ∈ Lp(Ω, X)}
trở thành một không gian Banach với chuẩn
||[f]||Lp := ||f||Lp, ([f] = f +Np).
Chuẩn của lớp tương đương [f] được xác định tốt, nghĩa là, nó độc lập với biểu diễn f trong lớp đó. Ta gọi không gian Lp(Ω;X) là không gian Bochner - Lebesgue. Như trong trường hợp vô hướng, ta đồng nhất các hàm f ∈ Lp(Ω;X) với lớp tương đương của nó, [f] ∈ Lp(Ω;X) và ta nói rằng Lp là một không gian hàm. Đặc biệt ta đồng nhất hai hàm nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơi.
Nếu Ω = (a, b) là một khoảng trên R, ta viết:
Lp(a, b;X) := Lp((a, b);X).
Với Ω ⊆ Rd bị chặn và nếu 1≤ q ≤ p < ∞ ta có bao hàm
Đặc biệt, nếu Ω là bị chặn và f là liên tục trên bao đóng Ω thì f thuộc
Lp(Ω;X), ∀1 ≤ p ≤ ∞. Dưới đây là một số kết quả (không chứng minh) về không gian Bochner - Lebesgue được sử dụng trong các bài sau.
Định lý 1.30 (xem [3], Định lý 5.5). Nếu 1≤ p < ∞ và nếu X là tách được thì Lp(Ω;X) là tách được. Chính xác hơn, nếu (hn) ⊆ Lp(Ω) và
(xn) ⊆ X là hai dãy trù mật thì:
F := {f : Ω →X :f = hnxm, n, m ∈ N}
là đếm được và hoàn toàn trong Lp(Ω;X), nghĩa là không gian sinh bởi F trù mật trong Lp(Ω;X). Cho 1 ≤ p < ∞ và gọi p0 = p p−1 là số mũ liên hợp. Theo bất đẳng thức Holder, ∀f ∈ Lp(Ω;X) và ∀g ∈ Lp0(Ω;X0) hàm hf;giX;X0 là khả tích và | Z Ω hf, giX,X0 | ≤ kfkLp(Ω;X)kgkLp0 (Ω;X0). Hơn nữa ||g||Lp0 = sup ||f||Lp≤1 | hf, giX,X0 |.
Như vậy, tương tự như trong trường hợp vô hướng ta có thể đồng nhất
Lp0(Ω;X0) với một không gian con đóng của Lp(Ω;X)0. Ánh xạ tuyến tính cho tương ứng mỗi g ∈ Lp0(Ω;X0) với một dạng tuyến tính liên tục
f → R
Ω
hf, gi là một đẳng cự. Tuy nhiên, khác với trường hợp vô hướng, ánh xạ này nói chung không phải là toàn ánh, ngay cả khi p < ∞. Việc đồng nhất Lp(Ω)0 ∼= Lp0(Ω) (khi p < ∞) là không còn đúng cho không
gian Bochner - Lebesgue nói chung, nghĩa là ta không có sự đồng nhất đầy đủ của không gian đối ngẫu của Lp(Ω;X) với không gian Bochner - Lebesgue. Tuy nhiên các kết quả sau đây là đúng.
Định lý 1.31 (xem [3], Định lý 5.6). Ta có
a) Nếu 1≤ p < ∞ và X phản xạ thì Lp(Ω;X)0 ∼= Lp0(Ω;X0).
b) Nếu 1 < p < ∞ và X phản xạ thì không gian Lp(Ω;X) cũng phản xạ. c) Nếu H là không gian Hilbert thì không gian L2(Ω;H) là không gian Hilbert với tích vô hướng
hf, giL2(Ω;H) :=
Z
Ω
hf, giH , f, g ∈ L2(Ω;H).