Cho U ⊆ V là một tập mở, E : U →R là một hàm. Ta nói rằng E là khả vi nếu với mỗi u ∈ U, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục
u0 ∈ V0 sao cho:
lim
||h||V→0
E(u+h)− E(u)−(u0, h)
||h||V = 0.
Phiếm hàm u0 ∈ V0, nếu nó tồn tại là duy nhất. Đạo hàm của E là hàm E0 : U → V0 cho tương ứng mỗi u ∈ U với phiếm hàm tuyến tính u0 ∈ V0 thỏa mãn đẳng thức trên. Ta kí hiệu đạo hàm của E tại điểm u là E0(u). Ta nói E là khả vi liên tục nếu E khả vi và đạo hàm E0 : U → V0 cũng liên tục. Tập tất cả các hàm khả vi liên tục U →R là một không gian vecto được kí hiệu bởi C1(U).
Cho H là một không gian Hilbert với tích vô hướng h·,·iH và chuẩn tương ứng k · kH. Giả thiết V được nhúng liên tục và trù mật trong H. Nghĩa là ta đồng nhất V với một không gian con trù mật của H (qua đơn ánh V →H) và tồn tại C ≥0 sao cho
kukH ≤ CkukV, ∀u∈ V.
Ta viết V ,→H.
∇HE đối với tích vô hướng h·,·iH bởi
D(∇HE) := {u ∈ U : ∃v ∈ H sao cho E0(u)ϕ = hv, ϕiH, ϕ ∈ V} và ∇HE(u) := v.
Tức là, ∇HE(u) là phần tử duy nhất trong H (nếu tồn tại) biểu diễn đạo hàm E0(u) theo tích vô hướng trong H
E0(u)ϕ = h∇HE(u), ϕiH, ∀ϕ ∈ V. (2.1) Từ "nếu tồn tại" trong định nghĩa trên là quan trọng. Nó đánh dấu một sự khác biệt so với gradient trong không gian hữu hạn chiều. Thực tế chúng ta xét hai không gian V và H nên ta cần phải xác định miền xác định D(∇HE) của gradient ∇HE. Miền này nói chung chứa thực sự trong U; không phải mọi đạo hàm E0(u) đều có biểu diễn bởi một phần tử thuộc H (vì E0(u) ∈ V0 ⊃ H0 = H).
Khi V nhúng liên tục và trù mật trongH, thì H0 nhúng liên tục trong
V0; hạn chế trên V của một phiếm hàm tuyến tính liên tục H →R cho ta một phiếm hàm tuyến tính liên tục V → R. Phép tương ứng đó xác định một toán tử từ H0 → V0 là tuyến tính, liên tục và đơn ánh do V
trù mật trong H. Tuy nhiên nói chung phép nhúng H0 → V0 không toàn ánh, tức là không phải mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục u0 ∈ V0 đều thác triển được thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H. Do đó, có thể tồn tại E0(u) ∈ V0 nhưng không thác triển liên tục được lên H.
Nếu u0 ∈ V0 có thể thác triển liên tục lên H, tức là u0 ∈ H0 thì nó có thể biểu diễn bởi một phần phần tử u ∈ H. Theo định lý biểu diễn Riesz (xem [2], Định lý 2.23 ), phần tử u ∈ U thuộc miền D(∇HE) khi
và chỉ khi E0(u) có thể thác triển liên tục lên H.
Tương tự như trên, ta có thể định nghĩa gradient đối với một metric. Kí hiệu L2(H;R) là không gian tất cả các dạng song tuyến tính bị chặn:
a : H ×H → R, tức là: ∀u, v, w ∈ H và ∀λ ∈ R ta có
a(λu+v, w) =λa(u, w) +a(v, w),và
a(u, λv+w) =λa(u, v) + a(u, w),
và ∃C ≥ 0 : |a(u, v)| ≤CkukHkvkH, ∀u, v ∈ H.
L2(H,R) là không gian tuyến tính với phép cộng và phép nhân với vô hướng thông thường. Hơn nữa, nó là không gian Banach với chuẩn
kak:= sup
kukH≤1
kvkH≤1
ka(u, v)k.
Bên cạnh sự hội tụ theo chuẩn trong L2(H,R) ta cũng xét cả sự hội tụ mạnh của dãy. Ta nói dãy (an) ∈ L2(H,R) hội tụ mạnh tới phần tử
a ∈ L2(H,R) nếu
lim
n→∞an(u, v) =a(u, v), ∀u, v ∈ H.
Rõ ràng mọi dãy hội tụ theo chuẩn trong L2(H,R) đều hội tụ mạnh. Tập tất cả các tích vô hướng trên H, kí hiệu là Inner(H), là một tập con của L2(H,R) nên ta có khái niệm hội tụ theo chuẩn và sự hội tụ mạnh của dãy các tích vô hướng.
Một metric trên tập con mở U ⊆ V là một hàm g : U → Inner(H),
ánh xạ mọi dãy hội tụ theo chuẩn thành dãy hội tụ mạnh, tức là nếu
un, u ∈ U và lim
Với mọi u ∈ U tích vô hướng g(u) và chuẩn tương ứng cũng được kí hiệu bởi h·,·ig(u) và k · kg(u).
Định nghĩa 2: Cho hàm khả vi E : U → R và cho một metric g, ta định nghĩa gradient ∇gE đối với g bởi
D(∇gE) :=
n
u ∈ U : ∃v ∈ H sao cho E0(u)ϕ = hv, ϕig(u), ∀ϕ∈ V
o
và
D(∇gE) := v.
Tức là ∇gE(u) là phần tử duy nhất trong H (nếu tồn tại) biểu diễn đạo hàm E0(u) đối với tích vô hướng h·,·ig(u) :
E0(u)ϕ= h∇gE(u), ϕig(u), ∀ϕ ∈ V. (2.2) Nếu với mỗiu ∈ U, tích vô hướngh·,·ig(u) tương đương với tích vô hướng h·,·iH thì phần tử u ∈ D(∇gE) khi và chỉ khi đạo hàm E0(u) có thác triển liên tục lên H.