một chiều
Định nghĩa 1.32. ChoX là không gian Banach thực,−∞ ≤ a < b ≤ ∞ và p ∈ [1,∞]. Không gian Bochner-Sobolev trên (a, b) là không gian:
W1,p(a, b;X) :={u ∈ Lp(a, b;X),∃v ∈ Lp(a, b;X)
sao cho với mọi ϕ ∈ Cc1(a, b) ta có
b Z a uϕ0 = − b Z a vϕ}.
Rõ ràng, hàm v được xác định duy nhất nếu nó tồn tại. Ta viết u0 := v
và ta gọi u0 là đạo hàm yếu của u. Không gian W1,p(a, b;X) là không gian Banach với chuẩn
||u||W1,p := (||u||pLp + ku0kpLp)1p nếu 1 ≤p < ∞ và kukW1,∞ := sup{kukL∞,ku0kL∞}.
Ánh xạ tuyến tính
T : W1,p(a, b;X) →Lp(a, b;X)×Lp(a, b;X), u 7→ (u, u0)
cho thấyW1,p(a, b;X)đẳng cấu với một không gian con đóng củaLp(a, b;X)×
Lp(a, b;X). Từ đây và Định lý 1.30 và 1.31 ta có được những tính chất sau của không gian Bochner - Sobolev.
Định lý 1.33 (Xem [3], Định lý 5.7). a. Nếu 1 ≤ p < ∞ và X tách được, thì W1,p(a, b;X) tách được.
b. Nếu 1 < p < ∞ và X phản xạ thì không gian W1,p(a, b;X) cũng phản xạ.
c. NếuH là không gian Hilbert thì không gianH1(a, b;H) := W1,2(a, b;H)
là không gian Hilbert với tích vô hướng: hu, viH1(a,b;H) := b Z a hu, viH + b Z a hu0, v0iH , u, v ∈ H1(a, b;H).
Bổ đề 1.34 (Xem [3], Bổ đề 5.8). Cho u ∈ W1,p(a, b;X) sao cho u0 = 0.
Khi đó u là hằng số hầu khắp nơi.
Bổ đề 1.35 (Xem [3], Bổ đề 5.9). Cho (a, b) là một khoảng bị chặn,
t0 ∈ [a, b], g ∈ Lp(a, b;X) và đặt u(t) := t
R
t0
g(s)ds, t ∈ [a, b]. Khi đó
u ∈ W1,p(a, b;X) và u0 = g.
Định lý 1.36 (Xem [3], Định lý 5.10). Cho (a, b) là một khoảng bị chặn và u ∈ W1,p(a, b;X). Khi đó tồn tại một hàm liên tục u˜ : [a, b] → X
bằng với u hầu khắp nơi và với ∀s, t ∈ [a, b], ˜ u(t)−u(s) =˜ t Z s u0(r)dr.
Định lý 1.37 (Định lý nhúng Sobolev, xem [3], Định lý 5.11). Cho (a, b)
là một khoảng bị chặn. Khi đó W1,p(a, b;X) chứa trong C([a, b];X) và tồn tại hằng số C ≥0 sao cho
||u||L∞ ≤C||u||W1,p, ∀u ∈ W1,p(a, b;X).
Định lý 1.38 (Đạo hàm của tích và tích phân từng phần, xem [3], Định lý 5.12). Cho (a, b) là một khoảng bị chặn, cố định 1≤ p≤ ∞ và giả sử
u ∈ W1,p(a, b;X), v ∈ W1,p(a, b). Ta có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a. (Đạo hàm của tích) Tích uv thuộc W1,p(a, b;X) và
(uv)0 = u0v+ uv0. b. (Tích phân từng phần) b Z a u0v = u(b)v(b)−u(a)v(a)− b Z a uv0.
Với mỗi 1 ≤ p ≤ ∞ và ∀k ≥ 2, ta định nghĩa quy nạp không gian Bochner - Sobolev cấp k
Wk,p(a, b;X) := u ∈ W1,p(a, b;X) : u0 ∈ Wk−1,p(a, b;X) .
Không gian này là không gian Banach với các chuẩn kukWk,p := k X j=0 ku(j)kpLp !1p nếu 1≤ p < ∞ và kukW1,∞ := sup n kukL∞,ku0kL∞, ...,ku(k)kL∞ o .
Nếu H là một không gian Hilbert, thì Hk(a, b;X) := Wk,2(a, b;H) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
hu, viHk := k X j=0 D u(j), v(i) E L2.
Cuối cùng ta định nghĩa
W01,p(a, b;X) := C1
c(a, b;X)k·kW1,p
và ta đặt H01(a, b;X) := W01,2(a, b;H).
Định lý 1.39 (xem [3], Định lý 5.13). Cho (a, b) là một khoảng bị chặn,
u ∈ W1,p(a, b;X). Khi đó u ∈ W01,p(a, b;X) nếu và chỉ nếuu(a) =u(b) = 0.
Định lý 1.40 (Bất đẳng thức Poincaré, xem [3], Định lý 5.14). Cho
(a, b) là một khoảng bị chặn và 1≤ p < ∞. Khi đó, tồn tại một hằng số
λ >0 sao cho λ b Z a kukp ≤ b Z a ku0kp, ∀u ∈ W01,p(a, b;X).
Chương 2
Sự tồn tại và nghiệm của hệ
gradient trong không gian vô hạn chiều