Mục này đề cập tới một ví dụ về gradient của một hàm khả vi, không toàn phương liên kết với bài toán biên Dirichlet đối với toán tử
p−Laplace. Cho Ω ⊆ Rd là tập mở, p > 1. Xét không gian Banach
V = W01,p(Ω), E :W01,p(Ω) →R xác định bởi E(u) = 1 p Z Ω |∇u|p, u ∈ W01,p(Ω).
Hàm này không phải là dạng toàn phương (trừ khi p= 2), nhưng ta vẫn có thể chứng minh được rằng nó khả vi liên tục và tính đạo hàm của nó.
Định lý 2.5. Hàm E khả vi liên tục và E0(u)v = Z Ω |∇u|p−2∇u∇v, ∀u, v ∈ W01,p(Ω). (2.3) Hơn nữa, E và E0 ánh xạ các tập bị chặn thành các tập bị chặn.
Chứng minh. Xét hàm F : Ω×Rd → R cho bởi F(x, u) = 1
p|u|p. Khi đó
F(x,0) = 0 và F khả vi liên tục. Kí hiệu ∂F
∂u(x, u) là đạo hàm của hàm F(x,·) tại u ∈ Rd thì
∂F
∂u(x, u)v = |u|p−2uv và |∂F
∂u(x, u)| = |u|p−1, ∀u, v ∈ Rd.
Do đó hàm F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.6 dưới đây. Theo Định lý 2.6, hàm F : Lp(Ω,Rd) → R cho bởiF(u) = R
Ω F(x, u(x))dx khả vi liên tục và F0(u)v = Z Ω |u|p−2uv, ∀u, v ∈ Lp(Ω;Rd).
Ta có kết luận của Định lý 2.5 với hàm E là hợp của F và ánh xạ tuyến tính liên tục L : W01,p(Ω)→ Lp(Ω,Rd), u 7→ ∇u. Tức là E = F ◦ L.
Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục đều khả vi liên tục, nên E cũng là khả vi liên tục. Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta có (2.3).
Do F và F0 ánh xạ các tập bị chặn thành các tập bị chặn (Định lý 2.6) và L bị chặn, nên E và E0 cũng ánh xạ các tập bị chặn thành các tập bị chặn.
Tiếp theo, ta xét không gian Banach V = W01,p(Ω)∩L2(Ω) với chuẩn kukV := kukW1,p +kukL2
và không gian Hilbert H = L2(Ω) với chuẩn thông thường. Khi đó V
được nhúng liên tục và trù mật trong L2(Ω) và trong W01,p(Ω). Theo Định lý 2.5, hạn chế của E lên V là hàm khả vi liên tục, E và E0 ánh xạ các tập bị chặn thành các tập bị chặn và
E0(u)v =
Z
Ω
|∇u|p−2∇u∇v, ∀u, v ∈ V.
Gradient của E đối với tích vô hướng thông thường trên L2 là toán tử
D(∇L2E) ={u ∈ V : ∃v ∈ L2(Ω) sao cho ∀ϕ ∈ V ta có : Z Ω |∇u|p−2∇u∇ϕ = Z Ω vϕ}, ∇L2E(u) =v.
Ta kí hiệu DΩ∆p := −∇L2E và gọi là toán tử Dirichlet - p−Laplace trên L2(Ω). Tên gọi này có một số lí do sau đây:
Toán tử p−Laplace là toán tử vi phân tác động vào hàm u : Ω → R xác định bởi
∆pu := div(|∇u|p−2∇u).
Chú ý là ∆2 bằng toán tử Laplace ∆. Xét bài toán giá trị biên
−∆pu = f trong Ω
u = 0 trên ∂Ω,
(2.4)
trong đó f ∈ L2(Ω) là hàm đã cho. Ta gọi hàm u ∈ W01,p(Ω)∩L2(Ω) là nghiệm yếu của bài toán này nếu với mỗi ϕ∈ W01,p(Ω)∩L2(Ω) ta có
Z Ω |∇u|p−2∇u∇ϕ= Z Ω f ϕ.
Từ đây, định nghĩa của toán tử Dirichlet - p−Laplace, và từ Định lý 2.5 ta thấy u là nghiệm yếu của bài toán (2.4) khi và chỉ khi DΩ∆pu = f.
Định lý 2.6 (Xem [3], Định lý 4.3). Cho Ω ⊆ Rd là tập mở và 1 < p <
∞. Giả sử F : Ω×Rm → R (m ≥1) là hàm đo được sao cho
F(x, .) khả vi liên tục với mọi x ∈ Ω và
tồn tại C1 ∈ Lp0(Ω), C2 ∈ L1(Ω), C ≥0 sao cho | ∂
∂uF(x, u)| ≤C1(x) +C|u|p−1, ∀x ∈ Ω, u ∈ Rm và |F(x,0)| ≤ C2(x), ∀x∈ Ω,
trong đó p0 = p
p−1. Khi đó hàm F : Lp(Ω;Rm) → R cho bởi F(u) = Z Ω F(x, u)dx, u ∈ Lp(Ω;Rm) khả vi liên tục và F0(u)v = Z Ω ∂ ∂uF(x, u(x))v(x)dx, ∀u, v ∈ Lp(Ω;Rm). Hơn nữa, F và F0 ánh xạ các tập bị chặn thành các tập bị chặn.
2.2. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của hệ gra-
dient
2.2.1. Hệ gradient không autonom
Định nghĩa 2.7. Cho V là một không gian Banach, U ⊆V là một tập mở, E : U → R là một hàm khả vi. Giả thiết V được nhúng liên tục trong không gian HilbertH.Khi đó,hệ gradient không autonom liên
kết với E là phương trình vi phân có dạng
˙
u+∇HE(u) = f, (2.5)
trong đó, f ∈ L2Loc(I;H), I ⊆ R là một khoảng (chỉ số dưới "Loc" có nghĩa f là bình phương khả tích trên mọi khoảng con compac của I). Ta gọi hệ gradient này là không autonom vì hàm f phụ thuộc một cách rõ ràng vào biến thời gian.
Nghiệm của hệ gradient (2.5) là một hàm đo được u : I → V sao cho
u ∈ WLoc1,2(I;H)∩L∞Loc(I;V), u(t) ∈ D(∇HE) với hầu hết t ∈ I,
và thỏa mãn đẳng thức (2.5) hầu khắp nơi trên I.
Định nghĩa này của nghiệm nhằm đạt được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm, và bởi bất đẳng thức năng lượng trong đó. Ta chỉ ra rằng các nghiệm theo nghĩa trên là các nghiệm có tính chính quy cực đại theo nghĩa nếu u là nghiệm thì hai số hạng ở vế trái của (2.5) có cùng tính chính qui (bình phương khả tích) như vế phải đã cho.
Từ các định lí nhúng Sobolev (Định lí 1.37), mọi nghiệm là liên tục với giá trị trong X nên giá trị ban đầu trong Định lí 2.5 có nghĩa. Nếu
V = H là hữu hạn chiều và nếu∇HE liên tục (nghĩa là, nếu E khả vi liên tục), thì mọi nghiệm theo nghĩa trên cũng là một nghiệm xác định như trong Mục 1.1.2. Ngược lại, nếu u là một nghiệm theo nghĩa của Mục 1.1.2, thì u là một nghiệm theo nghĩa trên. Điều này có được là do hàm
hợp ∇HE(u) bình phương khả tích (do tính liên tục) và với mọi s, t ∈ I, u(t)−u(s) + Z t s ∇HE(u(τ))dτ = Z t s f(τ)dτ
và từ Bổ đề 1.35. Như vậy, trong trường hợp hữu hạn chiều, cả hai khái niệm nghiệm trùng nhau.
Từ định nghĩa của gradient, u là một nghiệm của (2.5) nếu và chỉ nếu
u ∈ W1,2(I;H)∩L∞(I;V)
và hu, v˙ iH +E0(u)v = hf, viH, ∀v ∈ V và hầu hết t ∈ I. (2.6) Ta gọi (2.6) là dạng biến phân của hệ gradient (2.5).
2.2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ gradientvới năng lượng lồi với năng lượng lồi
Cho E : V →R là một hàm. Ta nói rằng E là lồi nếu
E(λu+ (1−λ)v) ≤ λE(u) + (1−λ)E(v), ∀u, v ∈ V, λ ∈ [0,1].
Hơn nữa, ta nói rằng E là bức nếu với mọi c ∈ R tập mức dưới Kc =
{u ∈ V : E(u) ≤ c} là bị chặn trong V.
Kết quả sau về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho hệ gradient (2.5) với giá trị ban đầu là kết quả chính của mục này và là kết quả chìa khóa trong nghiên cứu của hệ gradient. Ta nói rằng đó là một kết quả về sự tồn tại toàn cục vì nó khẳng định sự tồn tại nghiệm trên khoảng xác định của vế phải f. Chú ý rằng khoảng này là bị chặn, tức là T < ∞. Định lý 2.8. Giả sử rằng V là một không gian Banach tách được, phản xạ và giả sử rằng E : V → R là một hàm khả vi liên tục, lồi, bức
và E0 ánh xạ các tập bị chặn thành các tập bị chặn. Khi đó, mỗi f ∈
L2(0, T;H) (T < ∞) và u0 ∈ V, hệ gradient với giá trị ban đầu
˙ u+∇HE(u) = f u(0) = u0 (2.7)
có nghiệm duy nhất u ∈ W1,2(0, T;H) ∩ L∞(0, T;V). Đối với nghiệm này, với mọi t ∈ [0, T] ta có bất đẳng thức năng lượng
t Z 0 ||u˙||2H +E(u(t)) ≤ E(u0) + t Z 0 hf,u˙iH. (2.8) Tính duy nhất
Tính duy nhất nghiệm là một hệ quả của tính khả vi và lồi của E và Bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.9. Cho E : V → R là một hàm lồi, khả vi trên không gian Banach V. Khi đó, với mọi u, v ∈ V,
hE0(u)− E0(v), u−viV0,V ≥ 0.
Chứng minh. Do tính lồi, với mọi u, v ∈ V và ∀λ ∈ (0,1)
E(u+λ(v −u)) ≤ (1−λ)E(u) + λE(v).
Vì vậy:
E(u+λ(v −u))− E(u)
λ ≤ E(v)− E(u).
Cho λ →0 trong bất đẳng thức này ta có
Thay đổi vai trò của u và v, ta có
hE0(v), u−viV0,V ≤ E(u)− E(v).
Từ hai bất đẳng thức vừa nhận được ta có điều phải chứng minh. Chứng minh. (Chứng minh của Định lí 2.8 - Tính duy nhất)
Giả sử u1 và u2 là hai nghiệm của (2.7). Khi đó, theo Bổ đề 2.9, với hầu hết t ∈ [0, T], 1 2 d dt||u1(t)−u2(t)||2H = hu1(t)−u2(t),u˙1(t)−u˙2(t)iH = − hu1(t)−u2(t),∇HE(u1(t))− ∇HE(u2(t))iH = − hu1(t)−u2(t),E0(u1(t))− E0(u2(t))iV,V0 ≤0.
Kết quả là với hầu hết t ∈ [0, T],
||u1(t)−u2(t)||2H ≤ ||u1(0)−u2(0)||2H = 0,
và do đó u1 = u2. Sự tồn tại
Sự tồn tại nghiệm của hệ gradient (2.7) được chứng minh bằng cách lập một dãy các nghiệm của hệ gradient xấp xỉ trên không gian hữu hạn chiều, bằng cách lấy một dãy con hội tụ, và chứng tỏ rằng giới hạn là một nghiệm mà ta đang tìm kiếm. Đối với phần tồn tại trong chứng minh của Định lí 2.8, ta cần hai kết quả về tính compact sau đây.
Cho một không gian BanachX,ta nói rằng dãy(un) ⊆ X là hội tụ yếu tới một phần tửu ∈ X (và viết un * u) nếu ∀u0 ∈ X0, lim
hu0, uiX0,X. Nếu X là không gian Hilbert với tích vô hướng h·,·iX, thì từ Định lí biểu diễn Riesz,un * u nếu và chỉ nếu∀v ∈ X, lim
n→∞hun, viX =
hu, viX.
Gọi X0 là không gian đối ngẫu của X. Ta nói rằng một dãy (u0n) ⊆ X0
là hội tụ yếu* tới một phần tử u0 ∈ X0 (và viết un0 −−→yếu* u0) nếu ∀u ∈
X, lim
n→∞hu0n, uiX0,X = hu0, viX0,X.
Định lý 2.10. a) (Banach - Alaoglu) Cho X là một không gian Banach tách được. Khi đó mọi dãy bị chặn trong X0 đều có một dãy con hội tụ yếu*.
b) Mọi dãy bị chặn trong không gian Hilbert đều có một dãy con hội tụ yếu.
Chứng minh. (Chứng minh của Định lí 2.8 - Sự tồn tại) Để chứng minh sự tồn tại nghiệm, ta sử dụng cái gọi là xấp xỉ Ritz/ Ritz - Galerkin/ Faedo - Galerkin.
Ta xét một dãy các hệ gradient thích hợp trên không gian con hữu hạn chiều phù hợp của V, mà sự tồn tại địa phương được biết. Khi đó, bằng cách đánh giá năng lượng, ta thấy rằng những bài toán xấp xỉ có nghiệm toàn cục. Các đánh giá nghiệm cũng được sử dụng để trích ra dãy con hội tụ yếu và hội tụ yếu*. Cuối cùng ta chứng minh rằng giới hạn yếu là một nghiệm của hệ gradient (2.7). Thực tế cho thấy, khi các đánh giá năng lượng, cấu trúc gradient của bài toán có vai trò đặc biệt quan trọng.
Phần 1: (Xây dựng các bài toán xấp xỉ trong không gian hữu hạn chiều)
Cho wn là một dãy tùy ý trong V sao cho Span{wn : n≥ 1} là trù mật trong V, dãy như thế tồn tại vì V là tách được.
Với mỗi m ∈ N, ta đặt
Vm = Span{wn : 1 ≤ n ≤ m},
và ta chọn um0 ∈ Vm sao cho
lim
m→∞um0 = u0 trong V.
Điều này có thể vì ∪mVm là trù mật trong V và vì Vm ⊆ Vm+1.
Với mỗi m ∈ N, ta xét bài toán biến phân tìm um ∈ WLoc1,2([0, Tm) ;Vm)
sao cho hu˙m, viH +E0(um)v = hf, viH ,∀v ∈ Vm và hầu hết t ∈ (0, Tm), um(0) = um0 . (2.9)
Bài toán (2.9) tương đương với bài toán tìm một nghiệmum ∈ Wloc1,2([0, Tm) ;Vm)
của hệ gradient không autonom
˙ um +∇HmEm(um) =Pmf um(0) = um0 , (2.10)
trong đó Em là hạn chế của E. Trên Vm, Hm = Vm được trang bị với tích vô hướng cảm sinh từ tích vô hướng trên H,∇HmEm là gradient của Em trong Vm đối với tích vô hướng h·,·iH, và Pm : H → H là phép chiếu trực giao từ H lên mỗi Vm theo tích vô hướng h·,·iH. Vì Vm là hữu hạn chiều, nên với mỗi u ∈ Vm, gradient ∇HmEm(u) tồn tại và thuộc Vm.
Theo Hệ quả cuả Định lí Carathéodory (Hệ quả 1.21), bài toán (2.10) có nghiệm cực đại um ∈ WLoc1,2([0, Tm) ;Vm) (nên nhớ rằng các nghiệm
theo nghĩa của Định lí Carathéodory là khả vi yếu). Nghiệm cực đại có nghĩa là hoặc Tm = T hoặc Tm < T và nghiệm um không thể mở rộng lên bất kì khoảng nào lớn hơn.
Phần 2 (Đánh giá nghiệm um của bài toán xấp xỉ): Ta chứng minh rằng nghiệm cực đại um là toàn cục, nghĩa là Tm = T và dãy (um) bị chặn trong một không gian hàm thích hợp. Phần này cơ bản lặp lại lập luận từ chứng minh của Định lí 1.23.
Ta nhân phương trình (2.10) với um˙ theo tích vô hướng h·,·iH (hoặc lấy v = ˙um trong (2.9)), tích phân kết quả vừa nhận được trên [0, t](t ∈
(0, Tm)) và áp dụng Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz để nhận được.
t Z 0 ||u˙m(s)||2Hds+E(um(t))− E(um0 ) = t Z 0 hf(s),u˙m(s)iH ds (2.11) ≤ 1 2 t Z 0 ||f(s)||2Hds+ 1 2 t Z 0 ||um(s)˙ ||2Hds. Vì lim
m→∞um0 = u0 trongV,và vìE là liên tục nên ta có lim
m→∞E(um0 ) =E(u0).
Nói riêng dãy (E(um0 )) là bị chặn. Vì vậy, tồn tại một hằng số C ≥ 0
không phụ thuộc vào m sao cho ∀t ∈ (0, Tm),
1 2 t Z 0 ||u˙m(s)||2Hds+E(um(t)) ≤ C + 1 2 T Z 0 ||f(s)||2Hds. (2.12)
Vế phải của bất đẳng thức này không phụ thuộc vào m và t∈ (0, Tm), và số hạng đầu tiên của vế trái là dương. Điều này suy ra tập
{um(t) : m ∈ N, t ∈ (0, Tm)} được chứa trong một tập mức dưới Kc, với c := C + 12
T
R
0
||f(s)||2
Do tính bức của E nên Kc là bị chặn trong V và do đó sup m∈N sup t∈[0,Tm) ||um(t)||V ≤ ∞.
Vì hàm E liên tục, lồi, và bức nên E là bị chặn dưới. Từ bất đẳng thức (2.12) ta suy ra
sup m∈N
||u˙m||L2(0,Tm;H) < ∞.
Vì Tm ≤ T là hữu hạn, suy ra với mỗi m ∈ N, hàm u˙m là khả tích trên
[0, Tm). Vì vậy, um mở rộng thành một hàm liên tục trên khoảng đóng
[0, Tm]. Theo Định lí Carathéodory và định nghĩa của nghiệm cực đại suy ra Tm = T, nghĩa là um là toàn cục.
Từ hai bất đẳng thức trên và phép nhúng liên tục V ,→ H ta nhận được
(um) là bị chặn trong W1,2(0, T;H)∩L∞(0, T;V). (2.13) Theo giả thiết, đạo hàm E0 : V → V0 ánh xạ các tập bị chặn thành các tập bị chặn, nên từ tính bị chặn của (um) trong L∞(0, T;V) suy ra
(E0(um)) là bị chặn trong L∞(0, T;V0).
Phần 3 (Trích một dãy con hội tụ) Không gian W1,2(0, T;H) là một không gian Hilbert và các không gian L∞(0, T;V) ∼= L1(0, T;V0)0 và
L∞(0, T;V0) =∼ L1(0, T;V)0 là các không gian đối ngẫu do tính phản xạ của V (và V0) và Định lí (1.31). Hơn nữa, không gian L1(0,1;V0) và
L1(0,1;V) tách được (theo Định lí (1.30)). Vì vậy, theo Định lí 2.10, tồn tại u ∈ W1,2(0, T;H), v ∈ L∞(0, T;V), χ ∈ L∞(0, T;V0) và dãy con của
(um) (vẫn kí hiệu là (um)) sao cho
um * u trong W1,2(0, T;H), um −−→yêú* v trong L∞(0, T;V) và E0(um) −−→yêú* χ trong L∞(0, T;V0).
Dễ thấy u ∈ W1,2(0, T;H) ∩ L∞(0, T;V) và u = v. Hơn nữa, mọi toán tử tuyến tính liên tục giữa hai không gian Hilbert đều ánh xạ các dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ yếu. Vì toán tử W1,2(0, T;H) →
L2(0, T;H), u → u˙ và các ánh xạ tính giá trị tại điểm W1,2(0, T;H) →
H, u → u(0) và W1,2(0, T;H) → H, u → u(T) là tuyến tính và liên tục (tính liên tục của ánh xạ tính giá trị tại điểm có thể suy ra từ Định lí nhúng Sobolev 1.37) nên sự hội tụ yếu của (um) trong W1,2(0, T;H) kéo theo
˙
um * u˙ trong L2(0, T;H), um(0) * u(0) trong H và
um(T) * u(T) trong H.
Sự hội tụ yếu và hội tụ yếu* trong các không gian hàm trên tương ứng
có nghĩa là
T
Z
0
hv, umiV0,V →
T
Z
0
hv, uiV0,V , ∀v ∈ L1(0, T;V0),
T
Z
0
hu˙m, viH →
T
Z
0
hu, v˙ iH, ∀v ∈ L2(0, T;H), và (2.14)
T
Z
0
hE0(um), viV0,V →
T
Z
0
hχ, viV0,V , ∀v ∈ L1(0, T;V).
Phần 4 (Chứng minh u là một nghiệm): Trước hết ta đã thấy rằng
um(0) * u(0) trong H. Mặt khác, um(0) = um0 do (2.9) và um0 → u0
trong V, theo cách chọn dãy (um0 ). Vì V được nhúng liên tục vào H, nên
u(0) = u0, nghĩa là, u thỏa mãn điều kiện ban đầu trong (2.7). Ta chỉ còn phải chỉ ra rằng u cũng thỏa mãn phương trình vi phân.
Lấy w ∈ Vm và ϕ ∈ L2(0, T). Với mọi n ≥ m ta nhân phương trình (2.10) với ϕ(·)w theo tích vô hướng h·,·iH, tích phân trên khoảng (0, T)
ta được T Z 0 hu˙n(t), ϕ(t)wiH dt+ T Z 0 hE0(un(t)), ϕ(t)wiV0,V dt = = T Z 0 hf(t), ϕ(t)wiHdt. Cho n → ∞ và sử dụng (2.14) ta được: T Z 0 hu(t), ϕ(t)w˙ iH dt+ T Z 0 hχ(t), ϕ(t)wiV0,V dt= = T Z 0 hf(t), ϕ(t)wiH dt.
Sử dụng {ϕ(·)w : w ∈ ∪mVm, ϕ ∈ L2(0, T)} sinh ra một không gian con trù mật của L2(0, T;V) (Định lí 1.30), ta thu được với mọi v ∈
L2(0, T;V) T Z 0 hu, v˙ iH dt+ T Z 0 hχ, viV0,V dt = T Z 0 hf, viH dt. (2.15) Ta chỉ còn phải chỉ ra rằng χ = E0(u). Nhân phương trình (2.10) với um
được: T Z 0 E0(um)umdt= T Z 0 hf, umiH dt− T Z 0 hu˙m, umiH dt (2.16) = T Z 0 hf, umiH dt− T Z 0 1 2 d dt||um||2Hdt = T Z 0 hf, umiH dt− 1
