Định nghĩa 1.25. Cho X là một không gian Banach thực với chuẩn k · k, cho Ω ⊆ Rd là một tập mở và kí hiệu A là σ - đại số Lebesgue các tập con của Ω, nghĩa là, σ - đại số nhỏ nhất chứa σ - đại số Borel (là
σ đại số sinh bởi các tập mở) và tất cả các tập con có độ đo Lebesgue bằng không. Độ đo Lebesgue trên Ω được kí hiệu là µ.
dãy (An) ⊆ A các tập đo được Lebesgue đôi một rời nhau và một dãy
(xn) ⊆ X sao cho f = P
n1Anxn, trong đó 1A là hàm đặc trưng của tập A.
Hàm f : Ω → X là đo được nếu tồn tại một dãy (fn) các hàm bậc thang fn : Ω →X sao cho fn →f hầu khắp nơi.
Lưu ý rằng trong trường hợp X = R, định nghĩa này tương đương với cách định nghĩa "nghịch ảnh của mọi tập đo được đều đo được". Từ định nghĩa ta có Bổ đề sau đây:
Bổ đề 1.26 (Xem [3] Bổ đề 5.1). Cho X, Y là hai không gian Banach thực:
a) Mọi hàm liên tục f : Ω →X đều là hàm đo được.
b) Nếu f : Ω → X đo được thì ||f|| : Ω →R cũng đo được.
c) Nếu f : Ω → X đo được và g : X → Y liên tục thì hàm hợp g ◦f : Ω → Y đo được.
d) Nếu f : Ω →X và g : Ω →R đo được thì tích f g : Ω →X đo được. e) Nếu f : Ω → X và g : Ω →X0 đo được thì tích hg, fiX0,X : Ω →R đo được.
f) Nếu (fn) là một dãy các hàm đo được từ Ω → X sao cho fn → f hầu khắp nơi thì f đo được.
Định lý 1.27 (Pettis, xem [3], Định lý 5.2). Hàm f : Ω → X là đo được nếu và chỉ nếu hx0, fi là đo được với mọi x0 ∈ X0 (khi đó ta nói f là đo được yếu) và tồn tại một tập có độ đo Lebesgue không N ∈ A sao cho
f(Ω\N) là tách được.
R
Ω
||f|| < ∞, nghĩa là, nếu f là đo được và hàm dương ||f|| : Ω → R là khả tích theo nghĩa Lebesgue thông thường.
Với hàm bậc thang khả tích f : Ω → X, f = P
n1Anxn, ta định nghĩa tích phân (Bochner) của f bởi
Z Ω f dµ := X n µ(An)xn. Chuỗi P n
µ(An)xn hội tụ tuyệt đối và có tổng độc lập với dạng biểu diễn của f. Vì vậy tích phân Bochner của hàm bậc thang khả tích được xác định tốt; tích phân R
Ω
f dµ là một phần tử của X.
Với hàm khả tíchf : Ω →X bất kỳ, ta định nghĩa tích phân (Bochner) của f bởi Z Ω f dµ := lim n→∞ Z Ω fndµ,
trong đó (fn) là một dãy các hàm bậc thang từ Ω → X sao cho ||fn|| ≤ ||f|| và fn → f hầu khắp nơi.
Chú ý rằng dãy (fn) như vậy luôn tồn tại; các hàm bước nhảy fn là khả tích, giới hạn của các tích phân R
Ω
fndµ tồn tại và độc lập với cách chọn của dãy (fn). Tích phân Bochner là một sự khái quát tự nhiên của tích phân Lebesgue của một hàm giá trị vô hướng. Tích phân Bochner có khá nhiều đặc tính giống với tích phân Lebesgue. Ví dụ, ta có bất đẳng thức k Z Ω f dµk ≤ Z Ω kfkdµ. và một số định lí quan trọng sau:
Định lý 1.28 (Lebesgue, sự hội tụ trội, xem [3], Định lý 5.3). Cho (fn)
là một dãy các hàm khả tích Ω → X và f : Ω → X là một hàm. Giả sử tồn tại một hàm khả tích g : Ω → R sao cho ||fn|| ≤ g với mọi n và
fn →f hầu khắp nơi. Khi đó f là khả tích và
Z Ω f dµ = lim n→∞ Z Ω fndµ.
Bổ đề 1.29 (Tính tuyến tính của tích phân Bochner, xem [3], Bổ đề 5.4). Ta có a. Với mọi hàm f, g : Ω →X khả tích ta có tổng f +g là khả tích và R Ω (f +g)dµ = R Ω f dµ+R Ω gdµ.
b. Nếu f : Ω → X khả tích và T : X → Y là ánh xạ tuyến tính liên tục thì hàm hợp T f : Ω → Y khả tích và R
Ω
T f dµ = T R
Ω
f dµ.
Ta cũng sử dụng những kí hiệu sau cho tích phân Bochner R Ω
f hoặc
R
Ω
f(t)dµ(t), và nếu Ω = (a, b) là một khoảng trên R thì ta viết
b Z a f hoặc b Z a f(t)dµ(t) hoặc b Z a f(t)dt
cho tích phân Bochner của một hàm khả tích f : (a, b) →X.